-
Квалификация
Кандидат физико-математических наук, доцент, Заслуженный работник высшей школы РФ, заместитель председателя научно-методического совета ЗФТШ МФТИ.
26 апреля
Введение 26.04.2023 11:10
В каждом параграфе сгруппированы теоремы, которые в учебнике рассыпаны по разным главам. Здесь мы компактно напоминаем теорию, приводим примеры решения характерных задач, доказываем некоторые дополнительные утверждения, показываем определённые приёмы р...
55 просмотров
13 марта 2022 г.
§2. Замечательные точки треугольника 13.03.2022 16:43
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
25 комментариев
277 просмотров
9 марта 2021 г.
§ 3 Параллелограмм 09.03.2021 08:40
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
520 просмотров
9 марта 2021 г.
§4. Задачи о делении отрезка 09.03.2021 08:40
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
649 просмотров
2 июня 2020 г.
§3 Алгебраический метод 02.06.2020 19:49
Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков в...
3 комментария
604 просмотра
23 марта 2020 г.
§ 1. Геометрическое место точек 23.03.2020 20:30
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
1088 просмотров
23 марта 2020 г.
§ 2. Задачи на построение 23.03.2020 20:30
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
1 комментарий
1258 просмотров
23 марта 2020 г.
§3 Алгебраический метод 23.03.2020 20:30
Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков в...
2 комментария
1044 просмотра
30 января 2020 г.
§ 2. Площадь треугольника 30.01.2020 07:59
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$; $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны;
$$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к...
1922 просмотра
7 декабря 2019 г.
§ 3 Параллелограмм 07.12.2019 17:32
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
1 комментарий
946 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Замечательные точки треугольника 07.12.2019 17:32
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
1027 просмотров
7 декабря 2019 г.
Решение планиметрических задач 07.12.2019 17:32
Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. &laqu...
928 просмотров
7 декабря 2019 г.
§4. Свойства трапеции 07.12.2019 17:32
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
838 просмотров
7 декабря 2019 г.
Домашнее задание 07.12.2019 17:32
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очко...
846 просмотров
6 ноября 2019 г.
Введение 06.11.2019 06:47
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мен...
1139 просмотров
6 ноября 2019 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 06.11.2019 06:47
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно за...
1174 просмотра
6 ноября 2019 г.
§4. Свойства трапеции 06.11.2019 06:47
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
1194 просмотра
25 июня 2019 г.
Примеры ответов на контрольные вопросы 25.06.2019 10:27
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. ...
2230 просмотров
25 июня 2019 г.
Домашнее задание 25.06.2019 10:26
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ...
6 комментариев
1982 просмотра
25 июня 2019 г.
§4. Задачи о делении отрезка 25.06.2019 10:26
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
1714 просмотров
25 июня 2019 г.
§2. Замечательные точки треугольника 25.06.2019 10:26
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
1 комментарий
2154 просмотра
25 марта 2019 г.
§ 2. Задачи на построение 25.03.2019 07:22
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
6 комментариев
1980 просмотров
25 марта 2019 г.
§ 1. Геометрическое место точек 25.03.2019 07:22
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
2276 просмотров
19 февраля 2019 г.
§ 2. Площадь треугольника 19.02.2019 06:12
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$; $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны;
$$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к...
2601 просмотр
24 октября 2018 г.
§4. Свойства трапеции 24.10.2018 07:38
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
2649 просмотров
24 октября 2018 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 24.10.2018 07:38
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно за...
1723 просмотра
10 октября 2018 г.
§ 3 Параллелограмм 10.10.2018 08:23
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
1940 просмотров
10 июля 2018 г.
Решение планиметрических задач 10.07.2018 13:39
Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. &laqu...
1974 просмотра
6 июля 2018 г.
Введение 06.07.2018 07:46
В каждом параграфе сгруппированы теоремы, которые в учебнике рассыпаны по разным главам. Здесь мы компактно напоминаем теорию, приводим примеры решения характерных задач, доказываем некоторые дополнительные утверждения, показываем определённые приёмы р...
1927 просмотров
5 июля 2018 г.
Примеры ответов на контрольные вопросы 05.07.2018 09:24
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. ...
2593 просмотра
5 июля 2018 г.
Домашнее задание 05.07.2018 09:24
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ...
2355 просмотров
5 июля 2018 г.
§4. Задачи о делении отрезка 05.07.2018 09:24
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Теорема 6
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е....
2404 просмотра
5 июля 2018 г.
§2. Замечательные точки треугольника 05.07.2018 09:24
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла е...
2725 просмотров
23 апреля 2018 г.
§3 Алгебраический метод 23.04.2018 08:29
Алгебраический метод решения задач на построение заключается в построении искомых элементов по формулам, выражающих их зависимость от заданных элементов. Большинство задач этого вида решается с помощью комбинирования следующих 4-х построений отрезков в...
4049 просмотров
23 апреля 2018 г.
§ 2. Задачи на построение 23.04.2018 08:28
Рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь её краями,...
8157 просмотров
23 апреля 2018 г.
§ 1. Геометрическое место точек 23.04.2018 07:21
Геометрическим местом точек на плоскости
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...
7946 просмотров
20 февраля 2018 г.
§3. Площадь четырёхугольника 20.02.2018 00:24
1. В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма:
$$S=a\cdot h_a = b\cdot h_b,\:\:\:\:\:\: (6)$$
$$S=a\cdot b \textrm{sin}\varphi,\:\:\:\:\:\: (7)$$
где $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, $$h_a$$ и $$h_b$$ - высоты к н...
3011 просмотров
19 февраля 2018 г.
§ 2. Площадь треугольника 19.02.2018 20:54
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$; $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны; $$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к ...
4503 просмотра
23 ноября 2017 г.
Домашнее задание 23.11.2017 13:16
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очко...
2658 просмотров
23 ноября 2017 г.
§4. Свойства трапеции 23.11.2017 11:15
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
свойства трап...
16397 просмотров
22 ноября 2017 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 22.11.2017 11:11
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно за...
3876 просмотров
22 ноября 2017 г.
Введение 22.11.2017 11:08
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мен...
2358 просмотров
18 ноября 2017 г.
Домашнее задание 17.11.2017 23:04
Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится 0 очков. Примеры...
2597 просмотров
17 ноября 2017 г.
§4. Свойства трапеции 17.11.2017 13:51
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
4.1°. Диаго...
3714 просмотров
16 ноября 2017 г.
Введение 16.11.2017 19:00
В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мен...
2398 просмотров
16 ноября 2017 г.
§1. Теоремы косинусов и синусов 15.11.2017 22:27
Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам A,BA , B и CC, обозначим a,ba, b и cc, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно запи...
4187 просмотров
8 ноября 2017 г.
§ 3 Параллелограмм 08.11.2017 12:09
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных ...
3884 просмотра
11 октября 2017 г.
Решение планиметрических задач 10.10.2017 21:50
Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. &laqu...
1 комментарий
3531 просмотр
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.