ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.
Через точку `M` - середину стороны `AB` - проведём прямую, параллельную основанию (рис. 24).
Докажем, что она разделит пополам обе диагонали и другую боковую сторону. В треугольнике `BAC` $$ MP\parallel BC$$ и `AM = MB`. По теореме Фалеса `AP = PC`.
В треугольнике `ABD` точка `M` - середина стороны, $$ MQ\parallel AD$$. По теореме Фалеса `BQ = QD`. Наконец, в треугольнике `BDC` точка `Q` - середина `BD`, $$ QN\parallel BC$$. По теореме Фалеса `CN = ND`.
Итак, середины боковых сторон (точки `M` и `N`) и середины диагоналей (точки `P` и `Q`) лежат на одной прямой.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Пусть `AD = a`, `BC = b`. Из Свойства 1 следует, что `MQ` - средняя линия треугольника `ABD`, поэтому `MQ = a/2`; `MP` и `QN` - средние линии треугольников `BAC` и `BDC`, поэтому `MP = QN = b/2`.
Отсюда следует, что `MN = (a + b)/2` и `PQ = (a - b)/2`.
Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке `K`. Через точку `K` и точку `O` пересечения диагоналей проведём прямую `KO` (рис. 25).
Докажем, что эта прямая делит основания пополам.
Обозначим `BM = x`, `MC = y`, `AN = u`, `ND = v`.
Имеем:
, т. е. `x/u = y/v`.
Далее, `Delta BMO ~ Delta DNO => (BM)/(ND) = (MO)/(NO)`, `Delta CMO ~ Delta ANO => (MC)/(AN) = (MO)/(NO)`, поэтому `(BM)/(ND) = (MC)/(AN)`, т. е. `x/v = y/u`.
Перемножим полученные равенства, получим `x^2/(uv) = y^2/(uv)`, откуда следует `x = y`, но тогда и `u = v`.
В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Проведём $$ CF\parallel BA$$ (рис. 26).
`ABCF` - параллелограмм, `CF = BA`, тогда треугольник `FCD` равнобедренный, `/_ 1 = /_ 2`. Но `/_ 2 = /_ 3`, следовательно, `/_ 1 = /_ 3`.
В равнобокой трапеции высота, опущенная из конца меньшего основания на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.
Если `BM_|_ AD` и `CN _|_ AD`, то `Delta BAM = /_ CDN` (рис. 27).
`BMCN` - прямоугольник, `MN = b`, тогда `ND = (a - b)/2`, а `AN = a - (a - b)/2 = (a + b)/2`.
В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Пусть `K` - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции (рис. 28). Как следует из Свойства 2, середины оснований – точки `M` и `N` - и точка `K` лежат на одной прямой, а как следует из Свойства 4, углы `A` и `D` равны. Таким образом, треугольник `AKD` - равнобедренный, `KN` - его медиана, она является и высотой. Итак, `MN _|_ AD`.
Легко видеть, что при симметрии относительно прямой `MN` точки `A` и `B` переходят в точка `D` и `C` и наоборот. `MN` - ось симметрии трапеции.
В равнобокой трапеции диагонали равны.
Рассмотрим треугольники `ABD` и `DCA` (рис. 29): `AB = DC` (трапеция равнобокая), `AD` - общая сторона, `/_ BAD = /_ ADC` (следует из Свойства 4). По первому признаку равенства эти треугольники равны и `BD = AC`.
Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна `6`. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен `4,5` (рис. 30). Найти другую диагональ.
1. Треугольник `AOD` - прямоугольный, `ON` - медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, т. е.
`ON = 1/2 AD`.
Аналогично устанавливается, что `OM = 1/2 BC`. По Свойству 3 точки `M`, `O` и `N` лежат на одной прямой. Таким образом, `MN = OM + ON = 1/2 (AD + BC)`, поэтому `AD + BC = 2MN = 9`.
2. Проведём через точку `D` прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - точка её пересечения с прямой `BC`, Угол `BDK` прямой, это угол между диагоналями трапеции. Кроме того, `ACKD` по построению параллелограмм, `CK = AD`, значит, `BK = BC + AD = 9`. Треугольник `BKD` - прямоугольный, один из катетов (пусть `DK`) равен `6`. По теореме Пифагора находим: `BD = sqrt(BK^2 - DK^2) = 3 sqrt5`.
В равнобокой трапеции с периметром `10` и высотой `2` диагонали, пересекаясь, делятся в отношении `4:1`. Найти основания.
1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей трапеции `ABCD` (рис. 31) и `AO:OC =BO:OD= 4:1`. Треугольники `AOD` и `COB` подобны, `AO:OC = AD:BC = 4`, т. е. `AD = 4BC`. Обозначим `BC = x`, тогда `AD = 4x`.
2. Пусть `CK _|_ AD`; `CK` - высота трапеции, по условию `CK = 2`, а как следует из Свойства 5,
`KD = 1/2 (AD - BC) = 3/2 x`.
Из прямоугольного треугольника `CKD` имеем `CD = sqrt(4 + 9/4 x^2)`. Выражаем периметр трапеции: `10 = (5x + 2 sqrt(4 + 9/4 x^2) )`.
Решаем уравнение `2 sqrt(4 + 9/4 x^2) = 10 - 5x`, оно имеет единственный корень `x = 1`.
Итак, `BC = 1`, `AD = 4`.
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ответов приведены далее.
2. Если в контрольном вопросе сначала требуется сформулировать или доказать некоторую теорему, то формулировать теорему полностью, а ответ на сопутствующий вопрос надо постараться дать на основе этой теоремы.
3. Если в решении длина какого-либо отрезка выразится иррациональным числом (например, `a = sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближённое.
4. Если в решении использовались тригонометрические функции и получилось, например, `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, то не следует определять величину угла `alpha` по таблице или на калькуляторе приближённо и затем тем же способом находить значение `cosalpha`, `sin 2 alpha`, `sin (alpha + 45^@)` и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам! Например
`cos alpha = - sqrt(1 - sin^2 alpha) = - 1/3`,
если угол `alpha` тупой и `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, а
`sin (alpha + 45^@) = sin alpha * cos 45^@ + cos alpha * sin 45^@ = (sqrt2)/2 (sin alpha + cos alpha)`.
5. Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняю-щим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.
6. Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нём уместились все введённые Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 12 и рис. 15 Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение или проверить его).
7. Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1) … 2) … 3) … и то, что вычислено или выражено и важно для дальнейшего, выделять, например, так
`AD=3//2x`, `BC=1`.
Кроме того, вычисления разумно производить в кратких обозначениях (а математика – это здравый смысл), например
`x/y = u/v`, `x/v = y/v|=> x = y` и `u = v`
или `a = sqrt (c(c/2 - 1))`,
а не `BC = sqrt (AB((AB)/2 - MN))`.
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. `AB != BC`. Верным будет следующее утверждение: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
Вопрос. Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?
Ответ. Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике `ABC` биссектриса `BM` является медианой: `AM = MC` (рис. 33). На продолжении биссектрисы `BM` отложим отрезок `MD`, равный `BM`. Треугольники `ABM` и `CDM` равны по первому признаку: у них углы при вершине `M` равны, как вертикальные, и `AM = CM`, `BM = DM`.
Из равенства треугольников следует
`CD = AB` (1)
и `/_ CDM = /_ ABM`. Но `/_ABM = /_ CBM`, поэтому `/_ CDM = /_ CBM`, т. е. в треугольнике `BCD` углы при основании `BD` равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: `BC = CD`. Отсюда и из (1) заключаем: `BC = AB`. Утверждение доказано.
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
.
.
.
.
.
.
. (здесь равенство достигается, когда числа `a` и `b` одного знака или одно из них равно нулю; если же числа `a` и `b` разных знаков, то выполняется строгое неравенство).
.
. - это расстояние от точки `a` на числовой оси до точки `0`.
. - это расстояние между точками `a` и `b` на числовой оси.
.
Докажем свойство . Остальные свойства проверьте самостоятельно. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возведение их в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем
\[|a+b|^2 \le (|a| + |b|)^2 \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 \le |a|^2 + 2|a| \cdot |b| + |b|^2 \Leftrightarrow ab \le |ab|.\]
Последнее неравенство верно (свойство ). Заметим, что оно обращается в равенство, когда числа и одного знака (или одно из них равно нулю).
Перейдём к уравнениям с модулем. В простейших случаях можно воспользоваться свойством модуля .
Решите уравнение:
a) б) в)
a) - это расстояние между точками `x` и `2` на число вой прямой (свойство ). Поэтому уравнение можно прочитать так: точка `x` удалена от точки `2` на расстояние `5`. Иначе говоря, мы ищем точки, удалённые от точки `2` на расстояние `5`. Ясно, что это точки `-3` и `7`. Записать решение короче всего так:
\[|x-2| = 5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x-2 &= 5, \\ x-2 &= -5 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x &= 7, \\ x &= -3 \end{aligned} \right. .\]
`x=-3`; `x=7`.
б) Левая часть уравнения неотрицательна (свойство ). Поэтому уравнение не имеет решений.
нет решений.
в) Задачу можно сформулировать так: расстояние от точки `x` до точки `2` равно расстоянию от точки `x` до точки `(– 6)`, то есть мы ищем точку на прямой, равноудалённую от точек `2` и `(– 6)`. Ясно, что это середина отрезка, соединяющего эти точки, т. е. `x = -2`.
Покажем ещё один способ решения:
\[|x-2| = |x+6|\Leftrightarrow (x-2)^2 = (x+6)^2\Leftrightarrow x = -2 \]
`x=-2`.
Если уравнение имеет более сложный вид, то, как правило, приходится раскрывать модуль по определению. Для этого отмечаем на числовой прямой точку (точки), в которых выражения, находящиеся под модулем, обращаются в ноль. Эти точки делят прямую на несколько промежутков, на каждом из которых знаки подмодульных выражений фиксированы, поэтому можно раскрыть модули. Рассмотрим пример.
Решите уравнение: .
Отметим на числовой прямой точки . Получаем `3` точки, которые разбивают числовую прямую на `4` интервала. Раскрываем модули на каждом из этих интервалов (см. рис. 1).
Рассмотрим 4 случая:
а) Тогда:
\[-(x+1) + 11 = -(2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -10.\]
Убеждаемся, что удовлетворяет условию , поэтому является решением данного уравнения.
б) . Тогда:
\[-(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -1.\]
Однако не удовлетворяет условию , поэтому не подходит.
в) . Тогда:
\[(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow 12 = 12.\]
Получилось верное равенство, поэтому все `x`, удовлетворяющие условию являются решениями.
г) . Тогда:
\[(x+1) + 11 = (2x+11) - (1-x) \Leftrightarrow x = 1.\]
Условие не выполнено, поэтому данный корень не подходит.
Объединяем полученные решения и получаем .
.
1) При таком методе решения необходимо проверять принадлежат ли найденные корни рассматриваемому в данный момент промежутку – иначе можно получить неверный ответ.
2) Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль, можно включать в любой из двух промежутков, для которых они являются границами. Например, если бы в случае б) мы взяли то число попало бы в промежуток. В случае в) мы бы рассматривали и здесь корня мы бы не получили. При этом объединение всех решений было бы тем же самым.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства называют рациональными. Для их решения применяют следующий алгоритм: все члены переносят в одну сторону, приводят их к общему знаменателю, а далее у полученной дроби числитель и знаменатель раскладывают на множители. После этого на числовой прямой отмечают точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, а затем на полученных промежутках расставляют знаки, которые принимает дробь - далее остаётся записать ответ.
Покажем, как работает метод интервалов на нескольких примерах.
Решите неравенства:
а) `((x^2+5x+6)(x-4))/(x^2-x)>=0`;
б) `(x-3)^2(x-4)^3(x-5)(x-6)^4<=0`;
в) `1/x<1/3`;
г) `((x^2-x-2)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(2x^2-x-6))<=0`;
д) `3/(x^3-3x^2+4)-10/(x^3-7x^2+4x+12)>1/(x^2-5x-6)`.
а) Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, получаем
`((x+2)(x+3)(x+4))/(x(x-1))>=0`. (1)
Точки, в которых числитель обращается в ноль (нули числителя), обозначаем на числовой прямой маленькими закрашенными кружочками – они будут включены в ответ, так как в них неравенство выполняется. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль (нули знаменателя), обозначаем на числовой прямой маленькими пустыми кружочками (такие точки называются выколотыми) – они не будут включены в ответ, так как в них левая часть не определена (рис. 2).
Отмеченные точки делят числовую прямую на шесть промежутков, на каждом из которых знак левой части неравенства (1) постоянен. Чтобы определить знаки, сначала определим знак левой части (1) на крайнем правом промежутке `(4; +oo)`. Для этого можно подставить какое-либо значение переменной `x` из этого промежутка в (1), например, `x=1000`. Несложно видеть, что при этом каждый из множителей в числителе и знаменателе положителен, поэтому дробь больше нуля, и на промежутке `(4; +oo)` можем поставить знак `«+»`.
Теперь переместимся в соседний промежуток `(1; 4)`. Заметим, что при переходе через точку `x=4` только один из множителей в (1) меняет знак (это `(x-4)`), а все остальные знаки остаются неизменными, поэтому дробь меняет знак, и на промежутке `(1; 4)` ставим знак `«-»`. При переходе к каждому следующему промежутку ровно один множитель в числителе или знаменателе (1) меняет знак, поэтому меняет знак и вся дробь, то есть знаки чередуются. Получаем такую расстановку знаков:
`x in [-3; -2]uu(0; 1)uu[4; +oo)`.
б) Здесь левая часть уже разложена на множители, и нам остаётся лишь расставить знаки. Для этого отмечаем на числовой прямой точки `x=3`, `x=4`, `x=5`, `x=6` (все они невыколотые и являются решениями неравенства) и приступаем к расстановке знаков. Принципиальное отличие этого примера от предыдущего в том, что некоторые из множителей возводятся в степень. На что это влияет? Если показатель степени чётный, то соответствующий множитель не меняет знак при переходе через ту точку, в которой он обращается в ноль (например, `(x-3)^2>=0` при любых `x`, поэтому с обеих сторон от точки `x=3` выражение `(x-3)^2` положительно). Если показатель степени нечётный, то множитель меняет знак при переходе через ту точку, в которой он равен нулю. В итоге получаем следующую расстановку знаков:
Не забываем также включить в ответ все точки, отмеченные на прямой жирными кружочками.
`x in {3}uu[4;5]uu{6}`.
в) Переносим `1/3` влево и приводим дроби к общему знаменателю: `(3-x)/(3x)<0`. Расставляем знаки левой части на числовой прямой (для строгого неравенства все точки на прямой выколотые, так как нули числителя решениями неравенства не являются (рис. 5)).
`x in (-oo; 0)uu(3;+oo)`.
При решении этой задачи часто допускают следующие ошибки.
1) Умножают обе части неравенства на `x`. Этого делать нельзя, так как если мы умножаем обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства надо поменять, если на положительное, то знак надо оставить таким, какой он и был. Поскольку знак `x` нам неизвестен, то мы не можем корректно выбрать знак нового неравенства.
2) В исходном неравенстве требуется сравнить две дроби с одинаковыми числителями. Значит больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так рассуждать нельзя, поскольку это свойство справедливо лишь для тех дробей, у которых числитель и знаменатель положительны. Если числитель или знаменатель отрицательны, то это свойство неверно (например, `-3<3` и `1/(-3)<1/3`).
г) Находим нули числителя и знаменателя. Получаем:
1. `x^2-x-2=0 iff x=2` или `x=-1` (поэтому `x^2-x-2=(x-2)(x+1)`);
2. `2x-3-x^2-x^2=0 iff O/` (т. к. дискриминант отрицателен). Следовательно, выражение `-x^2+2x-3` отрицательно при всех `x` (графиком функции `f(x)=-x^2+2x-3` является парабола с ветвями вниз, при этом она не пересекает ось абсцисс, так как у уравнения `f(x)=0` нет корней; значит, эта парабола целиком расположена ниже оси абсцисс, то есть `f(x)<0` при всех `x`).
3. `x^2+4x+5=0 iff O/`, поэтому `x^2+4x+5>0` при всех `x`.
4. `2x^2-x-6=0 iff x=2` или `x=-3/2`. Значит,
`2x^2-x-6=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.
Исходное неравенство равносильно следующему
`((x-2)(x+1)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(x-2)(2x+3))<=0`.
Отбросив множители `(2x-3-x^2)` и `(x^2+4x+5)`, знаки которых не зависят от `x` получаем
$$ {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(2x+3\right)}}\ge 0\iff \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+1}{2x+3}}\ge 0,\\ x\ne 2.\end{array}\right.$$
Решая первое неравенство системы методом интервалов, получаем
С учётом второго неравенства `x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.
`x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.
д) Прежде всего, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Чтобы сделать это, раскладываем знаменатели дробей на множители.
Заметим, что `x=-1` является корнем каждого из знаменателей в левой части неравенства. Выполняя деление на `(x+1)`, получаем следующие разложения на множители:
`x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2`;
`x^3-7x^2+4x+12=(x+1)(x^2-8x+12)=(x+1)(x-2)(x-6)`;
`x^2-5x-6=(x+1)(x-6)`.
Преобразуем исходное неравенство:
`3/((x+1)(x-2)^2)-10/((x+1)(x-2)(x-6))>1/((x+1)(x-6)) iff`
`iff (3(x-6)-10(x-2)-(x-2)^2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`
`iff (-x^2-3x-2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`
`iff (-(x+1)(x+2))/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`
$$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2\left(x-6\right)}<0,\\x\neq-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x-6}<0,\\x\neq-1,\;x\neq2.\end{array}\right.$$
Решая первое неравенство системы методом интервалов, находим, что `x in (-2; 6)`. Исключая точки `x=-1` и `x=2`, получаем `x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.
`x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.
Заметим, что знаки следующих выражений совпадают:
`|a|-|b|` и `a^2-b^2`,
`a^(2n)-b^(2n)(n in NN)` и `a^2-b^2`, (2)
`a^(2n+1)-b^(2n+1)(n in NN)` и `a-b`.
Это свойство иногда оказывается полезным при решении неравенств. Когда мы решаем дробно-рациональное неравенство (возможно, содержащее знак модуля), мы приводим его к виду «дробь `>0`» (или «дробь `>=0`»), после чего числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители. Так как мы сравниваем дробь с нулём, то нас интересуют только знаки каждого из множителей в числителе и знаменателе. Следовательно, если мы некоторые из них заменим на выражения тех же самых знаков по формулам (2), то получим равносильное неравенство.
Решите неравенство
`((x^8-256)(|3x+4|-|2x-7|))/(243-x^5)>=0`.
Заменим множитель `x^8-256=x^8-2^8` на `x^2-x^2`;
множитель `|3x+4|-|2x-7|` на `(3x+4)^2-(2x-7)^2`;
множитель `243-x^5=3^5-x^5` на `3-x`. Получаем
`((x^2-2^2)((3x+4)^2-(2x-7)^2))/(3-x)>=0`.
Каждую из скобок в числителе раскладываем на множители по формуле разности квадратов.
`((x-2)(x+2)(3x+4+2x-7)(3x+4-2x+7))/(3-x)>=0 iff`
`iff ((x-2)(x+2)(5x-3)(x+11))/(x-3)<=0 iff x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.
`x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
а) `|x-2|>=0>-1` - верно для всех `x`.
б) Решений нет, т. к. `|x-4|>=0` для всех `x`.
в) Воспользуемся снова свойством $$ {10}^{○}$$ (см. § 1). Тогда условие звучит так: расстояние от точки `x` до точки `1` не превосходит `4`. То есть, мы ищем все точки прямой, удалённые от точки `1` на расстояние, не большее `4` (см. рис. 7).
Запишем решение так:
`|1-x|<=4 iff -4<=1-x<=4 iff -3<=x<=5`.
г) `|x+3|=|x-(-3)|`. Поэтому `|x+3|` - это расстояние между точками и (`–3`). Ищем все точки на прямой, удалённые от точки (`–3`) на расстояние, большее `5` (см. рис. 8).
Запишем решение:
$$\left|3+x\right|>5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3+x>5,\\3+x<-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>2,\\x<-8.\end{array}\right.$$
`x in (-oo;-8)uu(2;oo)`.
При решении неравенств, содержащих знак модуля, часто бывают полезны следующие равносильные переходы.
$$ {12}^{○}$$. `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`.
$$ {13}^{○}$$. $$\left|f\left(x\right)\right|>g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right),\\f\left(x\right)<-g\left(x\right).\end{array}\right.$$
$$ {14}^{○}$$. $$\left|f\left(x\right)\right|< g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right),\\f\left(x\right)>-g\left(x\right).\end{array}\right.$$
Докажем некоторые из них.
$$ {12}^{○}$$. Если обе части неравенства неотрицательны, то его можно возвести в квадрат. Таким образом, `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`. Докажем в обратную сторону:
`f^2(x)>g^2(x) iff |f(x)|^2-|g(x)|^2>0 iff`
`iff (|f(x)|-|g(x)|)*(|f(x)|+(g(x)|)>0`.
Последнее условие означает, что числа `|f(x)|+|g(x)|` и `|f(x)|-|g(x)|` имеют один знак; `|f(x)|+|g(x)|` не может быть отрицательным, поэтому оба числа должны быть положительны `=> |f(x)|-|g(x)|>0=> |f(x)|>|g(x)|`. Утверждение доказано.
$$ {14}^{○}$$. Рассмотрим 2 случая.
(1) `g(x)<=0`. Тогда неравенство `|f(x)|<g(x)` не имеет решений;
не имеет решений и система, так как $$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right)\leq0,\\f\left(x\right)>-g\left(x\right)\geq0,\end{array}\right.$$ откуда следует, что `f(x)>0` и `f(x)<0`, что невозможно. Значит, если `g(x)<=0`, система и неравенство равносильны.
(2) `g(x)>0`. Тогда наше утверждение сводится к простейшему неравенству с модулем:
`|t|<a iff -a<t<a`.
Аналогично, `|f(x)|<g(x) iff -g(x)<f(x)<g(x)`.
Решите неравенство:
а) `|2x^2-3x+1|<=3x-2x^2-1`;
б) `|3x-7|>=|1-4x|`;
в) `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.
а) `|2x^2-3x-1|<=3x-2x^2-1 iff`
`iff |2x^2-3x+1|<=-(2x^2-3x+1) iff^**`
`iff 2x^2-3x+1<=0 iff (2x-1)(x-1)<=0 iff`
`iff 1/2 <=x<=1`.
`[1/2;1]`.
б) $$ \left|3x-7\right|\ge \left|1-4x\right|\stackrel{{12}^{○}}{\iff }{\left(3x-7\right)}^{2}\ge {\left(1-4x\right)}^{2}\iff $$
`iff (3-7)^2-(1-4x)^2>=0 iff`
`iff (3x-7-1+4x)(3x-7+1-4x)>=0 iff`
`iff (7x-8)(-6-x)>=0 iff -6<=x<=8/7`.
`[-6;8/7]`.
в) $$ \left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\stackrel{{13}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\right.\iff $$
$$ \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\right.\stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }$$
$$ \stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2,\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff $$
$$\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ {x}^{2}-3x+2\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l}6x\ge 4,\\ {x}^{2}-5x\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge 2/3,\\ \left[\begin{array}{l}x\ge 5,\\ x\le 0.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\iff$$
$$ \iff\left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2,\\ x\ge 5.\end{array}\right.$$
`x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.
В некоторых случаях применение выше рассмотренных свойств нецелесообразно, и проще раскрыть модули по определению (рассмотрев знаки выражений под модулями).
Решите неравенство `6|x^2-3x-4|+1>5|x+5|`.
Решение проводится по той же схеме, что и в примере 2. Отмечаем на числовой прямой точки `x=4`, `x=-1` и `x=-5`, в которых подмодульные выражения равны нулю (рис. 9).
а) `x<=-5`. Здесь `x^2-3x-4>0`, `x+5<=0`, поэтому получаем
`6x^2-18x-24+1> -5x-25 iff 6x^2-13x+2>0 iff`
`iff (x-2)(6x-1)>0 iff x in (-oo;1/6)uu(2;+oo)`.
С учётом ограничения `x<= -5 : x in (-oo;-5]`.
б) `x in (-5;-1]uu(4;+oo)`. На этих двух промежутках `x^2-3x-4>=0`, `x+5>0`, поэтому получаем `6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-23x-48>0 iff`
`iff (3x-16)(2x+3)>0 iff x in (-oo;-3/2)uu(16/3;+oo)`.
Учитывая рассматриваемые значения переменной, получаем
`x in (-5;-3/2)uu(16/3;+oo)`.
в) `x in (-1;4]`. Тогда `x^2-3x-4<=0`, `x+5>0` и неравенство принимает вид
`-6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-13x<0 iff`
`iff 6x(x-13/6)<0 iff 0<x<13/6`.
Объединяя результаты, получаем
`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.
`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек - корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля - то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю - парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.
Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.
Выделим полный квадрат:
`y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=`
`=-2(x^2-4x+4-4)-5=-2(x-2)^2+8-5=`
`=-2(x-2)^2+3`.
График функции `y=-2(x-2)^2+3` - парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).
При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.
Решите неравенство:
а) `x^2-x-2>0`;
б) `4x^2+4x+1<=0`;
в) `3x^2-2x+1>0`.
а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2` (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства - объединение открытых лучей:
`(-oo;-1)uu(2;+oo)`.
`x in (-oo;-1)uu(2;+oo)`.
б) `4x^2+4x+1<=0 iff (2x+1)^2<=0 iff 2x+1=0 iff x=-0,5`.
`x=-0,5`.
в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`.
`x in RR`.
Заметим, что эти неравенства могли быть решены также с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).
Парабола `y=2016x^2-1941x-76` - пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).
Так как `a>0` и `c<0`, то `D>0` и данное уравнение имеет корни.
График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` - это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)<0` и вне этого промежутка, если `f(x)>0` (см. рис. 11).
`f(1)=-1<0=>1 in (x_1;x_2)`;
`f(-1)=2016+1941-76>0=>1!in (x_1;x_2)`;
`f(-5)=2016*25+1941*5-76>0=>5!in (x_1;x_2)`.
Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.
1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.
2) Ветви параболы направлены вниз `=>a<0`.
3) Ось симметрии параболы - это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.
`a<0`, `b>0`, `c>0`.
Найти все значения `l`, при которых неравенство
`lx^2-2(l-6)x+3(l-2)<0`
верно для всех значений `x`.
Коэффициент при `x^2` зависит от `l` и равен `0` при `l= 0`. В этом случае данное неравенство не квадратное, а линейное: `12x-6<0`. Это неравенство неверно, например, при `x=1`, значит, при `l=0` данное неравенство не является верным для всех значений `x`.
Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).
Получаем систему неравенств
$$\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\frac D4=\left(l-6\right)^2-3l\left(l-2\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\-2l^2-6l+36<0\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\left(-2l+6\right)\left(l+6\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\l\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left(3;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow l<-6.$$
Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.
Постройте график функции:
а) `y=|x+3|`;
б) `y=4-|x|`;
в) `y=|4-2x|-1`;
г) `y=2|x+4|+|x-3|+2x-3|x+1|`;
д) `y=|||x|-3|-1|`.
а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|` и `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число. Это означает, что если графику функции `y=f(x)` принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`, расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.
Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).
б) Рассмотрим функции `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх (рис. 14).
в) `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.
Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).
График функции `y=2|x|` получается из него «растяжением» в два раза (рис. 15б); график `y=2|x-2|` получается из предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо (рис. 15в);
график `y=2|x-2|-1` получается из последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).
График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.
1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a<0`, то график функции отражается относительно оси абсцисс.
2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).
3) График сдвигается на `|c|` вверх при `c>0` и на `|c|` вниз при `c<0`.
г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём на каждой из частей знаки выражений, стоящих под модулями, не меняются.
Возможны 4 случая.
1) `ul(x<=-4)`. Тогда `x+4<=0`, `x-3<0`, `x+1<0`, поэтому
`y=2*(-x-4)-(x-3)+2x+3(x+1)=2x-2`.
Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).
2) `ul(-4<x<=-1)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<0`, `x+1<=0`, поэтому
`y=2(x+4)-(x-3)+2x+3(x+1)=6x+14`.
Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми `x=-4` и `x=-1`).
3) `ul(-1<x<=3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<=0`, `x+1>0`, поэтому
`y=2(x+4)-(x-3)+2x-3(x+1)=8`.
Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).
4) `ul(x>3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому
`y=2(x+4)+(x-3)+2x-3(x+1)=2x+2`.
Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой `x=3`). График см. на рис. 16б.
Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения функции в точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:
`A(-4;-10)`, `B(-1;8)`, `C(3;8)`, `D(-5;-12)`, `E(4;10)`.
Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.
д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).
График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)<0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=-f_1(x)`. Таким образом, если при некотором `x` оказалось, что `f_1(x)>=0`, то точки на графике для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают. Если же `f_1(x)<0`, то для `y=f_2(x)` абсцисса точки не поменяется, а ордината сменит знак. График функции `f_3(x)=||x|-3|-1` получается из графика функции `f_2(x)` сдвигом на единицу вниз (рис. 17в).
График функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех точек, лежащих ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).
График функции `y=|f(x)|` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают в верхнюю полуплоскость.
Постройте график функции:
а) `y=x^2-4x+3`,
б) `y=|x^2-4x+3|`,
в) `y=x^2-4|x|+3`,
г) `y=|x^2-4|x|+3|`.
а) `x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1`.
График функции `y=x^2-4x+3` получается из графика функции `y=x^2` сдвигом на `2` вправо и на `1` вниз (рис. 18а).
б) Отразим все точки графика пункта а), лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси (рис. 18б).
в) Заметим, что функция `f(x)=x^2-4|x|+3` чётная (т. е. удовлетворяет условию `f(-x)=f(x)`), поэтому её график симметричен относительно оси ординат. Кроме того, при `x>=0` этот график совпадает с графиком функции `f(x)=x^2-4x+3`.
Отсюда вытекает следующий способ построения. От графика функции `y=x^2-4x+3` оставим точки, лежащие справа от оси `Oy`, отразим их симметрично относительно этой оси, а точки, лежащие слева от оси `Oy`, отбросим (рис. 18в).
График функции `y=f(|x|)` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Отбрасываем все точки, лежащие слева от оси `Oy`, а оставшиеся точки отражаем относительно оси `Oy`.
г) Есть 2 способа построения.
(1) Все точки графика из пункта (в), лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси.
(2) От графика пункта (б) отбрасываем точки, лежащие слева от оси ординат; все точки, находящиеся справа от оси ординат, отражаем относительно неё. Разумеется, в обоих случаях получается одинаковый результат (рис. 18г).
Теперь рассмотрим график функции `y=(ax+b)/(cx+d)`; при этом считаем, что
1) `c!=0` - т. к. иначе получится линейная функция – и
2) коэффициенты в числителе и в знаменателе не пропорциональны друг другу, т. е. `ad!=bc`. (Если `ad=bc`, то `b=(ad)/c` и получаем
`(ax+b)/(cx+d)=(ax+(ad)/c)/(cx+d)=(a/c(cx+d))/(cx+d)=a/c` при `cx+d!=0`).
Покажем на примере, как этот график может быть построен.
Постройте график функции:
а) `y=6/(2x+3)`;
б) `y=(6-3x)/(2x+1)`.
а) `y=3/(x+3//2)`. Это график получается из гиперболы `y=3/x` параллельным переносом на `3/2` влево (см. рис. 19). Асимптотами этой гиперболы являются прямые `x=-3/2` и `y=0`. (У каждой гиперболы есть две асимптоты. Горизонтальная асимптота `y=bbb"const"` - это та прямая, к которой график приближается при `x`, стремящемся к бесконечности. Вертикальная асимптота `x=bbb"const"` возникает при том значении `x`, где знаменатель дроби обращается в ноль. При `x`, приближающемся к данной точке, функция стремится к бесконечности).
б) Отношение коэффициентов при `x` в числителе и знаменателе дроби равно `(-3/2)`.
Преобразуем данную дробь, добавляя и вычитая `(-3/2)`:
`y=-3/2+((6-3x)/(2x+1)+3/2)`.
Дроби в скобках приводим к общему знаменателю:
`y=-3/2+(12-6x+6x+3)/(2(2x+1)) iff y=-3/2+15/(4x+2) iff`
`iff y=-3/2+(15//4)/(x+1//2)`.
Этот график получается из графика `y=(15//4)/x` параллельным переносом на `3/2` вниз и на `1/2` влево (рис. 20).
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx^2(ax^2+bx+c+-fracbx+fraca{x^2})=0hArr`
`a(x^2+frac1{x^2}+2-2)+b(x+-frac1x)+c=0`.
При этом,
`ax^4+bx^3+cx^2-bx+a=0hArra(x-frac1x)^2+b(x-frac1x)+(c+2a)=0`
`ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0hArra(x+frac1x)^2+b(x+frac1x)+(c-2a)=0`.
Решите уравнение `t^4+8t^3+6t^2-8t+1=0`.
Уравнение является возвратным. Вынесем за скобку `t^2`, а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведется к квадратному трёхчлену:
`t^2(t^2+8t+6-frac8t+frac1{t^2})=0hArrt^2+frac1{t^2}+8t-frac8t+6=0hArr`
` iff(t^2-2+frac1{t^2})+8(t-frac1t)+8=0hArr(t-frac1t)^2+8(t-frac1t)+8=0hArr`
`iff t-1/t=-4+-2sqrt2 iff`
.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение `t^2-6t-a+6=0` `t=|x|`, имело одно положительное решение. Это возможно, если
`1`. Или дискриминант `=0` и единственный корень положителен:
`2`. Или дискриминант положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит):
Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.
Теперь построим график функции `y=t(t-6)` - рис. 9. |
| Рис. 9 |
С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 10.
 |
| Рис. 10 |
Видно, что условию задачи удовлетворяют все положительные значения правой части, т. е.
`g(a)>0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет два отрицательных решения.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`. Видно, что условию задачи удовлетворяют те значения `g(a)`, которые лежат между значениями левой части в вершине и числом `0`, т. е.
`y(-frac{f^2(a)}2)<g(a)<0hArr-(-frac{f^2(a)}2)^2<g(a)<0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство
`x^2-f^2(a)x-g(a)<=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем неравенство в другом виде: `(x-f^2(a))x<=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 11. Видно, что условие задачи выполнено только тогда, когда `g(a)` равно значению левой части в вершине, т. е.
`g(a)=y(frac{f^2(a)}2)=-(frac{f^2(a)}2)^2`.
 |
| Рис. 11 |
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.
Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
1. `sinx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=(-1)^n arcsin a+pi n, n in Z`.
Отметим, что последнюю формулу иногда удобнее расписать отдельно для чётных `(n=2k, k in Z)` и нечётных `(n=2k+1, k in Z)n`. А именно
$$ x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k,\\ \pi -\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k, k\in Z.\end{array}\right.$$
2. `cosx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=+- arccosa+2pin, n in Z`.
3. `"tg"x=a`. При любом `a` `x="arctg"a+pin, n in Z`.
4. `"ctg"x=a`. При любом `a` `x="arcctg"a+pin, n in Z`.
Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.
а) `sinx=1`. Тогда `x=pi/2+2pin,n in Z`.
б) `sinx=-1`. Тогда `x=-pi/2+2pin, n in Z`.
в) `cosx=0`. Тогда `x=pi/2+pin, n in Z`.
г) `cosx=-1`. Тогда `x=pi+2pin, n in Z`.
Рассмотрим несколько типовых способов решения тригонометрических уравнений.
I. Разложение на множители
Решить уравнение
`3sin2x-3cosx+2sinx-1=0`.
Используя формулу `sin2x=2sinxcosx`, преобразуем данное уравнение
`6sinxcosx-3cosx+2sinx-1=0`,
`3cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)=0`,
`(2sinx-1)(3cosx+1)=0`.
Уравнение распадается на два:
1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.
2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.
Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` и `m`), т. к. идёт перечисление решений.
Решить уравнение
`sin2x+cos(5x-pi/6)=0`.
Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.
Уравнение распадётся на два:
1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`3x+pi/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`.
2) `cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`; `(7x-(2pi)/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`7x-(2pi)/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
`x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
II. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного
Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.
По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,
поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.
`sinx(4sin^2x-3)=0`$$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=0, x=\pi n,n\in Z.\\ \mathrm{sin}x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).
`x=pin,ninz`; `x=+-pi/3+pin,n inZ`.
Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.
Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.
Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.
`x=+-pi/4+pin,ninZ`. (1)
Это уравнение можно решить и пользуясь формулой `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду: `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или
`x=pi/4+(pin)/2, ninZ`. (2)
Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.
`x=pi/4+(pin)/2,ninZ`.
III. Однородные уравнения
(хотя формально эти уравнения можно отнестик предыдущему типу)
Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.
Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на `cos^2x`. Получим уравнение `5"tg"^2x-4"tg"x-1=0`. Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
`x=pi/4+pin,ninZ`; `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем уравнение `5"tg"^2x-3"tg"x-2=0`.
Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-2/5`. И значит, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
`x=pi/4+pin,ninZ`, `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
Наконец рассмотрим уравнение, сводящееся к однородному третьего порядка.
Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.
Перепишем это уравнение так:
`sin^3x+13cos^3x-cosx(cos^2x+sin^2x)=0` или
`sin^3x+12cos^3x-cosxsin^2x=0`.
Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `"tg"x`
`"tg"^3x-"tg"^2x+12=0`.
Делаем замену: `t="tg"x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители
`(t+2)(t^2-3t+6)=0`.
Уравнение `t^2-3t+6=0` не имеет действительных корней, т. к. `D<0`. Итак, `"tg"x=-2` или `x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
`x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
IV. Использование формулы дополнительного угла
Напомним эту формулу `asin alpha +bcos alpha=sqrt(a^2+b^2)sin(alpha+varphi)`, где `varphi` определяется (неоднозначно) из равенств
`cosvarphi=a/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))(a^2+b^2!=0)`.
Например, `sinalpha+cos alpha=sqrt2sin(alpha+pi/4)`. Формулу дополнительного угла можно записать и в другом виде, например,
`asinalpha+bcosalpha=sqrt(a^2+b^2)cos(alpha+varphi)`, где
`cosvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=-a/(sqrt(a^2+b^2))`.
Решить уравнение `4sinx-3cosx=5`.
1-ый способ. По формуле дополнительного угла преобразуем уравнение:
`sqrt(16+9)sin(x+varphi)=5`, `sin(x+varphi)=1`, `cosvarphi=4/5`, `sinvarphi=-3/5`.
Можно взять `varphi=-arcsin 3/5`. Решением уравнения будет: `x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`x=arcsin 3/5+pi/2+2pin,ninZ`.
2-й способ. Воспользуемся формулами:
`sinx=2sin x/2 cos x/2`, `cosx=cos^2 x/2 -sin^2 x/2`, `1=sin^2 x/2+cos^2 x/2`.
Тогда уравнение `4sinx-3cosx=5` запишется в виде
`8sin x/2 cos x/2-3(cos^2 x/2-sin^2 x/2)=5(sin^2 x/2+cos^2 x/2)` или
`2sinx^2 x/2-8sin x/2cos x/2+8cos^2 x/2=0`.
Это однородное уравнение второго порядка, деля которое на `2cos^2 x/2`, получим уравнение `"tg"^2 x/2-4"tg" x/2+4=0` или `("tg" x/2-2)^2=0`. Итак, `"tg" x/2=2`, значит `x/2="arctg"2+pin,ninZ`, или `x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
`x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
Отметим, что формы ответа при решении способами 1 и 2 различны, хотя, конечно, это одно и то же множество точек.
Решить уравнение `sin2x-2(sinx+cosx)-1=0`.
Сделаем замену: `t=sinx+cosx`. Тогда
`t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+sin2x`.
Откуда `sin2x=t^2-1`. Наше уравнение преобразуется в такое:
`t^2-2t-2=0`. `t_1=1+sqrt3`, `t_2=1-sqrt3`.
Так как `t=sinx+cosx=sqrt2sin(x+pi/4)<=sqrt2`, то `t_1=1+sqrt3>sqrt2` не даёт решений. Число `|1-sqrt3|<=sqrt2` и уравнение `sin(x+pi/4)=(1-sqrt3)/(sqrt2)` имеет решения:
`x+pi/4=(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
`x=-pi/4+(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
Отметим, что подобным образом решаются уравнения вида: `F(sin2x, sinx+-cosx)=0`. Замена `t=sinx+-cosx`.
Рассмотрим ещё одно часто встречающееся приложение формулы дополнительного угла.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения `f(x)=8sin^2x+3sin2x-11`.
Преобразуем выражение, используя формулу `2sinx^2x=1-cos2x`. Получаем:
`f(x)=(4-4cos2x)+3sin2x-11=3sin2x-4cos2x-7=`
`=5sin(2x+varphi)-7`.
Здесь можно взять `varphi=-arcsin 4/5`. Так как `-1<=sin(2x+varphi)<=1`, то `-5<=sin(2x+varphi)<=5` и `-12<=5sin(2x+varphi)-7<= -2`. При этом значение `f(x)=-12` принимается при `2x+varphi=-pi/2+2pin,ninZ`, а значение `f(x)=-2` принимается при `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`max_Rf(x)=-2`, `min_R f(x)=-12`.
Рассмотрим теперь более сложные тригонометрические уравнения, в которых надо делать отбор корней.
V. Рациональные тригонометрические уравнения
Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.
ОДЗ `sinx!=-sqrt3/2`.
Не будем решать это неравенство, а изобразим на тригонометрическом круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.
Решаем уравнение `cos2x+cosx+1=0`.
Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`, `2cos^2x+cosx=0`,
`cosx(2cosx+1)=0 iff`$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0, x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n,n\in Z,\\ \mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.
Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом круге (рис. 3в). Мы видим, что точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`, удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,
`x=pi/2+pin,ninZ`, `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.
ОДЗ $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}3x\ne 0\\ \mathrm{sin}x\ne 0\end{array}\right.\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi m}{3}},m\in Z.$$
Умножим уравнение на `sinx*sin3x`. Получим:
`sin^2x+sin3x*sin5x=8sinxcosx*sin3x*cos3x`.
Преобразуем это уравнение:
`(1-cos2x)/2+1/2(cos2x-cos8x)=2sin2x*sin6x`.
Ещё раз воспользуемся формулой
`sinalpha*sinbeta=1/2(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))`
в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим
`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)` или `1+cos8x-2cos4x=0`.
Далее: `1+(2cos^2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}4x=1.\\ \mathrm{cos}4x=0.\end{array}\right.$$
Если `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.
1. Изображаем точки
`x=(pin)/2,ninZ`, (3)
на тригонометрическом круге (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).
2. Изображаем точки
`x=(pim)/3,m inZ` (4)
которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).
Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки
`x=pi/2+pin,ninZ`.
С решениями уравнения
`cos4x=0`, `4x=pi/2+pin,ninZ`,
или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек - решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` – далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m` и `n` такие, что
`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`
`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.
Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.
Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m` и `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`. Видим, что `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т. е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.
`x=pi/2+pin,ninZ`; `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`.
Иногда отбор решений предлагается сделать в условии задачи.
а) Решить уравнение `2/("tg"^2x)-1/("tg"x)-3=0`.
б) Указать корни, принадлежащие отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) Сделаем замену `t=1/("tg"x)`. Получим уравнение `2t^2-t-3=0`. Его решение `t_1=-1` и `t_2=3/2`.
1) `"tg"x=-1`. Следовательно, `x=-pi/4+pin,ninZ`.
2) `"tg"x=2/3`. Тогда `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) Сделаем отбор корней, принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
1) Решаем неравенство `-(3pi)/2<=-pi/4+pin<=-pi/2`. Оно равносильно неравенству `-5/4<=n<=-1/4`. Т. к. `ninZ`, то последнему неравенству удовлетворяет только `n=-1`. Итак, из серии решений `x=-pi/4+pin,ninZ`, только корень `x=-(5pi)/4 in [-(3pi)/2; -pi/2]`.
2) Аналогично решаем неравенство
`-(3pi)/2<="arctg"2/3+pin<=-pi/2`. (5)
Т. к. `ninZ`, то в силу правого неравенства `n<0`. Число `n=-1` подходит, т. к. неравенство (5) в этом случае преобразуется в неравенство `-pi/2<="arctg"2/3<=pi/2`, что верно, `n=-2` не удовлетворяет (5), т. к. в этом случае получим `pi/2<="arctg"2/3`, что неверно. Аналогично не подходит `n< -2`. Итак, из серии решений `x="arctg"2/3+pin,ninZ`, только корень `("arctg"2/3-pi)in[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) `x=-pi/4+pin,ninZ`; `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) `x=-(5pi)/4` и `x="arctg"2/3-pi`.
Найти наименьший корень уравнения `"ctg"6x-"tg"5x=1/(cos5x)`,
принадлежащий отрезку `[(8pi)/17; (40pi)/17]`.
Преобразуем данное уравнение
`(cos6x)/(sin6x)-(sin5x)/(cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos6x*cos5x-sin6x*sin5x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos11x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`.
Последнее уравнение равносильно `cos11x=sin6x` при условии `sin6x*cos5x!=0`.
Решаем уравнение `cos11x-sin6x=0`. Преобразуем его:
`cos11x-cos(6x-pi/2)=0` или `-2sin((17x)/2-pi/4)sin((5x)/2+pi/4)=0`.
1) Если `sin((5x)/2+pi/4)=0` то `(5x)/2+pi/4=pin,ninZ`, откуда `5x=-pi/2+2pin,ninZ`.
Эти числа не являются корнями исходного уравнения, т. к. нарушается условие `cos5x!=0`.
2) Если `sin((17x)/2-pi/4)=0`, то `x=(pi(1+4n))/(34),ninZ`. Находим, при каких `ninZ`, эти числа лежат на отрезке `[(8pi)/17;(40pi)/17]`. Решаем неравенства
`(8pi)/(17)<=(pi(1+4n))/34<=(40pi)/17 iff 15/4<=n<=79/4`.
Значит, `4<=n<=19,ninZ`. Итак, на отрезок `[(8pi)/17;(40pi)/17]` попадают числа `(17pi)/34, 21/34 pi, 25/34 pi,...`. Первое из них не удовлетворяет условию `cos5x!=0` `("т". "к". (17pi)/34=pi/2)` и, следовательно, не является решением уравнения. Число `(21pi)/34` удовлетворяет условию `sin6x*cos5x!=0`; значит, именно оно является минимальным корнем на данном отрезке.
`x=(21pi)/34`.
VI. Тригонометрические уравнения с корнем квадратным
Решить уравнение `sqrt(cos2x-5sinx)=-2cosx`.
Это уравнение равносильно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{cos}2x-5\mathrm{sin}x=4{\mathrm{cos}}^{2}x.\\ \mathrm{cos}x\le 0.\end{array}\right.$$
Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть уравнения равна корню квадратному, а он неотрицателен по определению. (Отметим, что в системе мы не пишем неравенство `cos2x-5sinx>=0`, т. е. подкоренное выражение неотрицательно, т. к. оно равно квадрату правой части). Решаем уравнение: `cos2x-5sinx=4cos^2x`. Преобразуем его:
`(1-2sin^2x)-5sinx=4(1-sin^2x)` или `2sin^2x-5sinx-3=0`.
Заменяя `sinx=t`, получим квадратное уравнение: `2t^2-5t-3=0`.
Откуда `t_1=3`, `t_2=-1/2`. Т. к. `|sinx|<=1`, то `t_1=3` не даёт решений.
Если же `sinx=-1/2`, то на тригонометрическом круге (рис. 5) имеем две точки. Но правая точка не подходит, т. к. должно быть `cosx<=0`. Итак,
`x=(7pi)/6+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `sqrt(5-cos2x)=cosx-3sinx`.
Это уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}5-\mathrm{cos}2x={\left(\mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\right)}^{2},\\ \mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\ge 0.\end{array}\right.$$
Решаем уравнение. Преобразуем его к однородному.
`5(sin^2x+cos^2x)-(cos^2x-sin^2x)=cos^2x-6sinxcosx+9sin^2x`
или `3sin^2x-6sinxcosx-3cos^2x=0`.
Далее `2sinxcosx+(cos^2x-sin^2x)=0` или `sin2x+cos2x=0`.
Это однородное уравнение 1-го порядка. Оно эквивалентно уравнению `"tg"2x=-1`.
Отсюда `2x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x=-pi/8+(pin)/2,ninZ`.
Изобразим решения на тригонометрическом круге (рис. 6). Это `4` точки (`n=0,1,2,3` - далее они повторяются).
Для этих точек надо проверить неравенство `cosx-3sinx>=0`. Ясно, что точка `x_1` удовлетворяет этому неравенству, т. к. `cosx_1>0` и `sinx_1<0`. Для точки `x_3`, диаметрально противоположной точке `x_1`, `sinx` и `cosx` меняют знак, меняет знак и выражение `(cosx-3sinx)`, и, следовательно, для `x_3` неравенство не выполняется. Точка `x_2` не удовлетворяет неравенству, т. к. `sinx_2>0`, `cosx_2>0`, но `sinx_2>cosx_2` в виду того, что `pi/4<x_2<pi/2`, так что выражение `cosx_2-3sinx_2<0`. Точка `x_4` диаметрально противоположна `x_2`. Следовательно,
`cosx_4-3sinx_4=-(cosx_2-3sinx_2)>0`,
и, значит, это решение. Учитывая, что решения имеют период `2pi`, получаем
`x=-pi/8+2pin,ninZ`; `x=11/8pi+2pin,ninZ`.
VII. Уравнения с модулем
Решить уравнение `sin3x+|sinx|=sin2x`.
Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.
1) $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x\ge 0,\\ \mathrm{sin}3x+\mathrm{sin}x=\mathrm{sin}2x.\end{array}\right.$$
2)
Решаем первую систему. Уравнение `sin3x+sinx=sin2x` преобразуем:
`2sin2xcosx=sin2x` или `sin2x(2cosx-1)=0`.
Значит,
$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}x=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$$
Изображаем решения уравнения `sin2x=0` на тригонометрическом круге: `x=(pin)/2,ninZ`, (рис. 7). В силу неравенства `sinx>=0` не подходит нижняя точка, т. е. в решения системы входят
`x=pin,ninZ`, и `x=pi/2+2pin,ninZ`.
Аналогично, изображаем на тригонометрическом круге (рис. 8) решения уравнения `cosx=1/2`. Нижняя точка не удовлетворяет неравенству `sinx>=0`. Значит, остаются в качестве решений системы
`x=pi/3+2pin,ninZ`.
Итак, решениями первой системы являются
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+2pin,ninZ`.
Решаем вторую систему. Уравнение `sin3x-sinx=sin2x` преобразуем:
`2cos2x*sinx=2sinxcosx`.
Т. к. в этой системе `sinx!=0`, то можно сократить уравнение на `2sinx`. Оно запишется:
`cos2x=cosx` или `2cos^2x-cosx-1=0`.
Отсюда `cosx=1` или `cosx=-1/2`. На тригонометрическом круге этим уравнениям удовлетворяют соответственно точки (рис. 9 и рис. 10). Неравенству `sinx<0` удовлетворяет только одна из этих трёх точек, находящаяся в нижней полуплоскости, а именно
`x=pi/3+pi+2pin,ninZ`.
В ответе две серии решений
`x=pi/3+2pin,ninZ` и `x=pi/3+pi+2pin,ninZ`,
соответствующие двум диаметрально противоположным точкам тригонометрического круга, можно задать одной формулой:
`x=pi/3+pin,ninZ` (но это не обязательно).
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+pin,ninZ`.
Сначала рассмотрим простейший пример. Решить систему
Здесь `x` и `y` находятся независимо друг от друга. В этих случаях параметры надо обозначать различными буквами. Обозначение их одной буквой будет в таких случаях ошибкой.
Решаем каждое уравнение
`(x;y)=n;m),n,m in Z`,
т. е. на плоскости решениями системы являются все точки с целочисленными координатами. Если же мы будем считать `m=n`, то точки `(n;n),ninZ`, - это целочисленные точки, лежащие только на биссектрисе I и III координатных углов. Они не представляют все решения рассмотренной системы.
Решить систему
Преобразуем второе уравнение системы:
`(1-2sin^2x)-(2cos^2y-1)=1`, т. е. `2sin^2x+2cos^2y=1`.
Обозначим `u=sinx`, `v=cosy`. Система перепишется:
Нетрудно проверить, что решением этой системы является пара
Переходя к (`x`; `y`), имеем:
Отсюда
Заметим, что ответ можно записать и в такой форме:
`((-1)^n pi/6+pin; +-pi/3+2pim),n,m inZ`.
Решить систему
Складывая первое и второе уравнения и вычитая из первого уравнения второе, получим систему, эквивалентную первоначальной:
Это система из простейших тригонометрических уравнений, решаемых независимо друг от друга.
Складывая уравнения последней системы и деля на `2`, а так же вычитая из второго уравнения последней системы первое и деля на `2`, получаем ответ.
(в формулах одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки).
Решить систему уравнений
Перепишем систему
Возведём оба уравнения последней системы в квадрат и сложим их. Мы получим
`1=25sin^2x+4-12cosx+9cos^2x` или `1=25(1-cos^2x)+4-12cosx+9cos^2x`.
Далее имеем: `16cos^2x+12cosx-28=0` или `4cos^2x+3cosx-7=0`.
Решением последнего уравнения является `cosx=1` или `x=2pin,ninZ`.
Подставляя `cosx=1` во второе уравнение первоначальной системы, находим, что
`cosy=-1` или `y=pi+2pi m,m in Z`.
Проверяем, что найденные `(x;y)` удовлетворяют и первому уравнению исходной системы (проверку делать нужно, т. к. исключая `y` мы переходили к следствию системы и могли получить лишние корни). Итак,
Тригонометрические неравенства надо сводить к простейшим, а простейшие легче решать на тригонометрическом круге.
Решить неравенство `sinx< -1/2`.
На тригонометрическом круге (рис. 11) отмечаем точки, в которых `sinx=-1/2` (точки `A` и `B`). Неравенству удовлетворяет дуга . Она записывается так `(pi+pi/6;2pi-pi/6)` или `((7pi)/6; (11pi)/6)`. Учитывая период `2pi` синуса, получаем серию дуг
`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.
`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.
Важно обратить внимание, чтобы при записи ответа левый конец интервала был меньше правого, и при увеличении угла в интервале пробегалась нужная дуга.
Решить неравенство `"tg"x<=2`.
Нарисуем тригонометрический круг и ось тангенса.
Отметим на правой единичной полуокружности (период тангенса равен `pi`, можно рассматривать полуокружность, а не всю окружность) точки, соответствующие углам, у которых тангенс меньше или равен `2` (рис.12). Это будет дуга (точка `B` включена, а `A` – нет). Запишем её `(-pi/2; "arctg"2]`. Теперь учтём период тангенса. Получаем
`(-pi/2+pin; "arctg"2+pin],ninZ`.
Решить неравенство
По аналогии с алгебраическими неравенствами с корнем квадратным мы должны решить две системы и объединить их решения.
1) (6)
и
2) (7)
В данном случае ОДЗ: `7-cos4x>=0` выполняется всегда, так что решение первой системы `cosx>0` (пока не будем находить `x`). Решаем вторую систему. Преобразуем неравенство (7):
`7-cos4x>32cos^4x`;
`7-(2cos^2 2x-1)>32cos^4x`,
`8-2cos^2 2x>32cos^4x`,
`4-(2cos^2x-1)^2>16cos^4x`,
`4-4cos^4x+4cos^2x-1>16cos^4x`,
`20cos^4x-4cos^2x-3<0`.
Обозначим `cos^2x=t`. Получим алгебраическое неравенство: `20t^2-4t-3<0`.
Откуда `-3/10<t<1/2`. Так как `t>=0,` то `t<1/2`. Далее `cos^2x<1/2 iff |cosx|<1/(sqrt2)`.
Учитывая (6): `cosx<=0`, получаем `-1/(sqrt2)<cosx<=0`.
Это решение системы 2). Объединяя решение 1) и 2) систем, получаем `-1/(sqrt2)<cosx`.
Решая это простейшее неравенство на тригонометрическом круге (рис. 13), имеем дугу .
`(-(3pi)/4+2pin;(3pi)/4+2pin),ninZ`.
Решить уравнение `3sin^5x+4cos^3x=7`.
Так как
`3sin^5x<=3` (8)
и `4cos^3x<=4`, (9)
а неравенства одного знака можно складывать, то `3sin^5x+4cos^3x<=7`, причём если хотя бы в одном из неравенств (8) или (9) знак «`<=`» заменить на «`<`», то получим `3sin^5x+4cos^3<7`. Значит, чтобы `x` удовлетворяло уравнению необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система
$$ \left\{\begin{array}{l}3{\mathrm{sin}}^{5}x=3,\\ 4{\mathrm{cos}}^{3}x=4\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=1,\\ \mathrm{cos}x=1,\end{array}\right.$$
но это невозможно, т. к. `sin^2x+cos^2x=1`.
Решений нет.
Решить уравнение `sin^4 2x+1=cos3x`.
Так как левая часть уравнения `sin^4 2x+1>=1`, а правая часть `cos3x<=1`, то уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{sin}}^{4}2x+1=1,\\ \mathrm{cos}3x=1\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}3x=1.\end{array}\right.$$
Отсюда
$$ \left\{\begin{array}{l}2x=\pi n,n\in Z,\\ 3x=2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi n}{2}},n\in Z,\\ x={\displaystyle \frac{2\pi n}{3}},m\in Z.\end{array}\right.$$
На тригонометрическом круге изобразим решения первого уравнения последней системы на рис. 14, а второго- на рис. 15. Совпадение будет при `x=2pik,kinZ`.
`x=2pik,kinZ`.
Решить уравнение `sin^2 4x+cos^2x=2sin4x*cos^4x`.
Перепишем уравнение `sin^2 4x-2sin4x*cos^4x+cos^2x=0`.
Будем решать его как квадратное относительно `sin4x`. Дискриминант уравнения
`D=4cos^8x-4cos^2x=4cos^2x(cos^6x-1)<=0`.
Значит, решения возможны только в случае `D=0` или $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0,\\ \mathrm{cos}x=\end{array}\right.\pm 1.$$ Последней совокупности уравнений удовлетворяют значения `x=(pin)/2,ninZ`. Так как при этих `x` обращается в нуль и `sin4x`, то из уравнения следует, что должно быть `cosx=0`.
Отсюда `x=pi/2+pin,ninZ`.
`x=pi/2+pin,ninZ`.
Решить систему уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}\mathrm{sin}x-\sqrt{3}\mathrm{cos}y={\displaystyle \frac{5}{2}},\\ \mathrm{sin}y+\sqrt{2}\mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.\end{array}\right.$$
Вычтем из первого уравнения системы второе. Получим:
`sqrt2(sinx-cosx)-(siny+sqrt3cosy)=4`.
По формуле дополнительного угла имеем:
`2sin(x-pi/4)-2sin(y+pi/3)=4` или `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/4)=2`
Так как `sin(x-pi/4)<=1` и `-sin(y+pi/3)<=1`, то `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/3)<=2`,
причём равенство может достигаться только в случае, если
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ -\mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=1\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ \mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-1.\end{array}\right.$$
Решая эту систему, получаем
$$ \left\{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z,\\ y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,n\in Z,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m,m\in Z.\end{array}\right.$$
Так как мы решаем уравнение – следствие системы и могли получить лишние корни, то надо сделать проверку. В нашем случае
`sinx=1/(sqrt2)`, `cosx=-1/(sqrt2)`, `siny=-1/2`, `cosy=-(sqrt3)/2`
и, подставляя эти значения в исходную систему, убеждаемся, что она удовлетворяется. Итак,
$$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m, n,m\in Z.\end{array}\right.$$
Решить уравнение `"arctg"3x=arccos8x`.
Напишем ОДЗ `|8x|<=1`, `|x|<=1/8`. Возьмём тангенс от обеих частей уравнения. Получим: `3x=(sin(arccos8x))/(8x)` или `24x^2=sqrt(1-64x^2)`.
Обозначим `t=8x^2`. Имеем уравнение `3t=sqrt(1-8t)` или `9t^2+8t-1=0`.
`t_1=-1`, `t_2=1/9`. Т. к. `t>=0`, то `t=1/9=8x^2`, `x^2=1/72` (ОДЗ удовлетворяется).
Отсюда `x=+-1/(6sqrt2)`.
Далее нужно делать проверку, т. к. в исходном уравнении углы равны, а мы перешли к уравнению, где тангенсы этих углов равны, т. е. к следствию нашего уравнения. При этом могут появиться посторонние корни.
`x_1=-1/(6sqrt2)` не удовлетворяет уравнению, т. к. `"arctg"3x_1<0` (`"arctg"x<0`, если `x<0`), а `arccos8x_1>=0` (`arccosx>=0` всегда).
`x_2=1/(6sqrt2)` - удовлетворяет уравнению, т. к. углы `"arctg"3x_2 in (0;pi/2)` и
`arccos8x_2 in (0;pi/2)` и тангенсы у них совпадают.
`x=1/(6sqrt2)`
При каких значениях параметра `a` уравнение `(x-a)arccos(x+3)=0` имеет единственное решение?
ОДЗ `arccos(x+3)`: `-1<=x+3<=1` или `-4<=x<= -2`. Решение уравнения:
$$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x+3=1\end{array}\right.$$ или $$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x=-2.\end{array}\right.$$
Так как `x=-2 in`ОДЗ, то единственным решением может быть только `x=-2`. Значит должно выполняться:
$$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\notin \mathrm{ОДЗ}\end{array}\right.$$ или $$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-2;+\infty \right).\end{array}\right.$$
`a in (-oo;-4)uu[-2;+oo)`.
Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение `2cos2x+2asinx+a=1` имеет единственное решение на интервале `(-pi/2;0)`.
Преобразуем уравнение
`2(1-2sin^2x)+2asinx+(a-1)=0`,
`4sin^2x-2asinx-(a+1)=0`.
Обозначим `sinx=t`. Решим уравнение `4t^2-2at-(a+1)=0`.
`D/4=a^2+4(a+1)=(a+2)^2`, $$ {t}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{a\pm \left(a+2\right)}{4}}=\left[\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$
Итак, $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ \mathrm{sin}x={\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$ Но уравнение `sinx=-1/2` даёт один корень на `(-pi/2;0)` - он равен `(-pi/6)`.
Значит, для единственности решения задачи должно быть либо
`(a+1)/2=-1/2` и `a=-2`, либо `(a+1)/2` не даёт значение `sinx` в интервале
`x in (-pi/2;0)`, т. е. $$ \left[\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{a+1}{2}}\ge 0,\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}\le -1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a\ge -1,\\ a\le -3.\end{array}\right.$$ Итак,
`ain(-oo;-3]uu{-2}uu[-1;+oo)`.
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `(sinx-cosx)/(sinx-acosx)=a` имеет хотя бы одно решение на отрезке `[pi/2;pi]`.
Уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x-\mathrm{cos}x=a\mathrm{sin}x-{a}^{2}\mathrm{cos}x,\\ \mathrm{sin}x-a\mathrm{cos}x\ne 0.\end{array}\right.$$
Эта система из однородного уравнения первого порядка и неравенства.
1) Если `cosx=0`, `x in [pi/2;pi]`, т. е. `x=pi/2`, то `sinx=1` и система даёт `a=1`.
2) Если же `cosx!=0`, то делим уравнение и неравенство системы на `cosx`. Получаем систему
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x-1=a\mathrm{tg}x-{a}^{2},\\ \mathrm{tg}x-a\ne 0,\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}\left(a-1\right)\mathrm{tg}x={a}^{2}-1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$
Если `a=1`, то системе удовлетворяют все значения из `(pi/2;pi]`.
Если же `a!=1`, то система становится такой: $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=a+1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$
Чтобы ей удовлетворяла хотя бы одна точка из `(pi/2;pi]`, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось `a+1<=0`, т. е. `a<= -1` (см. рис. 16).
Итак,
`a<= -1`, `a=1`.
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
| `f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)` | (1) |
или два уравнения
| `f_1 (x) = g_1 (x)` и `f_2 (x) = g_2 (x)` | (2) |
называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.
Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0` (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:
`f(x) = 0 hArr g(x) = 0` (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).
`sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.
Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).
При каких значениях параметра `a` системы
| и |
равносильны?
Решим сначала первую, более простую систему
Подставим `a = 3` во вторую систему
Следовательно, при `a = 3` системы равносильны, т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.
При `a != 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе `y` входит только в чётной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`, то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему
Итак, таких `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a` вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.
1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).
2. `a=1`: Вторая система имеет вид
Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.
3.
и
Следовательно, системы при этом значении `a` равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.
`2; 3`.
При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы.
1. Если функции `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве
| а) | `f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`. | (УР 1) |
| б) | `f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`. | (УР 2) |
2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`, | (УР 3) |
т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.
3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`, | (УР 4) |
т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.
4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`
| `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`. | (УР 5) |
5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству, т. е.
| `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`. | (УР 6) |
Если обе части неравенства отрицательны, то умножив обе части на `(–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим (УР 6).
Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.
6. Если обе части уравнения неотрицательны, то
| `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`. | (УР 7) |
7. Для любых `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального `n`
| `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`. | (УР 8) |
8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,
| $$f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.$$ | (УР 9) |
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.
Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически.
 |
| Рис. 1 |
Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`, `y = x + 1` и посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).
`[- 3; 1)`.
Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приведённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):
| `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. | (УР К1) |
| (УР К2) | |
| (УР К3) | |
| (УР К4) |
ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)`
ОДЗ: `f(x) >= 0`.
Рассмотрим неравенство
`sqrt(f(x)) >= g(x)`.
Докажем, что
|
`sqrt(f(x))>=g(x)`$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$ |
(УР К5) |
1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`. Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`.
2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств
$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$
Тогда:
а) если `g(x) < 0` и `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:
б) если `g(x) >= 0` и
`f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,
то
`f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.
Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:
| `sqrt(f(x))>=g(x)`$$\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$ | (УР К6) |
Теперь рассмотрим неравенство вида
`sqrt(f(x)) <= g(x)`.
Докажем, что
| (УР К7) |
Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.
Первый способ
Воспользуемся (УР К5):
`3sqrt(3x^2-8x-3)>1-2x iff`$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}1-2x<0,\\3x^2-8x-3\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}1-2x\geq0,\\9\left(3x^2-8x-3\right)>\left(1-2x\right)^2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{-1}3\right]\cup\left[3;+\infty\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x\leq0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\cup\left(\dfrac{34+30\sqrt2}{23};+\infty\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\in\left[3;+\infty\right)\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\end{array}$$
`iff x in (- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
`(- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
Второй способ
Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:
`3x^2 - 8x - 3 >= 0 iff (x - 3)(x+1/3) >= 0 iff x in (-oo; - 1/3] uu [3; + oo)`.
Теперь неравенство перепишем в виде `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) -(1 - 2x) > 0`.
1. Если `1 - 2x < 0`, т. е. `x > 1/2`, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. `x in [3; + oo)`.
2. Если `1 - 2x>= 0`, т. е. `x <= 1/2`, то `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 2x iff`
`iff 9(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 4x + 4x^2 iff 23x^2 - 68x - 28 > 0 iff`
`iff x in (- oo; (34-30sqrt2 )/(23)) uu ((34+30 sqrt2)/(23); + oo)`.
Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически.
Учтём, что `x <= 1/2` - тогда `x in (- oo; (34-30sqrt2)/(23))`.
Объединяя 1 и 2, получаем
`(- oo ; (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.
ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`
Рассмотрим неравенство вида `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`.
Докажем, что
| (УР К8) |
1. Если `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0` и `f(x) <= g(x)`, т. е. `x` является решением системы неравенств
2. Если `x` является решением системы неравенств
то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0`, `sqrt(f(x))` и `sqrt(g(x))` существуют.
При этом `f(x) <= g(x) iff sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, т. е. неравенство выполнено.
Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок `«>=»` или `«<=»` на `«>»` или `«<»` соответственно.
Решите неравенство `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5)`.
`sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5) iff`
`[- 1/2;1] uu [4; + oo)`.
ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x))>=0` `(<= 0)`
Роль сопряжённых выражений
Обычно при решении неравенств, имеющих ОДЗ, надо сначала найти ОДЗ. При нахождении ОДЗ такого сложного неравенства, как `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0`, учителя и школьники обычно решают систему . Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель и решают неравенство `sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.
Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие `h(x) != 0`, и тем более не будем тратить время и силы на решение этого неравенства. Оправдывается это тем, что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие `h(x) != 0` автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение `h(x) != 0` заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (с `h(x) != 0`), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0` будем искать ОДЗ*: `f(x) >= 0`.
Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида
`(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
В методической литературе предлагается рассмотреть две системы в зависимости от знака знаменателя `h(x)`, причём в каждой есть неравенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».
Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака `h(x)`, а от знака `g(x)`, и неравенств с корнем решать не придётся.
Рассмотрим отдельно разность `sqrt(f(x)) - g(x)`. Отметим две особенности поведения этой разности:
1) если `g(x) < 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` положительна в ОДЗ;
2) если `g(x) >= 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` может быть как положительной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности `(sqrt(f(x)) - g(x))` на неотрицательное выражениене `(sqrt(f(x)) + g(x))` не изменит знака разности, т. е. выражение
`(sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) -= f(x) - g^2 (x)`
имеет тот же знак, что и `(sqrt(f(x)) - g(x))` в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение `(sqrt(f(x)) + g(x))` называется сопряжённым для `(sqrt(f(x)) - g(x))` выражением. Отсюда следует важное правило П К1:
| Если `g(x)>=0`, то знак разности `sqrt(f(x)) - g(x)` совпадает со знаком разности `f(x) - g^2 (x)` в ОДЗ. | (П К1) |
Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида
`(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0` или `(sqrt(f(x)) - g(x))h(x) >=0`.
Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и двумя случаями, но без корней.
Рассмотрим, для определённости, неравенство `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0`.
1. Мы уже заметили, что, если `g(x) < 0`, то числитель положителен в ОДЗ. Но тогда .
2. Если же `g(x) >= 0`, то разность может менять знак в зависимости от значений `x`, но сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, и умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству, т. е. в этом случае
.
Для неравенства другого знака меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ:
| (УР К9) |
Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) решения следует сравнить с ОДЗ.
Решите неравенство `(4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15) +2x) >=0`.
ОДЗ*. `4x+15>=0 iff x>=-(15)/4`.
Теперь в ОДЗ преобразуем неравенство:
Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рисунке 2 видно, что неравенство выполнено от точки `x=-(15)/4` до абсциссы точки пересечения кривой `y=sqrt(4x+15)` и прямой `y=2x`.
 |
| Рис. 2 |
Найдём эту абсциссу:
Заметим, что для решения уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение:
А в нашей системе решение этого уравнения `x=-3/2` как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы, оказалось достаточно решить единственное уравнение
Теперь можно записать
.
Решите неравенство `(sqrt(2-x) +4x-3)/x >= 2`.
Найдём сначала ОДЗ*: `2-x>=0 iff x<=2`.
Теперь воспользуемся (УР К9):
$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3-2x<0,\\x>0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}3-2x\geq0,\\\dfrac{2-x-\left(2x-3\right)^2}x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{4x^2-11x+7}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
Систему неравенств решили классическим методом интервалов - рис. 3.
 |
| Рис. 3 |
`(- oo; 0) uu [1; 2]`.
`(sqrt(x^2 -4x+3) -2(x+7))/(x^2 -x-72) <= 0`.
Неравенство довольно громоздкое и сложное.
Найдём сначала ОДЗ*:
`x^2 -4x+3>=0 iff (x-1)(x-3)>=0 iff x in (- oo; 1] uu [3; +oo)`.
Затем рассмотрим отдельно два случая в зависимости от знака `(x+7)`.
1. Если `x+7<0 iff x< -7`, то числитель положителен в ОДЗ* и
$$\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x^2-x-72<0\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-9\right)<0\Leftrightarrow $$
$$\Leftrightarrow x\in\left(-8;9\right)$$.
Учитывая ограничение `x< -7`, получаем, что `x in (-8;-7)`. Оказалось, что этот промежуток принадлежит ОДЗ*.
2. Если `x+7>=0 iff x>= -7`, то воспользуемся правилом П К1. Тогда
с учётом ограничения `x>= -7`. Оказалось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому `x in (-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.
`(-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.
ПУНКТ 4. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
Роль сопряжённых выражений
Теперь рассмотрим неравенство вида `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.
На вид довольно сложное неравенство. Разность `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` где-то на числовой оси положительна, где-то отрицательна, но сумма корней `sqrt(f(x)) + sqrt(g(x))` всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному в ОДЗ неравенству, и имеет место условие равносильности в ОДЗ
| (УР К10) |
или полное условие равносильности, включающее ОДЗ:
| (УР К11) |
Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К2):
| Знак разности `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` совпадает со знаком разности `f(x) - g(x)` в ОДЗ. | (П К2) |
Решите неравенство `(sqrt(1-x^3) -1)/(x+1) <= x`
и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.
Замечательный пример на применение (УР К11)!
Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы `x^2 +x+1` никогда в `0` не обращается - он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на `sqrt(x^2 +x+1)` можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда
`(sqrt(1-x^3 ) -1)/(1+x) <= x iff (sqrt(1-x^3) -1-x-x^2 )/(1+x) <= 0 iff`
`iff (sqrt((1-x)(x^2 +x+1)) - (sqrt(x^2 +x+1))^2)/(1+x) <= 0 iff`
`iff (sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))/(1+x) <= 0 iff`
`iff ((sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))(sqrt(1-x) + sqrt(x^2 +x+1)))/(1+x) <= 0 iff`
`iff x in [-2; -1) uu [0; 1]`.
Неравенство решено методом интервалов - рис. 4.
 |
| Рис. 4 |
Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `3`.
`[-2; -1) uu [0; 1], 3`.
Решите неравенство `(sqrt(4x^2 - 3x+2) - sqrt(4x-3))/(x^2 -5x+6) <=0`
и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.
Найдём сначала ОДЗ*: .
Теперь можно решить неравенство, применив правило (П К2) :
.
Промежуток принадлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `1`.
`(2; 3), 1`.
ПУНКТ 5. НЕСТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО `(sqrt(f(x)))/(g(x)) >= 0 (<= 0)`.
Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств.
Получим
| (УР10) |
Решите неравенство `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0`.
Воспользуемся (УР10): `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0 iff`
$$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2=0,\\x^2-1\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2>0,\\x^2-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3,\\x=2,\\\left\{\begin{array}{l}x\in\left(-3;2\right),\\x\in\left(-1;1\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\\\end{array}$$
`iff x in {-3} uu (-1; 1) uu {2}`.
`{-3} uu (-1; 1) uu {2}`.
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.
Решите неравенство `|x-1|/{x+2}<1`.
`|x-1|/{x+2}<1hArr{|x-1|-x-2}/{x+2}<0`.
1. `x-1>=0hArrx>=1`: `{x-1-x-2}/{x+2}=-3/{x+2}<0hArrx> -2`.
Получаем в этом случае `x>=1`.
2. `x-1<0hArrx<1: {-x+1-x-2}/{x+2}=-{2x+1}/{x+2}<0hArr{x+0,5}/{x+2}>0`.
 |
| Рис. 5 |
И мы получаем в этом случае `x in(-oo;-2)uu(-0,5; 1)`.
Объединяя результаты 1, 2, получаем окончательный
`(-oo;-2)uu(-0,5;+oo)`.
Решите неравенство `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1`.
`{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1hArr{|x-5|-2|x-6|+3}/{2|x-6|-4}<=0`.
1. `x>6: {x-5-2x+12+3}/{2x-12-4}={10-x}/{2x-16}<=0hArrx in(-oo;8)uu[10;+oo)`.
Учитывая условие `x>6`, получаем `x in(6;8)in[10;+oo)`.
2. `5<=x<=6: {x-5+2x-12+3}/{-2x+12-4}={3x-14}/{8-2x}<=0hArrx in(-oo;4)uu[14/3;+oo)`.
Учитывая условие `x in[5;6]`, получаем `x in[5;6]`.
3.
Учитывая условие `x<5`, получаем `x in(-oo;4)in(4;5)`.
`(-oo;4)in(4;8)in[10;+oo)`.
ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `|f(x)|<g(x)`
Пусть в некоторой точке `a` выполнено неравенство `|f(x)|<g(x)`, тогда `g(a)>0` и `|f(a)|g(a)`.
Тогда имеет место рисунок 6
 |
| Рис. 6 |
и неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`.
И, наоборот: пусть в некоторой точке `a` выполнены неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`. Тогда, во-первых, `-g(a)<g(a)hArrg(a)>0`, a, во-вторых, `|f(a)|<g(a)`. Следовательно, имеет место условие равносильности
| (УРМ1) |
ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|>g(x)`
Пусть в некоторой точке `a` неравенство выполнено, т. е. `|f(x)|>g(x)`.
Это означает, что, или,
а) `g(a)<0` (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или,
б) если `g(x)>=0`, имеет место рисунок 7
 |
| Рис. 7 |
и совокупность неравенств
И, наоборот, пусть в некоторой точке `a` имеет место совокупность неравенств Тогда
а) если `g(a)<0`, то неравенство `|f(a)|>g(a)` выполнено,
б) если `g(a)>=0`, то имеет место предыдущая картинка и выполнено неравенство `|f(a)|>g(a)`.
Следовательно, имеем равносильные соотношения
| $$\vert f(x)\vert>g(x)$$ $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)>g(x),\\f(x)<-g(x).\end{array}\right.$$ | (УР М2) |
Решите неравенство `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.
$$ \begin{array}{l}\begin{array}{l}\left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\iff \right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2;\end{array}\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \right.\end{array}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ x\in [1;2],=2,\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{2}{3},\\ x\in (-\infty ;0]\cup [5;\infty )\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \end{array}$$
`iff x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;oo)`.
`(oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.
ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|<|g(x)|`
Рассмотрим разность `|f(x)|-|g(x)|`. Она может быть любого знака, но сумма `|f(x)|+|g(x)|` всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е. `(|f(x)|-|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)=(|f(x)|^2-|g(x)|^2)=(f^2(x)-g^2(x))=`
`=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))` и
|
знак разности `|f(x)|-|g(x)|` совпадает со знаком произведения `(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))` |
(П М1) |
Имеем ещё одно условие равносильности
| `|f(x)|<|g(x)|hArr(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))<0`. | (УР М3) |
Решите неравенство $$ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0.$$
ОДЗ*:`-x^2+7x-6>=0hArr(x-1)(x-6)<=0hArrx in[1;6]`.
В ОДЗ* имеем $$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0\iff (\mathrm{в} \mathrm{силу} \mathrm{УРМ}3)\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(2{x}^{2}-8x+2\right){\displaystyle \left(-4x+8\right)}}}\le 0\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right){\displaystyle \left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)}{\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}{\displaystyle )}}}\ge 0\iff \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-7x+6=0,\\ x\ne 2\pm \sqrt{3},\\ x\ne 2,\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=1,\\ x=6,\end{array}\right.\right.\\ \left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-2\right)>0\iff \left(2-\sqrt{3};2\right)\cup \left(2+\sqrt{3};+\infty \right).\end{array}\right.\end{array}$$
Учитывая ОДЗ*, получаем
 |
| Рис. 8 |
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на одно меньше. С новой системой поступаем так же до тех пор, пока это возможно.
Однако очень часто при решении системы этим способом мы приходим к уравнениям, которые невозможно решить. Общих правил для решения систем не существует, но для некоторых систем существуют специальные приемы.
2. Однородные системы
3. Симметрические системы
4. Часто систему можно решить, если её сначала упростить с помощью равносильных преобразований.
Приведём примеры некоторых преобразований, приводящих к равносильным системам.
1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим равносильную систему.
2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций, то система равносильна совокупности при условии, что справа 0. Например,
| (УР С1) |
3. Если какое-нибудь уравнение системы умножить на число, отличное от нуля, то получится система, равносильная исходной.
4. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию нескольких других, то получим равносильную систему.
Например,
| (УР С2) |
`a` - произвольное число.
5.
| (УРС3) |
Обратим внимание на то, что в равносильной системе появилось дополнительное неравенство! (т. к. возведение в квадрат не всегда приводит к равносильному уравнению.)
6.
| (УР С4) |
Обратим внимание на то, что в системе остается то уравнение, в котором обе части отличны от нуля!
7.
| (УР С5) |
т. к.
Решите систему уравнений
Выразим `y` из второго уравнения `y=1-z+2x`, подставим в первое и третье и получим систему с двумя неизвестными
Теперь выразим из первого уравнения `z=x^2 +x-1` и, подставив во второе, получим уравнение с одним неизвестным
`x^4 +2x(x^2 +x-1) +2x-(x^2 +x-1)^2 -2(x^2 +x-1)=2 iff x^2 -1=0 =>`
`(1; 2; 1), (-1; 0; -1)`.
Решите систему уравнений
Выразим `x` из первого уравнения и подставим во второе и третье уравнения. Тогда получим равносильную систему
Теперь прибавим ко второму уравнению третье
`(3, 3, 4), (12, 3, 1)`.
Решите систему уравнений
В данной системе будем рассматривать каждое уравнение как квадратное относительно, например, `x`. Так как дискриминанты обоих уравнений являются полными квадратами, оказывается возможным свести систему двух нелинейных уравнений к совокупности четырёх линейных систем.
`(-5; 3/2), (-4; 2), (-3; 1/2)`.
Решите систему уравнений
Заменим второе уравнение системы суммой
Заметим, что решение второго уравнения - это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.
`(1, -6)`.
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2)`.
Уравнение `f(x, y) =0`, где `f(x, y)` - однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравнению с одним неизвестным, если ввести новую переменную `t= y/x`.
Система с двумя переменными , где `f(x,y)`, `g(x,y)` - однородные функции одной и той же степени, называется однородной.
Если `ab!= 0`, умножим первое уравнение на `b`, второе - на `a` и вычтем одно из другого - получим равносильную систему
Первое уравнение заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным.
Если `a=0` `(b=0)`, то уравнение `f(x,y)=0` `(g(x,y)=0)` заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным.
Решите систему
`(3sqrt3; sqrt3), (-3sqrt3; -sqrt3), (4;5), (-4;-5)`.
