$1^\bigcirc$. $|a| \ge 0.$            

$2^\bigcirc$. $|a|\ge a.$          

$3^\bigcirc$. $|ab| = |a|\cdot|b|.$          

$4^\bigcirc$. $\left| \dfrac{a}{b} \right| = \dfrac{|a|}{|b|}.$        

$5^\bigcirc$. $|-a|=|a|.$      

$6^\bigcirc$. $|a^2| = |a|^2 = a^2.$

$7^\bigcirc$. $|a+b| \le |a| + |b|$ (здесь равенство достигается, когда числа `a` и `b` одного знака или одно из них равно нулю; если же числа `a` и `b` разных знаков, то выполняется строгое неравенство).

$8^\bigcirc$. $|a-b| \ge ||a|-|b||.$

$9^\bigcirc$. $|a|$ - это расстояние от точки `a` на числовой оси до точки `0`.

$10^\bigcirc$. $|a-b|$ - это расстояние между точками `a` и `b` на числовой оси.

$11^\bigcirc$. $\sqrt{a^2} = |a|.$

Решите уравнение:

a) $|x-2| = 5;$          б) $|2x-1| = -1$         в) $|x-2| = |x+6|$

a) $|x-2|$ - это расстояние между точками `x` и `2` на число вой прямой (свойство $10^\bigcirc$). Поэтому уравнение можно прочитать так: точка `x` удалена от точки `2` на расстояние `5`. Иначе говоря, мы ищем точки, удалённые от точки `2` на расстояние `5`. Ясно, что это точки `-3` и `7`. Записать решение короче всего так:

\[|x-2| = 5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x-2 &= 5, \\ x-2 &= -5 \end{aligned} \right.  \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x &= 7, \\ x &= -3 \end{aligned} \right. .\]

Решите уравнение: $|x+1| +11 =\ |2x+11| + |1-x|$.

Отметим на числовой прямой точки $x = -1, \; x = \ -\dfrac{11}{2}, \; x = 1.$. Получаем `3` точки, которые разбивают числовую прямую на `4` интервала. Раскрываем модули на каждом из этих интервалов (см. рис. 1).

Рассмотрим 4 случая:

а) $x \le -\dfrac{11}{2}.$ Тогда:

\[-(x+1) + 11 = -(2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -10.\]

Убеждаемся, что $x =-10$ удовлетворяет условию $x \le - \dfrac{11}{2}$, поэтому $x =-10$ является решением данного уравнения.

б) $-\dfrac{11}{2} < x < -1$. Тогда:

\[-(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -1.\]

Однако $x =-1$ не удовлетворяет условию $-\dfrac{11}{2} < x < -1$, поэтому $x =-1$  не подходит.

в) $-1 \le x \le 1$. Тогда:

\[(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow 12 = 12.\]

Получилось верное равенство, поэтому все `x`, удовлетворяющие условию $-1 \le x \le 1$ являются решениями.

г) $x>1$. Тогда:

\[(x+1) + 11 = (2x+11) - (1-x) \Leftrightarrow x = 1.\]

Условие $x >1$ не выполнено, поэтому данный корень не подходит.

Объединяем полученные решения и получаем $x \in \{-10\} \cup [-1; \; 1]$ .

$x \in \{-10\} \cup [-1; \; 1]$ .

1) При таком методе решения необходимо проверять принадлежат ли найденные корни рассматриваемому в данный момент промежутку – иначе можно получить неверный ответ.

2) Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль, можно включать в любой из двух промежутков, для которых они являются границами. Например, если бы в случае б) мы взяли $-\dfrac{11}{2} < x \le -1$ то число $x =-1$ попало бы в промежуток. В случае в) мы бы рассматривали $-1 < x \le 1$ и здесь корня $x = -1$ мы бы не получили. При этом объединение всех решений было бы тем же самым.