§3. Неравенства, содержащие модуль

В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).

Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.


Пример 12 (МГУ 1993)

Решите неравенство `|x-1|/{x+2}<1`.

Решение

`|x-1|/{x+2}<1hArr{|x-1|-x-2}/{x+2}<0`.

1.   `x-1>=0hArrx>=1`:  `{x-1-x-2}/{x+2}=-3/{x+2}<0hArrx> -2`.

Получаем в этом случае `x>=1`.

2.  `x-1<0hArrx<1:   {-x+1-x-2}/{x+2}=-{2x+1}/{x+2}<0hArr{x+0,5}/{x+2}>0`.

Рис. 5

И мы получаем в этом случае `x in(-oo;-2)uu(-0,5; 1)`.

Объединяя результаты 1, 2, получаем окончательный


Ответ

`(-oo;-2)uu(-0,5;+oo)`.


Пример 13 (МГУ, 1992)

Решите неравенство `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1`.

Решение

`{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1hArr{|x-5|-2|x-6|+3}/{2|x-6|-4}<=0`.

1. `x>6: {x-5-2x+12+3}/{2x-12-4}={10-x}/{2x-16}<=0hArrx in(-oo;8)uu[10;+oo)`.

Учитывая условие `x>6`, получаем `x in(6;8)in[10;+oo)`.

2.  `5<=x<=6: {x-5+2x-12+3}/{-2x+12-4}={3x-14}/{8-2x}<=0hArrx in(-oo;4)uu[14/3;+oo)`.

Учитывая условие `x in[5;6]`, получаем `x in[5;6]`.

3. x<5: -x+5+2x-12+3-2x+12-4=x-48-2x≤0⇔-1≤0,x≠4.x<5:\;\dfrac{-x+5+2x-12+3}{-2x+12-4}=\dfrac{x-4}{8-2x}\leq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1\leq0,\\x\neq4.\end{array}\right.

Учитывая условие `x<5`, получаем `x in(-oo;4)in(4;5)`.

Ответ

`(-oo;4)in(4;8)in[10;+oo)`.


ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `|f(x)|<g(x)`


Пусть в некоторой точке `a`  выполнено неравенство `|f(x)|<g(x)`, тогда `g(a)>0` и `|f(a)|g(a)`.


Тогда имеет место рисунок 6


Рис. 6



и неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`.


И, наоборот: пусть в некоторой точке `a` выполнены неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`. Тогда, во-первых, `-g(a)<g(a)hArrg(a)>0`, a, во-вторых, `|f(a)|<g(a)`. Следовательно, имеет место условие равносильности   


f(x) < g(x)⇔-g(x) < f(x) < g(x)⇔f(x) < g(x),f(x) > -g(x)\left|f(x)\right|\;<\;g(x)\Leftrightarrow-g(x)\;<\;f(x)\;<\;g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)\;<\;g(x),\\f(x)\;>\;-g(x)\end{array}\right. (УРМ1)


ПУНКТ 2.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|>g(x)`


Пусть в некоторой точке `a` неравенство выполнено, т. е. `|f(x)|>g(x)`.


Это означает, что, или,


а) `g(a)<0` (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или,


б) если `g(x)>=0`, имеет место рисунок 7


Рис. 7


и совокупность неравенств f(a)>g(a),f(a)<-g(a).\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right.


И, наоборот, пусть в некоторой точке `a` имеет место совокупность неравенств  f(a)>g(a),f(a)<-g(a).\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right. Тогда


а) если `g(a)<0`, то неравенство `|f(a)|>g(a)` выполнено, 


б) если `g(a)>=0`, то  имеет место предыдущая картинка и выполнено неравенство `|f(a)|>g(a)`.


Следовательно, имеем равносильные соотношения 


$$\vert f(x)\vert>g(x)$$ $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)>g(x),\\f(x)<-g(x).\end{array}\right.$$ (УР М2)


Пример 14 (МГУ, 2000, ВМК)

Решите неравенство `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.

Решение

$$ \begin{array}{l}\begin{array}{l}\left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\iff \right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2;\end{array}\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \right.\end{array}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ x\in [1;2],=2,\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{2}{3},\\ x\in (-\infty ;0]\cup [5;\infty )\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \end{array}$$

`iff x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;oo)`.

Ответ

`(oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.


ПУНКТ 3.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|<|g(x)|`


Рассмотрим разность `|f(x)|-|g(x)|`. Она может быть любого знака, но сумма `|f(x)|+|g(x)|`  всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е. `(|f(x)|-|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)=(|f(x)|^2-|g(x)|^2)=(f^2(x)-g^2(x))=`


`=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))` и


знак разности  `|f(x)|-|g(x)|` совпадает со знаком произведения

`(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))`

 (П М1)


Имеем ещё одно условие равносильности


`|f(x)|<|g(x)|hArr(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))<0`. (УР М3)


Пример 15 (МФТИ, 2000)

Решите неравенство $$ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0.$$

Решение

ОДЗ*:`-x^2+7x-6>=0hArr(x-1)(x-6)<=0hArrx in[1;6]`.

В ОДЗ* имеем $$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0\iff (\mathrm{в} \mathrm{силу} \mathrm{УРМ}3)\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(2{x}^{2}-8x+2\right){\displaystyle \left(-4x+8\right)}}}\le 0\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right){\displaystyle \left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)}{\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}{\displaystyle )}}}\ge 0\iff \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-7x+6=0,\\ x\ne 2\pm \sqrt{3},\\ x\ne 2,\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=1,\\ x=6,\end{array}\right.\right.\\ \left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-2\right)>0\iff \left(2-\sqrt{3};2\right)\cup \left(2+\sqrt{3};+\infty \right).\end{array}\right.\end{array}$$

Учитывая ОДЗ*, получаем

Рис. 8

Ответ
`[1;2)uu(2+sqrt3;6]`.