Решить уравнение `3sin^5x+4cos^3x=7`.

Так как

 `3sin^5x<=3`                                                                        (8)

и  `4cos^3x<=4`,                                                                      (9)

а неравенства одного знака можно складывать, то `3sin^5x+4cos^3x<=7`, причём если хотя бы в одном из неравенств (8) или (9) знак «`<=`» заменить на «`<`», то получим `3sin^5x+4cos^3<7`. Значит, чтобы `x` удовлетворяло уравнению необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система

$$ \left\{\begin{array}{l}3{\mathrm{sin}}^{5}x=3,\\ 4{\mathrm{cos}}^{3}x=4\end{array}\right.$$   или  $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=1,\\ \mathrm{cos}x=1,\end{array}\right.$$

но это невозможно,   т. к. `sin^2x+cos^2x=1`.

Решений нет.

Решить уравнение `sin^4  2x+1=cos3x`.

Так как левая часть уравнения `sin^4  2x+1>=1`, а правая часть `cos3x<=1`, то уравнение эквивалентно системе

$$ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{sin}}^{4}2x+1=1,\\ \mathrm{cos}3x=1\end{array}\right.$$  или  $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}3x=1.\end{array}\right.$$ 

Отсюда  

$$ \left\{\begin{array}{l}2x=\pi n,n\in Z,\\ 3x=2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$ или $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi n}{2}},n\in Z,\\ x={\displaystyle \frac{2\pi n}{3}},m\in Z.\end{array}\right.$$

На тригонометрическом круге изобразим решения первого уравнения последней системы на рис. 14, а второго- на рис. 15. Совпадение будет при `x=2pik,kinZ`.

`x=2pik,kinZ`.

Решить уравнение `sin^2  4x+cos^2x=2sin4x*cos^4x`.

Перепишем уравнение `sin^2  4x-2sin4x*cos^4x+cos^2x=0`.

Будем решать его как квадратное относительно `sin4x`. Дискриминант уравнения

`D=4cos^8x-4cos^2x=4cos^2x(cos^6x-1)<=0`.

Значит, решения возможны только в случае `D=0` или $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0,\\ \mathrm{cos}x=\end{array}\right.\pm 1.$$ Последней совокупности уравнений удовлетворяют значения  `x=(pin)/2,ninZ`. Так как при этих `x` обращается в нуль и `sin4x`, то из уравнения следует, что должно быть `cosx=0`.

Отсюда `x=pi/2+pin,ninZ`.

 `x=pi/2+pin,ninZ`. 

Решить систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}\mathrm{sin}x-\sqrt{3}\mathrm{cos}y={\displaystyle \frac{5}{2}},\\ \mathrm{sin}y+\sqrt{2}\mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.\end{array}\right.$$

Вычтем из первого уравнения системы второе. Получим:

`sqrt2(sinx-cosx)-(siny+sqrt3cosy)=4`.

По формуле дополнительного угла имеем:

`2sin(x-pi/4)-2sin(y+pi/3)=4`  или  `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/4)=2`  

Так как `sin(x-pi/4)<=1`  и  `-sin(y+pi/3)<=1`,  то `sin(x-pi/4)-sin(y+pi/3)<=2`, 

причём равенство может достигаться только в случае, если

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ -\mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=1\end{array}\right.$$  или  $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1,\\ \mathrm{sin}\left(y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-1.\end{array}\right.$$

Решая эту систему, получаем

$$ \left\{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi n,n\in Z,\\ y+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi m,m\in Z\end{array}\right.$$  или  $$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,n\in Z,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m,m\in Z.\end{array}\right.$$

Так как мы решаем уравнение – следствие системы и могли получить лишние корни, то надо сделать проверку. В нашем случае

`sinx=1/(sqrt2)`,  `cosx=-1/(sqrt2)`,  `siny=-1/2`,  `cosy=-(sqrt3)/2`

и, подставляя эти значения в исходную систему, убеждаемся, что она удовлетворяется. Итак,

$$ \left\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\pi n,\\ y=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi m, n,m\in Z.\end{array}\right.$$

Решить уравнение `"arctg"3x=arccos8x`.

Напишем ОДЗ  `|8x|<=1`,  `|x|<=1/8`. Возьмём тангенс от обеих частей уравнения. Получим:  `3x=(sin(arccos8x))/(8x)`   или    `24x^2=sqrt(1-64x^2)`.

Обозначим `t=8x^2`. Имеем уравнение `3t=sqrt(1-8t)`   или   `9t^2+8t-1=0`.

`t_1=-1`,  `t_2=1/9`. Т. к. `t>=0`, то `t=1/9=8x^2`,  `x^2=1/72` (ОДЗ удовлетворяется).

Отсюда  `x=+-1/(6sqrt2)`.

Далее нужно делать проверку, т. к. в исходном уравнении углы равны, а мы перешли к уравнению, где тангенсы этих углов равны, т. е. к следствию нашего уравнения. При этом могут появиться посторонние корни.

 `x_1=-1/(6sqrt2)`  не   удовлетворяет   уравнению,   т. к. `"arctg"3x_1<0`  (`"arctg"x<0`,  если `x<0`), а `arccos8x_1>=0`  (`arccosx>=0` всегда).

`x_2=1/(6sqrt2)` - удовлетворяет уравнению, т. к. углы `"arctg"3x_2 in (0;pi/2)` и

`arccos8x_2 in (0;pi/2)` и тангенсы у них совпадают.

`x=1/(6sqrt2)`

При каких значениях параметра `a` уравнение `(x-a)arccos(x+3)=0` имеет единственное решение?

ОДЗ `arccos(x+3)`:  `-1<=x+3<=1` или `-4<=x<= -2`. Решение уравнения:

$$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x+3=1\end{array}\right.$$ или  $$ \left[\begin{array}{l}x=a,\\ x=-2.\end{array}\right.$$

Так как `x=-2 in`ОДЗ,  то единственным решением может быть только `x=-2`. Значит должно выполняться: 

$$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\notin \mathrm{ОДЗ}\end{array}\right.$$ или  $$ \left[\begin{array}{l}a=-2,\\ a\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(-2;+\infty \right).\end{array}\right.$$

`a in (-oo;-4)uu[-2;+oo)`.

Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение  `2cos2x+2asinx+a=1`  имеет единственное решение на интервале `(-pi/2;0)`.

Преобразуем уравнение 

`2(1-2sin^2x)+2asinx+(a-1)=0`,

`4sin^2x-2asinx-(a+1)=0`.

Обозначим `sinx=t`.  Решим уравнение  `4t^2-2at-(a+1)=0`.

`D/4=a^2+4(a+1)=(a+2)^2`, $$ {t}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{a\pm \left(a+2\right)}{4}}=\left[\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$

Итак, $$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ \mathrm{sin}x={\displaystyle \frac{a+1}{2}}.\end{array}\right.$$ Но   уравнение   `sinx=-1/2`   даёт   один   корень на `(-pi/2;0)` - он равен `(-pi/6)`.

Значит,  для единственности решения задачи должно быть либо

`(a+1)/2=-1/2`  и  `a=-2`,  либо `(a+1)/2` не даёт значение `sinx` в интервале

`x in (-pi/2;0)`,  т. е. $$ \left[\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{a+1}{2}}\ge 0,\\ {\displaystyle \frac{a+1}{2}}\le -1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a\ge -1,\\ a\le -3.\end{array}\right.$$ Итак,

`ain(-oo;-3]uu{-2}uu[-1;+oo)`.

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `(sinx-cosx)/(sinx-acosx)=a` имеет хотя бы одно решение на отрезке `[pi/2;pi]`.

Уравнение эквивалентно системе

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x-\mathrm{cos}x=a\mathrm{sin}x-{a}^{2}\mathrm{cos}x,\\ \mathrm{sin}x-a\mathrm{cos}x\ne 0.\end{array}\right.$$

Эта система из однородного уравнения первого порядка и неравенства.

1)    Если `cosx=0`, `x in [pi/2;pi]`,  т. е.  `x=pi/2`, то `sinx=1` и система даёт `a=1`.

2)   Если же `cosx!=0`, то делим уравнение и неравенство системы на `cosx`. Получаем систему

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x-1=a\mathrm{tg}x-{a}^{2},\\ \mathrm{tg}x-a\ne 0,\end{array}\right.$$  или  $$ \left\{\begin{array}{l}\left(a-1\right)\mathrm{tg}x={a}^{2}-1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$

Если `a=1`, то системе удовлетворяют все значения из  `(pi/2;pi]`.

Если же `a!=1`, то система становится такой: $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=a+1,\\ \mathrm{tg}x\ne a.\end{array}\right.$$ 

Чтобы ей удовлетворяла хотя бы одна точка из `(pi/2;pi]`, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось  `a+1<=0`, т. е. `a<= -1`  (см. рис. 16).

Итак,              

`a<= -1`,  `a=1`.