Пусть несократимая дробь `p//q` - корень многочлена (8). Это означает, что

`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ ...``+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + ... + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.

Перенесём  в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

`p(a_np^(n-1)+a_(n-1)p^(n-2)q+a_(n-2)p^(n-3)q^2+...+a_2pq^(n-2)+a_1q^(n-1))=-a_0q^n`.           (14)

Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая  часть  также  делится  на  `p`.  Числа `p` и `q` взаимно  просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Решите уравнение

а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`;                                                                               (15)

б)  `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`.                                                                                (16)

а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` - корень. Тогда  `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители: 

`539=7^2*11`.

Поэтому `p` может принимать значения:

 `+-1,+-7,+-11,+-49,+-77,+-539`. 

Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

`(x+1)(x^3+3x^2-105x-539)=0`.

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

`(x+1)(x+7)(x+7)(x-11)=0`.

Разложите на множители:

а)  `x^4+4`;

б)* `x^3-3x^2-3x-1`;

в) `x^4-x^3+2x^2-2x+4`;  

г)* `x^4-4x^3-20x^2+13x-2`.

а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

`=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)`.

 б)* `x^3-3x^2-3x-1=2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)`$$ ={\left(\sqrt[3]{2}x\right)}^{3}-{\left(x+1\right)}^{3}=$$

$$ =\left(\sqrt[3]{2}x-x-1\right)\left(\sqrt[3]{4}{x}^{2}+\sqrt[3]{2}x\left(x+1\right)+{\left(x+1\right)}^{2}\right)$$.

в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

`x^4-x^3+2x^2-2x+4=x^2(x^2-x+2-2/x+4/x^2)=``x^2((x^2+4/x^2)-(x+2/x)+2)`.

Обозначим   `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках  принимает вид:

`t^2-4-t+2=t^2-t-2=(t+1)(t-2)=(x+2/x+1)(x+2/x-2)`.    

В итоге получаем:

`x^2(x+2/x+1)(x+2/x-2)=(x^2+2+x)(x^2+2-2x)=(x^2+x+2)(x^2-2x+2)`.

г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

`x^2(x^2-2/x^2_(4x-13/x)-20)`.

Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)`.                     (17)

Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=`

`=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd`.                          (18)

Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

                               $$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ b+ac+d=-20,\\ ad+bc=13,\\ bd=-2.\end{array}\right.$$                                          (19)

Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

1) `b=1` и `d=-2`;   

2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

1) $$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ ac=-19,\\ -2a+c=13.\end{array}\right.$$

Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

2) $$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ ac=-21,\\ -a+2c=13.\end{array}\right.$$

Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

`x^4-4x^3-20+13x-2=(x^2-7x+2)(x^2+3x-1)`.

Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

Решите уравнение:

а) `(x-4)^2+|x-4|-2=0`;    

б) `(x-7)^4+(x+1)^4=706`;

в)  `1/(x^2+2x-3)+18/(x^2+2x+2)=18/((x+1)^2)`;

г) `(x-2)(x-4)(x+5)(x+7)=360`;

д) `(4x)/(4x^2-8x+7)+(3x)/(4x^2-10x+7)=1`;

е) `25x^4-150x^3+94x^2+150x+25=0`.

а) Обозначим `|x-4|=t`. Тогда `(x-4)^2=t^2` и получаем `t^2+t-2=0`, откуда $$ \left[\begin{array}{l}t=1,\\ t=-2.\end{array}\right.$$

Если `t=-2`, то решений нет.

Если `t=1`, то `|x-4|=1 iff`$$ \left[\begin{array}{l}x=3,\\ x=5.\end{array}\right.$$

`x=3`; `x=5`.

б) Обозначим `x-3=t`. Тогда получим

`(t-4)^4+(t+4)^4=706 iff(t^4-16t^3+96t^2-256t+256)+`

`+(t^4+16t^3+96t^2+256+256)=706 iff2t^4+192t^2-194=0iff`

`ifft^4+96t^2-97=0 iff(t^2-1)(t^2+97)=0 ifft=+-1`.

Значит, `x_1=4`, `x_2=2`.