ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
Построение графиков линейной функции и модуля
Функция вида $$ y=kx+b$$, где `k` и `b` - произвольные числа, называется линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая.
Рассмотрим частные случаи функции `y=kx+b`, когда `k` и (или) `b` принимают значения равные нулю:
1) если `b=0`, то прямая пропорциональность, график проходит через начало координат;
2) если` k=0`, то `y=b`, графиком является прямая, параллельная оси `Ox`;
3) если `b=0`, `k=0`, то `y=0`, то графиком является ось `Ox`.
Для построения графика достатояно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую.
Постройте график функции: а) $$ y=2x+3$$; б) $$ y=2$$.
а) При $$ x=0$$; $$ y=3$$; при $$ x=1$$; $$ y=5$$. Проводим прямую через точки $$ (0; 3)$$ и $$ (1; 5)$$. График прямой приведён на рисунке 1.
б) Для любого значения $$ x$$ значение $$ y=2$$. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси $$ Ox$$ и проходящая через точку $$ (0; 2)$$. График этой функции приведён на рисунке 2.
График линейной функции `y=kx+b`, где `k` и `b` - произвольные числа, может быть получен из графика функции `y=kx` путём его параллельного переноса вдоль оси `Oy` на `b` единиц вверх, если `b` - положительно, или `|b|` единиц вниз, если `b` - отрицательно.
В примере 1а) `y=2x+3`, при построении графика можно сначала построить график функции `y=2x`, а затем параллельным переносом вдоль оси `Oy` на `3` единицы вверх перенести график (рис. 3).
Число `k` называют угловым коэффициентом прямой – графика функции `y=kx+b`. Если `k>0` то угол наклона прямой `y=kx+b` к оси `x` острый; если `k<0` то угол наклона тупой.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.
Построим теперь график функции $$ y=\left|x\right|$$.
Из определения модуля числа следует, что $$ y=\left\{\begin{array}{c}x, \mathrm{если} x>0,\\ 0, \mathrm{если} x=0,\\ -x, \mathrm{если} x<0.\end{array}\right.$$
При $$ x\ge 0 y=x$$, графиком функции при $$ x\ge 0$$ является часть прямой $$ y=x$$. А при $$ x<0$$ графиком функции является часть прямой $$ y=-x$$. График функции $$ y=\left|x\right|$$ приведён на рисунке 3а.
Постройте график функции $$ y=\left|x+1\right|-\left|x-2\right|$$.
Выражение $$ x-2$$ равно нулю при $$ x=2$$. Если $$ x>2$$, то $$ x-2>0$$, поэтому $$ \left|x-2\right|=x-2$$. А если $$ x<2$$, то $$ x-2<0$$, тогда $$ \left|x-2\right|=-(x-2)=-x+2$$. Выражение $$ x+1$$ равно нулю, если $$ x=-1$$.
Если $$ x>-1$$, то $$ x+1>0$$, тогда $$ \left|x+1\right|=x+1$$.
А если $$ x<-1$$, то $$ x+1<0$$, тогда $$ \left|x+1\right|=-(x+1)=-x-1$$. Пусть $$ x\ge 2$$, тогда $$ \left|x-2\right|=x-2$$, $$ \left|x+1\right|=x+1$$, поэтому $$ y=x+1-(x-2)=3$$.
Если , то , , тогда .
Если $$ x\le -1$$, то , , тогда .
Таким образом,
Заметим, что прямая $$ y=2x-1$$ проходит через точки $$ (-1; -3)$$ и $$ (2; 3)$$. График данной функции приведён на рисунке 4.
Постройте график функции $$ y=\left\{\begin{array}{l}\left|x-3\right|, x\ge 0;\\ \left|x+4\right|-1, \text{если} x<0.\end{array}\right.$$
Используя график функции, определите, сколько будет точек пересечения графика функции с прямой $$ y=a$$ при различных значениях параметра $$ a$$.
Далее $$ \left|x+4\right|-1=\left\{\begin{array}{l}-4-x-1,\text{ если} x\le -4;\\ 4+x-1, \text{если} x\in (-4; 0).\end{array}\right.$$
График данной функции приведён на рисунке 5.
Если $$ a<-1$$, то прямая $$ y=a$$ не пересекает график данной функции.
Если $$ a=-1$$, то прямая пересекает график функции в точке $$ (-4; -1)$$.
Если $$ a\in (-1; 0)$$, то будет две точки пересечения.
Если $$ a=0$$, то прямая $$ y=0$$ пересекает график функции в точках $$ (-5; 0)$$, $$ (-3; 0)$$, $$ (3; 0)$$.
Если $$ a\in (0; 3)$$, то получается $$ 4$$ точки пересечения.
Если $$ a=3$$, то будет $$ 3$$ точки пересечения.
Если $$ a>3$$, то будет $$ 2$$ точки пересечения.
