ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.
Например, уравнением с одной переменной является равенство $$ 2(3x+5)=4x-1.$$
Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Например, число $$ 1$$ является решением уравнения $$ 3x+5=9x-1.$$ Уравнение $$ {x}^{2}+1=0$$ не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение $$ (x-1)(x+2)=0$$ имеет два корня: $$ {x}_{1}=1$$ и $$ {x}_{2}=-2.$$
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не имеют решений.
При решении уравнений используют следующие свойства
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида $$ ax=b,$$ где $$ x - $$переменная, $$ a$$ и $$ b - $$ некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Если $$ a\ne 0$$, то уравнение имеет единственное решение $$ x=\frac{b}{a}.$$
Если $$ a=0$$ и $$ b=0,$$ то уравнению удовлетворяет любое значение $$ x,$$ а если $$ a=0,$$ а $$ b\ne 0,$$ то уравнение не имеет решений, т. к. $$ 0·x=b$$ не выполняется ни при одном значении переменной.
Решите уравнение $$ \mathrm{2,5}x-(x+1)=(3x-1)-2x+1$$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с $$ x$$ в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие $$ x,$$ в правую часть, получаем:
$$ \mathrm{2,5}x-x-3x+2x=1-1+1, $$
$$ \mathrm{0,5}x=1,$$ $$ x=2.$$
Решите уравнение:
а) $$ 2{x}^{2}-3x=0$$;
б) $$ {x}^{3}-2{x}^{2}-9x+18=0$$;
в) $$ {x}^{2}+5x+6=0$$.
а) Преобразуем уравнение: $$ x(2x-3)=0.$$ Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, получаем $$ {x}_{1}=0,$$ $$ {x}_{2}=\frac{3}{2}.$$
б) Разложим на множители левую часть уравнения:
$$ {x}^{2}(x-2)-9(x-2)=(x-2)({x}^{2}-9)=(x-2)(x-3)(x+3).$$
Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа $$ {x}_{1}=2,$$ $$ {x}_{2}=3,$$ $$ {x}_{3}=-3.$$
$$ 2; 3; -3.$$
в) Это уравнение называется квадратным, вы подробно изучите эти уравнения в 8-м классе. Но покажем, как можно решать такие уравнения. Представим $$ 5x$$ как $$ 2x+3x,$$ тогда имеем:
$$ {x}^{2}+2x+3x+6=0,$$
$$ x(x+2)+3(x+2)=0, (x+2)(x+3)=0,$$
отсюда видно, что $$ {x}_{1}=-2,$$ $$ {x}_{2}=-3.$$
Это уравнение можно решать и методом выделения полного квадрата. Представим выражение $$ 5x=2·\frac{5}{2}x.$$ И прибавим и вычтем в левой части уравнения число $$ \frac{25}{4},$$ получаем:
`x^2+2*5/2*x+25/4-25/4+6=0`,
`(x+5/2)^2-25/4+6=0`,
`(x+5/2)^2-1/4=0`,
`(x+5/2)^2-(1/2)^2=0`,
`(x+5/2-1/2)(x+5/2+1/2)=0`,
`(x+2)(x+3)=0`.
Откуда следует, что $$ {x}_{1}=-2$$ и $$ {x}_{2}=-3.$$
$$ -2; -3.$$
Являются ли данные уравнения равносильными:
а) $$ \left|x-1\right|=2$$ и $$ 2x-5=1;$$
б) $$ \frac{(x-3)(x+7)}{x-3}=0$$ и $$ (x-3)(x+7)=0.$$
а) Если $$ \left|x-1\right|=2,$$ то $$ x-1=2, x=3, $$или $$ x-1=-2, x=-1.$$ Первое уравнение имеет два решения: $$ -1$$ и $$ 3.$$
Второе уравнение имеет одно решение $$ x=3.$$ Число $$ \left(-1\right)$$ является решением первого уравнения и не является решением второго уравнения, следовательно, данные уравнения не являются равносильными.
б) Число $$ x=3$$ является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения, т. к. при $$ x=3$$ не определена дробь, стоящая в левой части первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными.
