Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными `x` и `y` называется система уравнений вида

$$ \left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1},\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2},\end{array}\right.$$

где `a_1`, `b_1`, `c_1`, `a_2`, `b_2`, `c_2` - некоторые числа.

Сколько решений имеет система уравнений 

$$ \left\{\begin{array}{l}2y+3x=8,\\ y-x=-1?\end{array}\right.$$

Запишем первое уравнение системы в виде `y=-3/2x+4`, а второе уравнение системы в виде `y=x-1`. Мы получили две линейные функции, графиками которых являются прямые с разными угловыми коэффициентами у первой `k_1=-3/2`, а у второй `k_2=1`. Вам известно, что такие прямые пересекаются в одной точке. Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, приравняем значения для `y`. Получаем 

 `-3/2x+4=x-1`, `-3/2x-x=-4-1`, `-5/2x=-5`, `x=2`, 

тогда `y=2-1=1`.

Таким образом, система имеет единственное решение  `(2;1)`.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}2x+y=5,\\ 4x+2y=10.\end{array}\right.$$

Из первого уравнения следует, что `y=5-2x`, а из второго уравнения получим `y=5-2x`. Графики этих уравнений совпадают. Уравнению удовлетворяет любая пара чисел `(x,5-2x)`, где  `x` любое число, а `y=5-2x`. Система уравнений имеет бесконечно много решений.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=7,\\ 2x+2y=10.\end{array}\right.$$

Запишем первое уравнение системы в виде `y=-x+7` и второе уравнение системы в виде `y=-x+5`. Графиками этих уравнений являются две параллельные прямые, которые не пересекаются, т. к.  `-x+7=-x+5`,  `x*0=-2`, а это уравнение не имеет решений.

1. В одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое.

2. Подставить вместо этого неизвестного полученное выражение в другое уравнение системы.

3. Решить полученное во втором пункте уравнение с одним неизвестным.

4. Воспользовавшись найденным значением одного неизвестного, вычислить значение второго неизвестного.

5. Записать ответ.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}2x+y=4,\\ 5x+3y=11.\end{array}\right.$$

Из первого уравнения выражаем `y=4-2x`, и это значение для `y` подставляем во второе уравнение системы, получаем: 

`5x+3(4-2x)=11`,  `5x+12-6x=11`,  `-x=-1`,  `x=1`. 

Подставляем это значение `x` в выражение для `y`, получаем: `y=4-2=2`. Пара чисел `(1;2)` является единственным решением системы уравнений.

1. Умножить или разделить одно (или оба) уравнения системы на некоторое число, не равное 0, так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях стали противоположными числами (или совпали).

2. Сложить (вычесть) уравнения.

3. Решить полученное во втором пункте уравнение с одним неизвестным.

4. Воспользовавшись найденными значениями одного неизвестного, вычислить значение второго неизвестного.

5. Записать ответ.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}3x-2y=5,\\ 2x+2y=10.\end{array}\right.$$

В этих уравнениях коэффициенты при переменной `y` отличаются знаком. Сложив уравнения системы, получаем 

`3x-2y+2x+2y=5+10`,  `5x=15`,  `x=3`.

Подставляем найденное значение `x`, например, в первое уравнение системы, получаем:

`3*3-2y=5`, `-2y=-4`,  `y=2`.

Система имеет единственное решение  `(3;2)`.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}4x+3y=11,\\ 3x+7y=13.\end{array}\right.$$

Сделаем коэффициенты при $$ x$$ обоих уравнений противоположными числами, для этого умножим обе части первого уравнения на `3` и обе части второго уравнения на  `(-4)`, получим систему

$$ \left\{\begin{array}{l}12x+9y=33,\\ -12x-28y=-52.\end{array}\right.$$

Сложим   уравнения   системы:     

`12x+9y-12x-28y=33-52`, `-19y=-19`,  `y=1`.

Подставляем это значение для `y` в первое уравнение системы, получаем:  

`12x+9=33`,  `12x=24`,  `x=2`.

Пара чисел `(2;1)` является единственным решением системы.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2x-y}}+{\displaystyle \frac{9}{3x+y}}=2,\\ {\displaystyle \frac{7}{2x-y}}-{\displaystyle \frac{18}{3x+y}}=5.\end{array}\right.$$

Введём новые переменные:  `u=1/(2x-y)`,  `v=1/(3x+y)`.

Для переменных  `u` и `v` получим систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}u+9v=2,\\ 7u-18v=5.\end{array}\right.$$

Умножим обе части первого уравнения на `2`, получим систему

$$ \left\{\begin{array}{l}2u+18v=4,\\ 7u-18v=5.\end{array}\right.$$

Сложим уравнения системы, получим  `9u=9`, `u=1`. Из первого уравнения при  `u=1` следует, что  `v=1/9`.

Из условия  `1/(2x-y)=1` следует, что `2x-y=1`, а из условия `1/(3x+y)=1/9` следует, что `3x+y=9`. Решаем систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}2x-y=1,\\ 3x+y=9.\end{array}\right.$$

Сложим уравнения системы:  `5x=10`,  `x=2`,  из первого уравнения получаем `4-y=1`, `y=3`.

`(2;3)`.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}10x-5y-3z=-9,\\ 6x+4y-5z=-1,\\ 3x-4y-6z=-23.\end{array}\right.$$

Уравняем коэффициенты при `x` в первом и втором уравнениях, для этого умножим обе части первого уравнения на `3`, а второго уравнения  –  на `5`, получаем:

$$ \left\{\begin{array}{l}30x-15y-9z=-27,\\ 30x+20y-25z=-5.\end{array}\right.$$

Вычитаем из второго уравнения полученной системы первое уравнение, получаем:

`35y-16z=22`.

Из второго уравнения исходной системы вычитаем третье уравнение, умноженное   на   `2`,   получаем:  

`4y+8y-5z+12z=-1+46`,  `12y+7z=45`.

Теперь решаем новую систему уравнений:

$$ \left\{\begin{array}{l}35y-16z=22,\\ 12y+7z=45.\end{array}\right.$$

К первому уравнению новой системы, умноженному на `7`, прибавляем второе уравнение, умноженное на `16`, получаем:

`35*7y+12*16y=22*7+45*16`, 

`245y+192y=154+720`,  `437y=874`, `y=2`.     

Подставляем `y=2`  в уравнение `12y+7z=45`, получаем: 

`24+7z=45`, `7z=21`, `z=3`.

Теперь подставляем  `y=2`, `z=3`  в первое уравнение исходной системы, получаем:      

`10x-5*2-3*3=-9`,  `10x-10-9=-9`,  `10x=10`, `x=1`. 

`(1;2;3)`.