Два маленьких стальных шарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями $$ {v}_{01}=5\mathrm{м}/\mathrm{c},{v}_{02}=8\mathrm{м}/\mathrm{c}$$, направленными под углами $\alpha_1=80, \alpha_2=20$ к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между шариками, спустя время `t=1/3` с после броска?

Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Шарики движутся в поле тяжести Земли с постоянным ускорением $\vec g$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Выберем систему координат так, как показано на рис. 20, начало отсчёта поместим в точку бросания. Для радиус-векторов шариков $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)$$ и $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)$$ имеем: $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{01}+{\overrightarrow{v}}_{01}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$,  $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{02}+{\overrightarrow{v}}_{02}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$. 

Искомое расстояние $$ l$$ равно модулю разности радиус-векторов шариков в момент времени `t=1/3` с. Так как шарики были брошены из одной и той же точки, то $$ {\overrightarrow{r}}_{01}={\overrightarrow{r}}_{02}$$ , следовательно: 

$$ l=\mid {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)-{\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)\mid =\mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid t$$.

(Остальные слагаемые при вычитании радиус-векторов уничтожились.) В свою очередь, по теореме косинусов (см. рис. 20):

`|vecv_(01)-vecv_(02)|=sqrt(v_(01)^2+v_(02)^2-2v_(01)v_(02)cos(alpha_1-alpha_2))`.

Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него величин, получим $$ \mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid =7$$ м/с.
Тогда искомое расстояние между шариками в момент времени `t=1/3` с будет равно

$$ l=7{\displaystyle \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}}·{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{c}={\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{м}\approx \mathrm{2,3} \mathrm{м}$$.

Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени $$ \tau $$, с одинаковыми начальными скоростями $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»? Прокомментируйте решение для  `v_0<g tau/2`. 

Направим ось `Oy` вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку бросания. Отсчёт времени будем вести, начиная с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел:
1) $$ {t}_{0}=0,{y}_{01}=0,{v}_{y01}={v}_{0}$$ ;

2) $$ {t}_{0}=\tau ,{y}_{02}=0,{v}_{y02}={v}_{0}$$.

Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны $$ {a}_{y1}={a}_{y2}=-g$$. Уравнения движения тел в проекциях на ось $$ Oy$$ с учётом начальных условий имеют вид:

`y_1(t)= v_0t-(g t^2)/2`, `y_2(t)=v_0(t-tau)-(g(t-tau)^2)/2`.

(Заметим, что `y_2=0` при `0<t<=tau`).

Для наглядности изобразим графики этих функций на одном чертеже (рис. 21). Из чертежа видно, что «встреча» произойдёт в некоторый момент времени $$ {t}_{x}$$ в точке `A`, где пересекаются графики $$ {y}_{1}\left(t\right)$$ и $$ {y}_{2}\left(t\right)$$. Таким образом, условие «встречи»: `y_1(t_x)=y_2(t_x)`, то есть

$$ {v}_{0}{t}_{x}-{\displaystyle \frac{g{t}_{x}^{2}}{2}}={v}_{0}({t}_{x}-\tau )-{\displaystyle \frac{g({t}_{x}-\tau {)}^{2}}{2}}$$.

Решая это уравнение относительно `t_x`, находим: $$ {t}_{x}={\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}+{\displaystyle \frac{\tau }{2}}$$.

Проанализируем полученное выражение при `v_0<g tau//2`. Известно (см. Пример 7), что время полёта тела, брошенного вертикально, равно $$ 2{v}_{0}/g$$. Поэтому, если `v_0<g tau//2`, то $$ \tau >2{v}_{0}/g$$. Это означает, что сначала упадёт на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.

Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом наклона `varphi=30^@`, бросает камень в сторону подъёма горы, сообщив ему начальную скорость $$ {v}_{0}$$, направленную под углом `beta=60^@` к горизонту. На каком расстоянии от мальчика упадёт камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчёта `O` в точку бросания. В этой системе отсчёта начальная скорость камня составляет с осью `Ox` угол `alpha=beta-varphi=30^@`. Начальные условия: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0 cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`.

Проекции ускорения камня в отсутствие сопротивления воздуха равны (см. рис. 22): $$ {a}_{x}={g}_{x}=-g\mathrm{sin}\phi $$, $$ {a}_{y}={g}_{y}=-g\mathrm{cos}\phi $$. Здесь мы учли, что угол между вектором $\vec g$ и перпендикуляром к поверхности горы равен углу наклона горы `varphi=30^@`, кроме того, по условию задачи $$ \phi =\alpha $$
Запишем уравнения системы (14) с учётом начальных условий:

$$ x\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{sin}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$,  $$ y\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{cos}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$.

Время полёта $$ \tau $$ камня найдём из последнего уравнения, зная, что

$$ y\left(\tau \right)=0$$,  $$ \mathrm{cos}\phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$,  $$ \mathrm{sin}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$.

А именно $$ \tau ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}$$ . (Значение $$ \tau =0$$ мы отбросили, т. к. оно не связано с вопросом задачи).
Подставляя найденное значение $$ \tau $$ в уравнение для $$ x\left(t\right)$$ определим искомое расстояние (иными словами, дальность полёта):

$$ l=x\left(\tau \right)= {\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}}{g}}$$.

Массивная платформа движется с постоянной скоростью `vecV_0` по горизонтальному полу. С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен $$ u=2{V}_{0}$$ причём вектор $$ \overrightarrow{u}$$составляет угол `alpha=60^@` с горизонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент приземления. Высотой платформы и сопротивлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)

Для описания движения мяча и платформы введём систему отсчёта, связанную с полом. Ось $$ Ox$$ направим горизонтально в направлении удара, а ось $$ Oy$$ вертикально вверх (рис. 23).

Движение мяча происходит с постоянным ускорением $$ \overrightarrow{a}$$причём $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=-g$$ где $$ g$$ - величина ускорения свободного падения.
Проекции начальной скорости $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ мяча на оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ равны:

`v_(0,x)=V_(0,x)+u_x=-V_0+2V_0*cos60^@=-V_0+V_0=0`,

`v_(0,y)=V_(0,y)+u_y=0+2V_0*sin60^@=sqrt3V_0`.

Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его движение происходит только по вертикали, и он упадёт в точке удара.
Максимальную высоту подъёма `(y_"max")` и время полёта мяча найдём из законов кинематики равноускоренного движения:

$$ {v}_{y}^{2}-{v}_{0,y}^{2}=2{a}_{y}(y-{y}_{0}),  y={y}_{0}+{v}_{0,y}t+{\displaystyle \frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}}$$.

Учитывая, что при `y=y_"max"` проекция вертикальной скорости обращается в ноль $$ ({v}_{y}=0)$$, а в момент приземления мяча $$ (t={T}_{\mathrm{полета}})$$ его координата по оси $$ Oy$$ обращается в ноль $$( y=0)$$, имеем:

$$ {y}_{\mathrm{max}}={\displaystyle \frac{{v}_{0,y}^{2}}{2g}}={\displaystyle \frac{3{V}_{0}^{2}}{2g}},  {T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}}{g}}$$.

За время полёта мяча платформа сместится на расстояние

$$ L={V}_{0}{T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}^{2}}{g}}$$,

которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча.