Частица массой `m` с кинетической энергией `K` сталкивается с неподвижной частицей массой `M`. Найдите приращение `Q` внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения («слипания»).

Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `vec v`, кинетическая энергия частицы `K = (mv^2)/2`. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) час­тицы движутся с одинаковой скоростью `vec u`. По закону сохранения им­пульса

`mv = (m + M) u`.

По закону сохранения  энергии

`(mv^2)/2 = ((m + M)u^2)/2 + Q`.

Из приведённых соотношений находим

`Q = M/(m + M) K`.

 Отметим, что в предельных случаях

 `Q = K`,

`m < < M`,

`Q = M/m K < < K`,

`m > > M`.

Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной (например, электрона с атомом) происходит почти полный переход её кинетической энергии во внутреннюю энергию массивной частицы.

При равенстве масс  `(m = M)`  `Q = K/2`.

Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых ав­томобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по на­правлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разруше­ние.

На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий шар массой `M`. На него налетает гладкий шар того же радиуса массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шаров. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на  шары в  процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса

`m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.

Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем 

`mv = mv_(1x) + Mv_2`,

здесь учтено, что направление скорости налетающего шара после соударения не известно. По закону сохранения энергии

`(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.

Полученные соотношения перепишем в виде

`m(v - v_(1x)) = Mv_2`,

`m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.

Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`,  `m(v - v_(1x)) = Mv_2`,  решение которой имеет вид

`v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`,

`v_2 = (2m)/(m + M) v`.

Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направ­лении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`,  т. е. если масса налетающего шара больше массы по­коящегося шара.

Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности. Скорости `vecv_1` и `vecv_2` шайб непосредственно перед соударением известны и показаны на рис. 11. Найдите скорости `vecv_(1)^'` и `vecv_(2)^'` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.

Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при  этом ось `Ox` направлена по линии  центров шайб в момент соударения (рис. 11).

В  течение  времени  соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия  сохраняется:                               

`vecp_1 + vecp_2 = vecp_(1)^' + vecp_(2)^'`,               

здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_(1)^'= m_1 vecv_(1)^'`, `vecp_(2)^' = m_2 vecv_(2)^'` - импульсы шайб до и после соударения.

Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внут­ренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) =  p_(2y)^'`  находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения:

 `v_(1y)^' = v_(1y)`,   `v_(2y)^' = v_(2y)`,

т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.

Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия

`(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.

С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после со­ударения последнее равенство принимает вид:

`(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.

Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям им­пульсов шайб на ось  `Ox`:

`m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.

Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упру­гом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохра­нения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагае­мые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разде­лить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линей­ному уравнению

`v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

`v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,

`v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.

Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения

 `v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`,      `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`, 

а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_(1)^'` и `vecv_(2)^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`,

`bbb"tg"  alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`,   `bbb"tg"  alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.

Гладкая круглая шайба массой `m_1` движется со скоростью `vec v` вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча  равно `R//2` (рис. 12). Обруч массой `m_2` и радиусом `R` лежит на гладком горизонтальном столе. Через какое время `tau` после первого удара шайба окажется  на  минимальном  расстоянии   от   центра   движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.

Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем примере. В ЛСО, ось `Ox` которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скоростей шайбы и центра обруча на ось `Ox`  после соударения равны соответственно

`v_(1x)^' = ((m_1 - m_2)v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2) = ((m_1 - m_2)v_(1x))/(m_1 + m_2)`,

`v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1)v_(2x))/(m_1 + m_2) = (2m_1 v_(1x))/(m_1 + m_2)`,

здесь `v_(1x) = vcos  pi/6` - проекция скорости шайбы на ось `Ox` до соударе­ния, `v_(2x) = 0` - обруч до соударения покоился.

Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с обручем, проекция скорости шайбы на линию центров после соударения

`v_(1xsf"отн") = v_(1x)^' - v_(2x)^' =- v_(1x) =- vcos  pi/6`

просто изменила знак, а перпендикулярная линии центров составляющая, как было  показано, в рассматриваемом соударении  не изменяется. Следовательно, в системе, связанной с обручем, шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения», и минимальное расстояние от шайбы до центра обруча снова будет равно `R//2`. Искомое время

`tau = (R cos^(2)   pi/6)/|v_(1xsf"отн")| = cos  pi/6 R/v = sqrt3/2 R/v`.