Автор
Плис Валерий Иванович 578 статей

§7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и следствия

Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона

`m Delta vec v = vec F Delta t`.

Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим

`m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.

Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии

`Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 - m ((vec v)^2)/2 ~~ m(vec v * Delta vec v)`

и работы равнодействующей

`Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`

на этом перемещении.

Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории,  приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:

Теорема

На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил

`K_2 - K_1 = sum_i A_i`.

Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии $$ A=-\left({П}_{2}-{П}_{1}\right)$$.

Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки

Теорема

$$ \left({П}_{2}+{K}_{2}\right)-\left({П}_{1}+{K}_{1}\right)=$$`sum_i A_(i  sf"непотенц")`,

т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.

Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.

Это утверждение -  закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

Пример 17

На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 >  "tg"  alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 < "tg"  alpha)`. С какой высоты `H` следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?

Решение

По условию `mu_2 < "tg"  alpha`, `mu_1 > "tg" alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf"тр"2) = mu_2 mg cos alpha < mg sin alpha`, лыжник движется равноускорено. На нижнем участке склона

`F_(sf"тр"1) = mu_1 mg cos alpha > mg sin alpha`,

лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:

приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно $$ {П}_{2}-{П}_{1}=-mgH$$,

приращение кинетической энергии  `K_2 - K_1 = 0`, работа силы трения скольжения

`A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H - h)/(sin alpha) - mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =`

`=- (mg)/("tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2) h)`.

По теореме об изменении полной механической энергии

$$ \left({K}_{2}+{П}_{2}\right)-\left({K}_{1}+{П}_{1}\right)={A}_{12}$$.

В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/("tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2 )h)`.

Отсюда `H = (mu_1 - mu_2)/("tg"  alpha - mu_2) h`.