При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться “лишние” корни. Почему? Потому, что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения: $\sqrt{f(x)}=g(x)$ и $\sqrt{f(x)}=-g(x)$, но на разных промежутках числовой оси: $\sqrt{f(x)}=g(x)$ – там, где `g(x)>=0`, и $\sqrt{f(x)}=-g(x)$ – там, где `g(x)<=0`. «Лишние» корни – это корни второго уравнения, геометрически это пересечение графика функции `y=g(x)` с графиком функции `y=-sqrt{f(x)}`. 

Как быть?

Дело в том, что обе части любого уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение `f(x)=g^2(x)`, при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется автоматически – поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства `f(x)>=0`!

Заметим, что уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение для `g(x)>=0`, но не имеет решений, если `g(x)<0`.

Вспомним, что, если `f(x)>=0`, `g(x)>=0`. то `f(x)=g(x)hArrf^2(x)=g^2(x)`.

Так как уравнение `sqrt{f(x)}=g(x)` может иметь решение лишь при условии `g(x)>=0` (т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то 

Это очень важное условие равносильности.

Во-первых, оно освобождает от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие `f(x)>=0` – неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.

Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия `g(x)>=0`  неотрицательности правой части – это условие “отсекает” посторонние корни – корни уравнения `-sqrt{f(x)}=g(x)`. При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни “плохие”) заранее решать не надо.

Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия `g(x)>=0` не всегда просто сделать.