1. Проверяем, все ли множители записаны «правильно».
2. Находим корни числителя и знаменателя.
3. Представляем числитель и знаменатель в виде произведения неприводимых множителей, т. е. множителей вида `(x-a)^k` (все квадратные трёхчлены, имеющие отрицательный дискриминант, не записываем – их «опускаем»).
4. Наносим на числовую ось корни числителя (точками, если неравенство нестрогое, или «дырками», если неравенство строгое) и знаменателя (в любом неравенстве «дырками»).
5. Расставляем знаки дроби в промежутках между корнями, учитывая, что многочлен меняет знак при переходе через точку `a`, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n-1}`, `ninN`

и не меняет знак, если в многочлене стоит `(x-a)^{2n}`,   `ninN`.
6. Отмечаем прямоугольниками решение заданного неравенства и «снимаем» с рисунка ответ. При этом помним, что,
а) если неравенство строгое, то решением являются открытые промежутки;
б) если неравенство нестрогое, то к предыдущим решениям добавляются все «точки».

Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, т. е. в виде `{P(x)}/{Q(x)}`. 

Например, функции `y=x-2`, `y={x^3-x+5}/{x+4}` - рациональные, а функция `y=sqrt(5x)` не является рациональной – она называется иррациональной.

Неравенства называются рациональными, если их правые и левые части являются рациональными функциями.

Рациональные неравенства чаще всего решаются сравнением с нулём, т. е. решаются неравенства вида `{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)`. 
Заметим, что дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые (противоположные) знаки, т. е.

`{P(x)}/{Q(x)}>0(<0)hArrP(x)Q(x)>0(<0)`,

поэтому метод интервалов применяется к дроби точно так же, как и к многочленам.

В школе принято писать для дроби ОДЗ: `Q(x)!=0`, но это является совершенно излишним. В самом алгоритме решения таких неравенств учитывается условие, что знаменатель не равен `0` – нули знаменателя отмечаются всегда кружочками («дырками»). Именно поэтому ОДЗ для рациональной дроби не пишут.

Некоторые учащиеся после нахождения ОДЗ даже «бросают» знаменатель. Они не понимают, что решение зависит не от того, равен или не равен `0` знаменатель, а от того, где знаменатель положителен, а где отрицателен.

При применении этого метода интервалов нет необходимости в рассмотрении «пробных» точек.

Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства $\dfrac{\displaystyle\dfrac{2-x}5}{4x+5}\geq0$.

Переписываем наше неравенство в правильном виде:

$\dfrac{\displaystyle\dfrac{2-x}5}{4x+5}\geq0\Leftrightarrow\dfrac{x-2}{(x+{\displaystyle\dfrac54)}}\leq0$

и применяем метод интервалов - рис. 1.

Рис. 1

C рисунка снимаем ответ.

`3,25`.

Решите систему неравенств 

$$\left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+\dfrac14\right)\left(x+\dfrac18\right)\geq0,\\\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-{\displaystyle\dfrac{51}{50}}\right)}{\left(x+{\displaystyle\dfrac3{16}}\right)x}<0.\end{array}\right.$$

Здесь очень «плохие» пробные точки – дробные и близкие. Это сделано специально, чтобы привыкнуть их использовать.
Решаем сначала первое неравенство: наносим на числовую ось нули точками, т. к. неравенство нестрогое.

Теперь расставим знаки. Замечаем, что при больших `x` все множители положительны. При переходе через точку `x=1` функция меняет знак, т. к. `(x-1)` входит в нечётной (первой) степени. По этой же причине при переходе и через остальные точки функция опять меняет знак (рис. 2).

Рис. 2

Теперь отметим «прямоугольниками» решение неравенства (рис. 3).

Рис. 3

Теперь решаем второе: наносим на числовую ось нули и числителя, и знаменателя кружочками (дырками), т. к. неравенство строгое. Получаем рис. 4.

Рис. 4

Теперь надо обе картинки поместить на одну ось. Надо ли соблюдать масштаб? А зачем? Не надо. Ведь нас интересует только взаимное расположение точек относительно друг друга, а расстояния между ними никакой роли не играют.

Теперь заштриховываем общие части прямоугольников – отлично виден ответ (рис. 5).

Рис. 5

`x in(-3/16;-1/8]uu(51/50;2)`.

Найдите наименьшую длину промежутка, в котором расположены все решения неравенства 

`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0`.

При решении неравенств, левая часть которых содержит чётные степени, можно поступать по-разному.
Первый способ
Левая часть уже записана правильно, корни видны сразу. Отмечаем их точками на числовой оси, а затем по вышеприведённым правилам расставляем знаки и отмечаем решение прямоугольниками – рис. 6.

Рис. 6

С рисунка снимаем ответ, что `x in{-2;25}uu[-1,5;12]`.  Отсюда следует, что наименьшая длина промежутка равна `25-(-2)=27`.

Второй способ
Можно заранее учесть, что бином `(x-a)^{2k}` принимает либо значение, равное `0`, либо положительно на всей числовой оси – поэтому можно записать в решение `x=a`, а бином «опустить», т. к. он не влияет на знак оставшегося выражения:

`(x-1)^2(x+1,5)^3(x-12)(x+2)^4(x-25)^8<=0 iff`

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1,\\x=-2,\\x=25,\end{array}\\(x+1,5)(x-12)\leq0\end{array}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{-2;25\right\}\cup\left[-1,5;12\right].$

`27`.

Решите неравенство `x<={8x-2}/{x+5}`.

`x<={8x-2}/{x-5}hArr{x^2-3x+2}/{x+5}<=0hArr{(x-1)(x-2)}/{x+5}<=0`

Рис. 7

Из рис. 7 следует ответ

`(-oo;-5)uu[1;2]`.

Найти все пары целых чисел `x`, `y`, для которых верны неравенства

$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x<45,\\x+y>24,\\3x-y<3.\end{array}\right.$$ 

Запишем систему в стандартном виде (для сравнения с нулём)

$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0.\end{array}\right.$$

Заметим, что `y` входит в первое неравенство со знаком `« + »`, а во второе и третье со знаком `« – »`. Поэтому умножим сначала второе и третье неравенства на `3` (получились равносильные неравенства), а затем заменим второе и третье неравенства их суммами с первым – таким образом, мы исключим `y`. Итак,

$$\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-x-y+24<0,\\3x-y-3<0,\end{array}\right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-2x-45<0,\\-3x-3y+72+3y-2x-45=-5x+27<0\Leftrightarrow x>\dfrac{27}5,\\9x-3y-9+3y-2x-45=7x-54<0\Leftrightarrow x<\dfrac{54}7\end{array}\right.\Rightarrow$$

(учтём, что мы ищем целые решения) $\Rightarrow x=\left[\begin{array}{l}6,\\7.\end{array}\right.$

Подставим последовательно найденные значения `x` в систему.

$$x=6\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-57<0,\\-y+18<0,\\15-y<0\end{array}\right.\Rightarrow\varnothing.$$

$$x=7\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3y-59<0,\\-y+17<0,\Rightarrow y=19,\\-y+18<0.\end{array}\right.$$

`(7,19)`.