$$ 4.{1}^{○}$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям - подобны.

$$ 4.{2}^{○}$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей  и точка  пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.{3}^{○}$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.{4}^{○}$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.{5}^{○}$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.{6}^{○}$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых   равен   полуразности   оснований,  а  другой –  их  полусумме

(рис. 25, основания равны  `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.{7}^{○}$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.{8}^{○}$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).                      

$$ 4.{9}^{○}$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` - диагональ, `c` - боковая  сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей  равна  сумме  квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.{10}^{○}$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.{11}^{○}$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):`     `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,        

 `ul(DeltaBCD):`  `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi`  (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Складывая, получаем

`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_2^2-2(a-b)c_2cosvarphi)`.                                              (2)

Проводим `CK``|\|``BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=a^2+b^2+c_2^2+(c_1^2-(a-b)^2)=`

`=(a^2+b^2+c_2^2)+(c_1^2-a^2-b^2+2ab)`.

Окончательно имеем 

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем 

. 

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.{2}^{○}$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` - его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную  диагонали `AC`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

По построению `ACKD` - параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` - это угол между  диагоналями трапеции).             

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой  `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника  `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то  

`S_(BDK)=1/2BK*DP=1/2(BC+AD)DP=S_(ABCD)`.       

Итак, `S_(ABCD)=S=24`.                       

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны  `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` - высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.{1}^{○}$$  `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е.  `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`,  откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah`  и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`,  то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.  

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом,  `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`,  и поэтому площадь трапеции будет равна

`S_1+S_2+2S_0=(sqrt(S_1)+sqrt(S_2))^2`.

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32). 

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.{11}^{○}$$ около  этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.{6}^{○}$$

`AK=(AD-BC)/2=1`, `KD=(AD+BC)/2=9`.                       

Из прямоугольного треугольника  `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)`  и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:`  `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда 

 `R=(3sqrt(10))/(2*3//sqrt(10)) =5`.

$$ 4.{12}^{○}$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.{13}^{○}$$. Если `S_1` и `S_2` - площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.{14}^{○}$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` - какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` - смотрящий на неё вписанный угол.