`S=a*h_a=b*h_b`,                                                (6)

                                                                     `S=a*bsinvarphi`                                                           (7)

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения  диагоналей на синус  угла  между ними, т. е

                                                               `S=1/2d_1d_2sinalpha`                                                  (8)

где  `d_1` и `d_2` - диагонали четырёхугольника, `alpha` - величина угла между ними.

`ABCD` - выпуклый четырёхугольник, диагонали которого `AC` и `BD` пересекаются в точке `O` под углом `alpha` (рис. 15). Через вершины `A` и `C` проведём прямые, параллельные диагонали `BD`, а через вершины `B` и `D` проведём прямые, параллельные диагонали `AC`. Проведённые прямые в пересечении образуют параллелограмм со сторонами, равными диагоналям `BD` и `AC`, и углом `alpha`. Площадь параллелограмма равна `AC*BD*sinalpha`, а площадь четырёхугольника `ABCD` равна, как легко видеть, половине его площади, т. е.

`S_(ABCD)=1/2AC*BD*sinalpha`.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Это сразу следует из доказанной формулы, т. к. диагонали ромба перпендикулярны.

Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны `a` и `b` `(a!=b)`, а угол между диагоналями равен `alpha(alpha<90^@)`.

Пусть `O` - точка пересечения диагоналей параллелограмма `ABCD` (рис. 16), `AB=a`, `AD=b`. Обозначим `BD=2x`, `AC=2y`.  

Применим теорему косинусов к треугольникам`AOB` и `AOD` (заметим, что `/_AOD=180^@-alpha)`,  будем иметь: `a^2=x^2+y^2-2xycosalpha`, `b^2=x^2+y^2+2xycosalpha`. По теореме 3 площадь `S` параллелограмма `ABCD` будет равна `1/2AC*BDsinalpha=2xysinalpha`. Заметим, что это выражение легко можно найти, не определяя `x` и `y` из системы. Действительно, из двух уравнений для `x` и `y` получим `b^2-a^2=4xycosalpha`. По условию `b!=a`, следовательно, `cosa!=0` и `xy=(b^2-a^2)/(4cosalpha)`.  Выражаем площадь параллелограмма по формуле (8): 

`S=2xysinalpha=(b^2-a^2)/2 "tg"alpha`.

Середины сторон выпуклого четырёхугольника `ABCD` являются вершинами другого четырёхугольника (четырёхугольника Вариньона). Доказать, что четырёхугольник Вариньона - параллелограмм и его площадь равна половине площади  `S` четырёхугольника  `ABCD`.

1. Проведём диагонали `AC` и `BD`. Середины сторон обозначим `K`, `L`, `M` и `N`  (рис. 17). По определению  `KL` - средняя линия треугольника  `ABC`, по теореме о средней линии  `KL``|\|``AC`, `KL=1/2AC`.

Аналогично,  `NM` - средняя линия треугольника  `ADC`, `NM``|\|``AC`, `NM=1/2AC`.

В четырёхугольнике  `KLMN` противоположные стороны `KL` и `NM` равны и параллельны, по признаку `KLMN` - параллелограмм.

Если рассмотреть стороны  `LM` и `KN`, то точно также установим, что `LM``|\|``BD``|\|``KN`  и `LM=KN=1/2BD`. 

2. Из параллельности `KL``|\|``AC` и `KN``|\|``BD` следует, что угол  `LKN` параллелограмма `KLMN` равен углу между диагоналями четырёхугольника  `ABCD` (обозначим угол  `alpha`).

Имеем  `S_(KLMN)=KL*KNsinalpha=1/2AC*1/2BDsinalpha`, а по теореме 3  

`S_(ABCD)=1/2AC*BD*sinalpha`.

Из этого следует `S_(KLMN)=1/2S_(ABCD)`, ч. т. д. 

что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на её высоту, т. е.

                                                                       `S=(a+b)/2h`.                                                  (9)

Найти площадь трапеции, если её основания равны `16` и `44`, а боковые стороны равны `17` и `25`.

Через вершину `C` проведём `CK``|\|``BA` (рис. 18). `ABCK` - параллелограмм, его противоположные стороны равны,  поэтому  в  треугольнике `KCD`  определяются все  стороны: `KC=AB=25`, `CD=17`, `KD=AD-BC=28`.

По формуле Герона вычисляем площадь этого треугольника: `p=36`, `S_(KCD)=210`.

С другой стороны, `S_(KCD)=1/2KD*CF`, если `CF_|_AD`. Отсюда находим `CF=(2S_(KCD))/(KD)=15` и вычисляем площадь трапеции

`S_(ABCD)=1/2(BC+AD)CF=450`.

Отрезок длины `m`, параллельный основаниям трапеции, разбивает её на две трапеции  (рис. 19). Найти  отношение  площадей этих трапеций, если основания трапеции  равны `a` и `b` `(b < a)`.   

Пусть `BC=b`, `AD=a` и `MN=m`, и `MN``|\|``AD`. Проведём `CE``|\|``BA` и `NF``|\|``BA`, а также `CK_|_MN` и `NP_|_AD`. Обозначим `CK=h_1`, `NP=h_2`. Далее, т. к. `CE``|\|``NF`, то `/_ECN=/_FND`, а из `MN``|\|``AD` следует `/_ENC=/_FDN`. Следовательно, треугольники `ECN` и `FND` имеют по два равных угла, они подобны. Из подобия имеем `(EN)/(FD)=(CN)/(ND)`.  Прямоугольные  треугольники `KCN` и `PND` также подобны и `(CK)/(NP)=(CN)/(ND)`, поэтому `(EN)/(FD)=(CK)/(NP)`, т. е. `(m-b)/(a-m)=(h_1)/(h_2)`. Если `S_1` и `S_2` - площади трапеций `MBCN` и `AMND`, то 

`S_1=1/2(b+m)h_1`, `S_2=1/2(a+m)h_2` 

и

`(S_1)/(S_2)=((m+b)h_1)/((a+m)h_2)=(m^2-b^2)/(a^2-m^2`.