§ 5. Задачи и вопросы для самостоятельного решения

В контрольных вопросах и задачах проверяются Ваши знания основного курса и знакомство с материалом нашего задания.

1. Контрольные вопросы и задачи могут быть не только по темам, повторенным в этом Задании (повторить весь учебник невозможно), но и по материалу, изученному Вами в школе. При ответе на некоторые вопросы придётся открыть учебник.

2. Ответы на контрольные вопросы надо давать обоснованные. Приведём примеры.

вопрос 1

Точки `K` и `L` делят диагональ `AC` параллелограмма `ABCD` на три равные части: `AK=KL=LC` (рис. 33). Верно ли, что прямые `BK` и `LD` параллельны?

 

ответ

Да, верно. Докажем это.

Доказательство

а) Проведём диагональ  `BD`. По теореме диагонали параллелограмма пересекаются  и  точкой  пересечения  делятся пополам: `AO=OC` и `BO=OD`.

б) Из  `AO = OC` и `AK=CL` следует `KO=OL`.

в)  `Delta BOK = Delta DOL`, так как `KO=OL`, `BO=OD` и `/_BOK = /_ DOL`  (как вертикальные).

Из равенства треугольников следует  `/_ 1 = /_ 2`. Накрест лежащие углы при секущей  `AC` равны, следовательно, BK∥LDBK\parallel LD.

вопрос 2

В четырёхугольнике `ABCD` стороны `AB` и `CD` равны друг другу, а стороны `AD` и `BC` параллельны. Является ли четырёхугольник `ABCD` параллелограммом?

ответ

Нет, например, четырёхугольник `ABCD` на рисунке 34 удовлетворяет этим условиям, но противоположные стороны `AB` и `CD` не параллельны (этот четырёхугольник - равнобокая трапеция).