1. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна `180^@`
2. Противолежащие углы параллелограмма равны.
3. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
4. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то это параллелограмм.
2. Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.
4. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Докажем, например, признак 3.

Пусть в четырёхугольнике `ABCD` стороны удовлетворяют условиям `AB=DC` и `BC=AD` (рис. 17). Отметим соответственно равные стороны и проведём диагональ  `AC`. `Delta ABC= Delta CDA` (`AB=CD`, `BC=AD`, `AC` - общая сторона). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: против `AB` - угол `1`, против `CD` - угол `2`, `/_ 1 = /_ 2` (накрест лежащие углы)  $\Rightarrow BC\parallel AD$.  Против  `BC` -  угол  `3`,  против `AD` -  угол    `4`, `/_ 3 = /_ 4 =>` $AB\parallel CD$.

Противолежащие стороны попарно параллельны, значит  параллелограмм по определению.  

Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Через каждую вершину треугольника `ABC` (рис. 18) проведём прямую, параллельную противолежащей вершине стороне.  Получаем треугольник `A_1 B_1 C_1`, к сторонам которого перпендикулярны высоты данного (например, если `AH _|_ BC`, то из $BC\parallel B_1C_1$, следует `AH_|_B_1 C_1`). 

По построению $AB\parallel CA_1$, $AC\parallel BA_1$, $\Rightarrow ABA_1C$ - параллелограмм. Также показывается, что `AC_1BC` - параллелограмм. По свойству параллелограмма `BA_1 = AC`, `C_1 B = AC => C_1 B = BA_1`, т. е. точка `B` - середина стороны `A_1 C_1`. Повторяя рассуждение, устанавливаем, что точка `A` - середина стороны `B_1 C_1` и точка `C` - середина стороны `A_1 B_1`. 

Прямые, на которых лежат высоты `AH`, `BF` и `CK` треугольника `ABC`, перпендикулярны к сторонам треугольника `A_1 B_1 C_1` и проходят через их середины, а три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (определяют центр окружности, описанной около треугольника `A_1 B_1 C_1`). Значит три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке.

Если треугольник остроугольный, то пересекаются сами высоты.

Если в треугольнике  `ABC` углы `A` и `C` - острые (рис. 19), то вершина `B` лежит в полосе между двумя параллельными прямыми `l_1` и `l_2`, которые проходят через точки `A` и `C` и перпендикулярны `AC`. Отсюда следует, что основание `F` её высоты `BF` лежит на стороне `AC`. Если угол `B` - также острый (т. е. треугольник `ABC` - остроугольный), то основание `H` высоты `AH` тоже лежит на стороне `BC` (рассуждения те же самые). Точки `B` и `F` лежат в разных полуплоскостях, образованных прямой `AH`, значит отрезок `BF` пересекает прямую `AH`. Точка пересечения `O` лежит на `BF`,  т. е. лежит внутри треугольника, и, значит, на отрезке `AH`.  По теореме третья высота пройдёт через ту же точку `O`.  

Биссектриса угла  `A` параллелограмма `ABCD` пересекает сторону  `CD` в точке `K`,  а продолжение стороны `BC` в точке `F` (рис. 20). Найти стороны параллелограмма, если  `BF = 16` и `CK =5`. 

`AF` - биссектриса угла  `BAD`, $\underline{\angle1=\angle2}$. Прямые `AD` и `BF` - параллельны,  поэтому  $\angle3=\angle1$ (как  накрест  лежащие),  тогда  `/_2 = /_3`, треугольник `ABF` -равнобедренный, `AB=BF`. Значит `AB =16`. 

По свойству параллелограмма `CD=AB`, значит `CD=16` и `DK=11`. Далее, из $AB\parallel CD$ следует  `/_2 = /_4` (накрест лежащие), значит `/_4=/_1`, треугольник `ADK` - равнобедренный, `AD=DK=11`.

`AD=BC=11`, `AB=CD=16`.

Дана окружность с диаметром `AB` и точка `M`, лежащая внутри окружности, но не на диаметре (рис. 21). С помощью односторонней линейки опустить из точки  `M` перпендикуляр на прямую  `AB`.

(   – уменьшенная копия односторонней линейки).

Что мы можем делать с помощью односторонней линейки? Проводить прямые! Вот и проведём через точки `A` и `M` прямую до пересечения с окружностью в точке `A_1`, затем через точки `B` и `M` проведём прямую до пересечения с окружностью в точке `B_1` (рис. 21).

Далее, проведём прямую через точки `A` и `B_1` и прямую через точки `B` и `A_1` - получим в их пересечении точку `C`. Прямая `CM` - искомая. В треугольнике `ACB` высоты `A A_1` и `B B_1`  (углы `A A_1 C` и `B B_1 C` - прямые, опираются на диаметр) пересекаются в точке `M`. Точка `M` - точка пересечение высот треугольника `ACB`, значит `C C_1 _|_ AB`.

Через середину диагонали `BD` прямоугольника `ABCD` проведена перпендикулярно этой диагонали прямая, пересекающая сторону `BC` в точке `F` и сторону `AD` в точке `E`. Известно, что `EF = ED = 8`.  Найти большую сторону прямоугольника.

Середина диагонали `BD` - точка `O`, - есть центр прямоугольника, `BO=OD` (рис. 22). Отрезок `EF` делится точкой `O` пополам, действительно, `Delta BOF = Delta DOE` (углы при точке `O` равны как вертикальные,  `/_DBF = /_BDE` (как накрест лежащие при параллельных прямых `BC` и `AD`) и `BO=OD`; треугольники равны по второму признаку равенства).

 Значит `FO=EO=1/2 EF=4` и `BF=ED=8`. 

Треугольник `BOF` - прямоугольный, гипотенуза `BF=8`, катет `OF=4`, значит `/_OBF =30^@`.  

Диагонали прямоугольника равны, равны и их половины,  `BO=OC`. Треугольник `BOC` - равнобедренный, `/_BCO=30^@`, `/_CFO=180^@ - /_OFB =180^@ - 60^@ = 120^@`,

следовательно  `/_FOC = 30^@`. Треугольник `OFC` - равнобедренный, `FC=OF=4`, значит `BC=12`.  

`12`.

Окружность, построенная как на диаметре, на стороне `AD` параллелограмма `ABCD` касается стороны `BC` и проходит через середину стороны `AB` (рис. 23). Найти углы параллелограмма. 

Пусть `O` - центр окружности и `R` - её радиус. Если `P` - точка касания стороны `BC`, то `OP_|_ BC`,  а из $AD\parallel BC$ следует `OP_|_AD`. Это означает, что расстояние между параллельными прямыми `AD` и `BC` равно `R`. 

Точка `M` лежит на окружности, `OM=R`. Точка `M` - середина стороны `AB`. Если `MF _|_ AD` и `MK _|_ BC`, то точки `K`, `M` и `F` лежат на одной прямой (т. к. $AD\parallel BC$) и поэтому `KF=PO=R`. Прямоугольные треугольники `AMF` и `BMK` равны (по гипотенузе и острому углу) и `MF=1/2 KF = 1/2 R`. 

Из треугольника  `OMF`, в котором `MF_|_OF`, `OM=R` и `MF= R/2` следует, что `/_MOF = 30^@`.  

Далее заметим, что треугольник `AOM` равнобедренный `(OA=OM=R)`,

угол при вершине `O` равен `30^@`, следовательно `/_OAM = /_ AMO = 75^@`. 

Итак, острый угол `A` параллелограмма равен `75^@`, а тупой угол `B` равен `105^@`.  

`75^@` и `105^@`.