ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
Основные определения и примеры
В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.
Числовыми являются выражения $$ \mathrm{3,8}-\mathrm{2,1}\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{4}\right)$$, $$ 2+5(38:9)$$.
Выражения вида `2x+1`, $$ 3{x}^{2}+5$$ называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.
$$ 2{x}^{2}y+xy{z}^{3}$$, $$ 5{a}^{2}b{\left(x-y\right)}^{2}$$ , $$ 3{t}^{2}+{v}^{3}+1$$.
Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.
Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.
Соответственными значениями выражений $$ 2{x}^{2}+1$$ и $$ 3{x}^{2}+5x+1$$ при `x=1` являются числа $$ 3$$ и $$ 9$$.
Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком «`=`», называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть верными при одних значениях переменных и неверными при других значениях.
Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.
Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.
Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.
Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.
Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.
Выражения $$ 9,$$ $$ 25{x}^{2}$$ и $$ 34abx{y}^{4}$$ являются одночленами.
Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.
Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.
Стандартным видом одночлена $$ \mathrm{0,3}bxy(-2){a}^{2}{x}^{2}{y}^{3}$$ является одночлен $$ -\mathrm{0,6}{a}^{2}b{x}^{3}{y}^{4},$$ число $$ (-\mathrm{0,6})$$ является его коэффициентом, степень одночлена равна $$ 10.$$
Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.
Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.
Одночлены $$ 2a{x}^{2}y$$ и $$ -5a{x}^{2}y$$ являются подобными.
Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.
$$ 2ax+3by-ax+\mathrm{0,5}by=ax+\mathrm{3,5}by.$$
Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.
Стандартным видом многочлена $$ 2a{x}^{5}+x{y}^{3}+3x{y}^{3}-2a{x}^{5}+5$$ является многочлен $$ 4x{y}^{3}+5,$$ его степень равна $$ 4.$$
Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.
$$ \left(x+y\right)\left(2{x}^{2}-y\right)=2{x}^{3}+2{x}^{2}y-xy-{y}^{2}.$$
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.
При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.
Разложите на множители многочлен $$ 2{x}^{2}y+{y}^{2}-2{x}^{3}-yx.$$
Решение
При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»:
| 1. Разность квадратов | $$ {a}^{2}-{b}^{2}=(a-b)(a+b)$$ |
|---|---|
| 2. Разность кубов | $$ {a}^{3}-{b}^{3}=(a-b)({a}^{2}+ab+{b}^{2})$$ |
| 3. Сумма кубов | $$ {a}^{3}+{b}^{3}=(a+b)({a}^{2}-ab+{b}^{2})$$ |
| 4. Квадрат суммы | $$ (a+b{)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}$$ |
| 5. Квадрат разности | $$ (a-b{)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$$ |
| 6. Куб суммы | $$ (a+b{)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}$$ |
| Куб разности | $$ (a-b{)}^{3}={a}^{3}-3{a}^{2}b+3a{b}^{2}-{b}^{3}$$ |
Разложите на множители многочлен $$ {x}^{3}+{x}^{2}+x-3.$$
Покажем, как, последовательно используя метод группировки, формулы 2 и 1 и метод вынесения общего множителя, можно разложить на множители данный многочлен:
`x^3+x^2+x-3=(x^3-1)+(x^2-1)+(x-1)=`
`=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)=`
`=(x-1)(x^2+x+1+x+1+1)=(x-1)(x^2+2x+3)`.
Разложите на множители многочлен $$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y.$$
Сначала выносим общий множитель $$ 3{x}^{2}y$$ за скобку:
$$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y=3{x}^{2}y\left({y}^{3}-8{x}^{3}\right). $$
Затем к многочлену $$ {y}^{3}-8{x}^{3}$$ применим формулу для разности кубов:
$$ {y}^{3}-8{x}^{3}=\left(y-2x\right)\left({y}^{2}+2xy+4{x}^{2}\right). $$
В результате получим $$ 3{x}^{2}{y}^{4}-24{x}^{5}y=3{x}^{2}y(y-2x)\left({y}^{2}+2xy+4{x}^{2}\right). $$
Разложите на множители многочлен $$ 27{x}^{3}+{y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1.$$
Заметим, что $$ {y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1={\left(y+1\right)}^{3},$$ а $$ 27{x}^{3}={\left(3x\right)}^{3},$$ тогда получаем
$$ {\left(3x\right)}^{3}+{\left(y+1\right)}^{3}.$$
Применяем формулу 3, получим
$$ (3x{)}^{3}+(y+1{)}^{3}=(3x+y+1){\left(9{x}^{2}-3x(y+1)+(y+1\right)}^{2}).$$
Таким образом,
$$ 27{x}^{3}+{y}^{3}+3{y}^{2}+3y+1=(3x+y+1)(9{x}^{2}-3xy-3x+{y}^{2}+2y+1). $$
Разложим на множители многочлен $$ {y}^{8}+{y}^{4}+1.$$
Покажем на этом примере ещё один способ разложения на множители. Прибавим и вычтем выражение $$ {y}^{4},$$ получаем:
$$ {y}^{8}+{y}^{4}+1+{y}^{4}-{y}^{4}={y}^{8}+2{y}^{4}+1-{y}^{4}={\left({y}^{4}+1\right)}^{2}-{\left({y}^{2}\right)}^{2}$$.
А теперь применяем формулу для разности квадратов:
$$ {\left({y}^{4}+1\right)}^{2}-{\left({y}^{2}\right)}^{2}=\left({y}^{4}+1+{y}^{2}\right)\left({y}^{4}+1-{y}^{2}\right)$$.
