ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
1.
Скалярным произведением двух векторов `vec a` и `vec b` называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, и обозначается `vec a * vec b`.
Таким образом,
Иногда используют более сложные обозначения для скалярного произведения векторов: `(vec a vec b)` или даже `(vec a, vec b)`.
Если векторы `vec a` и `vec b` ортогональны `(vec a _|_ vec b)`, то `cos alpha = 0` и поэтому `vec a * vec b = 0`. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.
Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то `cos alpha = 1`, поэтому скалярное произведение векторов `vec a` и `vec b` равно произведению модулей векторов `vec a` и `vec b`. В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: `vec a * vec a = a^2`.
2. Имеется ещё одна важная форма записи скалярного произведения: через проекции векторов в прямоугольной системе координат `xOy`. Пусть в некоторой системе координат векторы `vec a` и `vec b` имеют координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Тогда для скалярного произведения векторов справедлива формула
Действительно, имеем `vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * (b_x vec i + b_y vec j)`, или после перемножения скобок
`vec a * vec b = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`.
Учитывая, что векторы `vec i` и `vec j` единичные и взаимно перпендикулярные,
(`vec i * vec i = vec j * vec j = 1` и `vec i * vec j = vec j * vec i = 0`), получим (7).
(написано по просьбе Володковича Н.А., преподавателя школы Смоленской обл.). Кажущееся привычным перемножение скобок
`vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * ( b_x vec i + b_y vec j) = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`
не так очевидно для векторов. Во всяком случае, нужно ещё доказать, что оно согласуется с определением (6) скалярного произведения. Докажем, что
`(vec a + vec b)(vec c + vec d) = vec a * vec c + vec a * vec d + vec b * vec c + vec b * vec d`. (*)
Для этого заметим, что скалярное произведение (6) можно переписать в виде
`vec a * vec b = a * b_a` (6'),
где `b_a` – проекция вектора `vec b` на направление вектора `vec a`.
(Можно было записать и иначе:
`vec a * vec b = a_b * b` (6"),
где `a_b` – проекция вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.)
Далее – цепочка простых выкладок:
`vec a * (vec c + vec d) = (vec c + vec d) * vec a = a (c_a + d_a) = a * c_a + a * d_a = vec a * vec c + vec a * vec d`,
`(vec a + vec b)(vec c + vec d) -= (vec a + vec b) * vec e = vec a * vec e + vec b * vec e = vec a * (vec c + vec d) + vec b * (vec c + vec d)`,
откуда следует равенство (*) (было введено обозначение `vec c + vec d -= vec e`).
При другом выборе системы координат векторы `vec a` и `vec b` имели бы другие координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Поэтому могло бы показаться, что в новой системе координат скалярное произведение векторов (7) будет иметь другое значение. На самом деле, согласно (6) величина скалярного произведения останется такой же: модули векторов и угол между ними не зависят от поворотов и сдвигов системы координат.
`vec a = (3; lambda)`, `a = 5`. Определите `lambda`.
Согласно формуле (4) имеем `3^2 + lambda ^2 = 5^2`, откуда `lambda = 16` и `lamda =+- 4`. Заметим, что условию задачи удовлетворяют два разных вектора (см. рис. 16).
Векторы `vec a = (0; 3)` и `vec b = (lambda ; 5)` коллинеарны друг другу. Определите `lambda`.
Вектор `vec a` параллелен оси `Oy` (перпендикулярен оси `Ox`: `a_x = 0`). Поэтому коллинеарный ему вектор `vec b` также должен быть перпендикулярен оси `Ox`, т. е. должно выполняться равенство `b_x = 0`, или `lambda = 0`.
Векторы `vec a = (- 1; 3)` и `vec b = (lambda; 5)` перпендикулярны друг другу. Определите `lambda`.
Векторы `vec a` и `vec b` перпендикулярны друг другу, поэтому равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу (6) и вывод после неё). Тогда по формуле (7) для скалярного произведения векторов имеем: `(- 1) * lambda + 3 * 5 = 0`, откуда `lambda = 15`.
`vec p = vec b (vec a vec c) - vec c (vec a vec b)`. Докажите, что `vec p _|_ vec a`.
Надо доказать, что скалярное произведение векторов `vec a` и `vec p` равно нулю. В самом деле, `vec a * vec p = (vec a vec b)(vec a vec c) - (vec a vec c)(vec a vec b) -= 0`.
Векторы `vec a`, `vec b`, `vec c` составляют треугольник (см. рис. 17).
Воспользовавшись свойствами скалярного произведения векторов, докажите теорему косинусов
`c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab cos varphi` (8)
По условию задачи имеем `vec c = - (vec a + vec b)`. Квадрат модуля вектора `vec c` можно представить как скалярное произведение его на самого себя: `c^2 = vec c * vec c`. Вычислим это скалярное произведение:
`vec c * vec c = + (vec a + vec b) * (vec a + vec b) = vec a * vec a + vec a * vec b + vec b * vec a + vec b * vec b = a^2 + b^2 + 2ab cos alpha`.
Угол `alpha` между векторами `vec a` и `vec b` и угол `varphi` (см. рис.17) - два смежных угла, т. е. `alpha = 180^@ - varphi` . Поэтому имеем `c^2 = a^2 + b^2 + 2 ab cos (180^@ - varphi)`.
Пользуясь известной из тригонометрии формулой приведения `cos (180^@ - varphi) =- cos varphi`, получаем формулу (8)
Найдите угол `alpha` между векторами `vec a = 3 vec i + 2 vec j` и `vec b = - 2 vec i - vec j`.
По определению скалярного произведения `vec a * vec b = a * b * cos alpha`, где `alpha` - искомый угол, `a` и `b` - модули векторов `vec a` и `vec b` соответственно. Отсюда `cos alpha = (vec a * vec b)/(a * b)`. В свою очередь,
`vec a * vec b = a_x b_x + a_y b_y = 3 * (- 2) + 2 * (- 1) = - 8`,
`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt13`,
`b = sqrt(b_x^2 + b_y^2) = sqrt((- 2)^2 + (- 1)^2) = sqrt5`.
Тогда `cos alpha = (- 8)/(sqrt13 * sqrt5) = (- 8)/sqrt(65) ~~ - 0,992`. Отсюда `alpha ~~ 173^@`.
