§3. Неравенства с модулем

Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля. 

Пример 5

Решите неравенство:  

а) `|x-2|>=-1`;  

б) `|x-4|<-2`;

в) `|1-x|<=4`;  

г) `|3+x|>5`. 

Решение

а) `|x-2|>=0>-1` - верно для всех `x`.

Ответ
`x` - любое число.


б)  Решений нет, т. к. `|x-4|>=0` для всех `x`.   

Ответ
нет решений.


в) Воспользуемся    снова    свойством   $$ {10}^{○}$$ (см. § 1). Тогда условие звучит так: расстояние от точки `x` до точки `1` не превосходит `4`. То есть, мы ищем все точки прямой, удалённые от точки `1` на расстояние, не большее `4` (см. рис. 7).

Запишем решение так:

`|1-x|<=4 iff -4<=1-x<=4 iff -3<=x<=5`.


Ответ
`x in [-3;5]`.


г) `|x+3|=|x-(-3)|`. Поэтому `|x+3|` - это расстояние между точками  и (`–3`). Ищем все точки на прямой, удалённые от точки (`–3`) на расстояние, большее `5` (см. рис. 8).

Запишем решение:

$$\left|3+x\right|>5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3+x>5,\\3+x<-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>2,\\x<-8.\end{array}\right.$$

Ответ

`x in (-oo;-8)uu(2;oo)`.

При решении неравенств, содержащих знак модуля, часто бывают полезны следующие равносильные переходы.

Свойства

$$ {12}^{○}$$. `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`.

$$ {13}^{○}$$. $$\left|f\left(x\right)\right|>g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right),\\f\left(x\right)<-g\left(x\right).\end{array}\right.$$


$$ {14}^{○}$$.  $$\left|f\left(x\right)\right|< g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right),\\f\left(x\right)>-g\left(x\right).\end{array}\right.$$


Докажем некоторые из них.

Доказательство

$$ {12}^{○}$$. Если обе части неравенства неотрицательны, то его можно возвести в квадрат. Таким образом, `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`. Докажем в обратную сторону:

`f^2(x)>g^2(x) iff |f(x)|^2-|g(x)|^2>0 iff`

`iff (|f(x)|-|g(x)|)*(|f(x)|+(g(x)|)>0`. 

Последнее условие означает, что числа `|f(x)|+|g(x)|` и `|f(x)|-|g(x)|` имеют один знак; `|f(x)|+|g(x)|` не может быть отрицательным, поэтому оба числа должны быть положительны `=> |f(x)|-|g(x)|>0=> |f(x)|>|g(x)|`. Утверждение доказано.

Доказательство

$$ {14}^{○}$$. Рассмотрим 2 случая.  

(1)  `g(x)<=0`. Тогда неравенство `|f(x)|<g(x)` не имеет решений;

не имеет решений и система, так как $$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right)\leq0,\\f\left(x\right)>-g\left(x\right)\geq0,\end{array}\right.$$ откуда следует, что `f(x)>0` и `f(x)<0`, что невозможно. Значит, если `g(x)<=0`, система и неравенство равносильны.

(2) `g(x)>0`. Тогда наше утверждение сводится к простейшему неравенству с модулем:

`|t|<a iff -a<t<a`.

Аналогично, `|f(x)|<g(x) iff -g(x)<f(x)<g(x)`.

Пример 6

Решите неравенство:

а) `|2x^2-3x+1|<=3x-2x^2-1`;

б) `|3x-7|>=|1-4x|`;

в) `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.

Решение

а) `|2x^2-3x-1|<=3x-2x^2-1 iff`

`iff |2x^2-3x+1|<=-(2x^2-3x+1) iff^**` 

`iff 2x^2-3x+1<=0 iff (2x-1)(x-1)<=0 iff`

`iff 1/2 <=x<=1`.

                                          
`**` (т. к. `|a|<=-a iff a<=0`).
Ответ

`[1/2;1]`.


б) $$ \left|3x-7\right|\ge \left|1-4x\right|\stackrel{{12}^{○}}{\iff }{\left(3x-7\right)}^{2}\ge {\left(1-4x\right)}^{2}\iff $$

`iff (3-7)^2-(1-4x)^2>=0 iff`

`iff (3x-7-1+4x)(3x-7+1-4x)>=0 iff`

`iff (7x-8)(-6-x)>=0 iff -6<=x<=8/7`.

Ответ

`[-6;8/7]`.


в) $$ \left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\stackrel{{13}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\right.\iff $$

$$ \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\right.\stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }$$

$$ \stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2,\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff $$

$$\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ {x}^{2}-3x+2\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l}6x\ge 4,\\ {x}^{2}-5x\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff  \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge 2/3,\\ \left[\begin{array}{l}x\ge 5,\\ x\le 0.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\iff$$

$$ \iff\left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2,\\ x\ge 5.\end{array}\right.$$


Ответ

`x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.

В некоторых случаях применение выше рассмотренных свойств нецелесообразно, и проще раскрыть модули по определению (рассмотрев знаки выражений под модулями).

Пример 7

Решите неравенство `6|x^2-3x-4|+1>5|x+5|`.

Решение

Решение проводится по той же схеме, что и в  примере 2. Отмечаем на числовой прямой точки `x=4`, `x=-1` и `x=-5`, в которых подмодульные выражения равны нулю (рис. 9).

а) `x<=-5`. Здесь  `x^2-3x-4>0`, `x+5<=0`, поэтому получаем   

`6x^2-18x-24+1> -5x-25 iff 6x^2-13x+2>0 iff`

`iff (x-2)(6x-1)>0 iff x in (-oo;1/6)uu(2;+oo)`.

С учётом ограничения `x<= -5 : x in (-oo;-5]`.

б) `x in (-5;-1]uu(4;+oo)`. На этих двух промежутках  `x^2-3x-4>=0`, `x+5>0`, поэтому получаем `6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-23x-48>0 iff`

`iff (3x-16)(2x+3)>0 iff x in (-oo;-3/2)uu(16/3;+oo)`.

Учитывая рассматриваемые значения переменной, получаем  

`x in (-5;-3/2)uu(16/3;+oo)`.

в) `x in (-1;4]`. Тогда `x^2-3x-4<=0`, `x+5>0`  и неравенство принимает вид 

`-6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-13x<0 iff`

`iff 6x(x-13/6)<0 iff 0<x<13/6`.

Объединяя результаты, получаем

`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.

Ответ

`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.