Решите неравенства:

а) `((x^2+5x+6)(x-4))/(x^2-x)>=0`; 

б) `(x-3)^2(x-4)^3(x-5)(x-6)^4<=0`;

в) `1/x<1/3`;

г) `((x^2-x-2)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(2x^2-x-6))<=0`;

д) `3/(x^3-3x^2+4)-10/(x^3-7x^2+4x+12)>1/(x^2-5x-6)`.

а) Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, получаем

`((x+2)(x+3)(x+4))/(x(x-1))>=0`.                                                                      (1)

Точки, в которых числитель обращается в ноль (нули числителя), обозначаем на числовой прямой маленькими закрашенными кружочками – они будут включены в ответ, так как в них неравенство выполняется. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль (нули знаменателя), обозначаем на числовой прямой маленькими пустыми кружочками (такие точки называются выколотыми) – они не будут включены в ответ, так как в них левая часть не определена (рис. 2).

Отмеченные точки делят числовую прямую на шесть промежутков, на каждом из которых знак левой части неравенства (1) постоянен. Чтобы определить знаки, сначала определим знак левой части (1) на крайнем правом промежутке `(4; +oo)`. Для этого можно подставить какое-либо значение переменной `x` из этого промежутка в (1), например, `x=1000`. Несложно видеть, что при этом каждый из множителей в числителе и знаменателе положителен, поэтому дробь больше нуля, и на промежутке `(4; +oo)` можем поставить знак `«+»`.

Теперь переместимся в соседний промежуток `(1; 4)`. Заметим, что при переходе через точку `x=4` только один из множителей в (1) меняет знак (это `(x-4)`), а все остальные знаки остаются неизменными, поэтому дробь меняет знак, и на промежутке `(1; 4)` ставим знак `«-»`. При переходе к каждому следующему промежутку ровно один множитель в числителе или знаменателе (1) меняет знак, поэтому меняет знак и вся дробь, то есть знаки чередуются. Получаем такую расстановку знаков:

`x in [-3; -2]uu(0; 1)uu[4; +oo)`.

б) Здесь левая часть уже разложена на множители, и нам остаётся лишь расставить знаки. Для этого отмечаем на числовой прямой точки `x=3`, `x=4`, `x=5`, `x=6` (все они невыколотые и являются решениями неравенства) и приступаем к расстановке знаков. Принципиальное отличие этого примера от предыдущего в том, что некоторые из множителей возводятся в степень. На что это влияет? Если показатель степени чётный, то соответствующий множитель не меняет знак при переходе через ту точку, в которой он обращается в ноль (например, `(x-3)^2>=0` при любых `x`, поэтому с обеих сторон от точки `x=3` выражение `(x-3)^2` положительно). Если показатель степени нечётный, то множитель меняет знак при переходе через ту точку, в которой он равен нулю. В итоге получаем следующую расстановку знаков:

Не забываем также включить в ответ все точки, отмеченные на прямой жирными кружочками.

`x in {3}uu[4;5]uu{6}`.

в) Переносим `1/3` влево и приводим дроби к общему знаменателю: `(3-x)/(3x)<0`. Расставляем знаки левой части на числовой прямой (для строгого неравенства все точки на прямой выколотые, так как нули числителя решениями неравенства не являются (рис. 5)).

 `x in (-oo; 0)uu(3;+oo)`. 

г) Находим нули числителя и знаменателя. Получаем:

1. `x^2-x-2=0 iff x=2` или `x=-1` (поэтому `x^2-x-2=(x-2)(x+1)`); 

2. `2x-3-x^2-x^2=0 iff O/` (т. к. дискриминант отрицателен). Следовательно, выражение `-x^2+2x-3` отрицательно при всех `x` (графиком функции `f(x)=-x^2+2x-3` является парабола с ветвями вниз, при этом она не пересекает ось абсцисс, так как у уравнения `f(x)=0` нет корней; значит, эта парабола целиком расположена ниже оси абсцисс, то есть  `f(x)<0` при всех `x`).    

3. `x^2+4x+5=0 iff O/`, поэтому `x^2+4x+5>0` при всех `x`.

4. `2x^2-x-6=0 iff x=2` или `x=-3/2`. Значит, 

`2x^2-x-6=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

Исходное неравенство равносильно следующему

`((x-2)(x+1)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(x-2)(2x+3))<=0`.

Отбросив множители `(2x-3-x^2)` и `(x^2+4x+5)`, знаки которых не зависят от `x` получаем

$$ {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(2x+3\right)}}\ge 0\iff \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+1}{2x+3}}\ge 0,\\ x\ne 2.\end{array}\right.$$

Решая первое неравенство системы методом интервалов, получаем

С учётом второго неравенства `x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.

`x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.

д) Прежде всего,  необходимо привести дроби к общему знаменателю. Чтобы сделать это, раскладываем знаменатели дробей на множители.

Заметим, что `x=-1` является корнем каждого из знаменателей в левой части неравенства. Выполняя деление на `(x+1)`,  получаем следующие разложения на множители:

`x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2`;

`x^3-7x^2+4x+12=(x+1)(x^2-8x+12)=(x+1)(x-2)(x-6)`;

`x^2-5x-6=(x+1)(x-6)`. 

Преобразуем исходное неравенство:

`3/((x+1)(x-2)^2)-10/((x+1)(x-2)(x-6))>1/((x+1)(x-6)) iff`

`iff (3(x-6)-10(x-2)-(x-2)^2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

`iff (-x^2-3x-2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

`iff (-(x+1)(x+2))/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

$$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2\left(x-6\right)}<0,\\x\neq-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x-6}<0,\\x\neq-1,\;x\neq2.\end{array}\right.$$

Решая первое неравенство системы методом интервалов, находим, что `x in (-2; 6)`. Исключая точки `x=-1` и `x=2`, получаем `x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.

`x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.

Заметим, что знаки следующих выражений совпадают:

`|a|-|b|` и `a^2-b^2`,

`a^(2n)-b^(2n)(n in NN)` и `a^2-b^2`,                                                                  (2)

`a^(2n+1)-b^(2n+1)(n in NN)` и `a-b`.

Это свойство иногда оказывается полезным при решении неравенств. Когда мы решаем дробно-рациональное неравенство (возможно, содержащее знак модуля), мы приводим его к виду «дробь `>0`» (или «дробь `>=0`»), после чего числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители. Так как мы сравниваем дробь с нулём, то нас интересуют только знаки каждого из множителей в числителе и знаменателе. Следовательно, если мы некоторые из них заменим на выражения тех же самых знаков по формулам (2), то получим равносильное неравенство.

Решите неравенство  

`((x^8-256)(|3x+4|-|2x-7|))/(243-x^5)>=0`.

Заменим множитель `x^8-256=x^8-2^8` на `x^2-x^2`; 

множитель `|3x+4|-|2x-7|` на `(3x+4)^2-(2x-7)^2`; 

множитель  `243-x^5=3^5-x^5` на `3-x`. Получаем

 `((x^2-2^2)((3x+4)^2-(2x-7)^2))/(3-x)>=0`.

Каждую из скобок в числителе раскладываем на множители по формуле разности квадратов.

`((x-2)(x+2)(3x+4+2x-7)(3x+4-2x+7))/(3-x)>=0 iff`

`iff ((x-2)(x+2)(5x-3)(x+11))/(x-3)<=0 iff x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.

`x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.