Через точку `M` - середину стороны `AB` - проведём прямую, параллельную основанию (рис. 24).

Докажем, что она разделит пополам обе диагонали и другую боковую сторону. В треугольнике `BAC` $$ MP\parallel BC$$  и `AM = MB`. По теореме Фалеса  `AP = PC`.

В треугольнике `ABD` точка `M` - середина стороны, $$ MQ\parallel AD$$. По теореме Фалеса `BQ = QD`. Наконец, в треугольнике `BDC` точка `Q` - середина `BD`, $$ QN\parallel BC$$. По теореме Фалеса `CN = ND`. 

Итак, середины боковых сторон (точки `M` и `N`) и середины диагоналей (точки `P` и `Q`) лежат на одной прямой.

Пусть `AD = a`, `BC = b`. Из Свойства 1 следует, что `MQ` - средняя линия треугольника  `ABD`, поэтому `MQ = a/2`; `MP` и `QN` - средние линии треугольников `BAC` и `BDC`, поэтому `MP = QN = b/2`. 

Отсюда следует, что `MN = (a + b)/2`  и  `PQ = (a - b)/2`. 

Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке `K`. Через точку `K` и точку  `O` пересечения диагоналей проведём прямую `KO` (рис. 25).

Докажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим `BM = x`, `MC = y`, `AN = u`, `ND = v`. 

Имеем:

$\left.\begin{array}{rcl}\Delta BKM \sim \Delta AKN \Rightarrow \frac {BM}{AN} = \frac {KM}{KN};\\\Delta MKC \sim \Delta NKD \Rightarrow \frac {MC}{ND} = \frac {KM}{KN}\end{array}\right\} \Rightarrow \frac {BM}{AN} = \frac {MC}{ND}$,   т. е.   `x/u = y/v`. 

Далее, `Delta BMO ~ Delta DNO => (BM)/(ND) = (MO)/(NO)`,   `Delta CMO ~ Delta ANO => (MC)/(AN) = (MO)/(NO)`,  поэтому `(BM)/(ND) = (MC)/(AN)`,   т. е. `x/v = y/u`.

Перемножим полученные равенства, получим `x^2/(uv) = y^2/(uv)`, откуда следует   `x = y`,   но тогда и  `u = v`.  

Проведём $$ CF\parallel BA$$ (рис. 26).

`ABCF` - параллелограмм, `CF = BA`, тогда треугольник `FCD` равнобедренный, `/_ 1 = /_ 2`. Но `/_ 2 = /_ 3`, следовательно,  `/_ 1 = /_ 3`. 

Если `BM_|_ AD` и `CN _|_ AD`, то `Delta BAM = /_ CDN` (рис. 27).

`BMCN` - прямоугольник, `MN = b`,  тогда `ND = (a - b)/2`,  а `AN = a - (a - b)/2 = (a + b)/2`. 

Пусть `K` - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции (рис. 28). Как следует из Свойства 2, середины оснований – точки `M` и `N` - и точка `K` лежат на одной прямой, а как следует из Свойства 4, углы `A` и `D` равны. Таким образом, треугольник `AKD` - равнобедренный, `KN` - его медиана, она является и высотой. Итак, `MN _|_ AD`.

Легко видеть, что при симметрии относительно прямой `MN` точки `A` и `B`  переходят в точка `D` и `C` и наоборот. `MN` - ось симметрии трапеции.

Рассмотрим треугольники `ABD` и `DCA` (рис. 29): `AB = DC` (трапеция равнобокая), `AD` - общая сторона, `/_ BAD = /_ ADC` (следует из Свойства 4). По первому признаку равенства эти треугольники равны и `BD = AC`. 

1. Треугольник `AOD` - прямоугольный, `ON` - медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, т. е.
                                                                      `ON = 1/2 AD`.

Аналогично устанавливается, что `OM = 1/2 BC`. По Свойству 3 точки `M`, `O` и `N` лежат на одной прямой. Таким образом,  `MN = OM + ON = 1/2 (AD + BC)`,  поэтому  `AD + BC = 2MN = 9`.

2. Проведём через точку `D` прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - точка её пересечения с прямой `BC`, Угол `BDK` прямой, это угол между диагоналями трапеции. Кроме того, `ACKD` по построению параллелограмм, `CK = AD`,  значит, `BK = BC + AD = 9`.  Треугольник `BKD` - прямоугольный, один из катетов (пусть `DK`) равен `6`. По теореме Пифагора находим: `BD = sqrt(BK^2 - DK^2) = 3 sqrt5`.

1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей трапеции `ABCD` (рис. 31) и  `AO:OC =BO:OD= 4:1`.  Треугольники `AOD`   и  `COB` подобны,  `AO:OC = AD:BC = 4`,   т.  е.  `AD = 4BC`.  Обозначим  `BC = x`,  тогда  `AD = 4x`.

2. Пусть `CK _|_ AD`; `CK` - высота трапеции, по условию `CK = 2`,  а как следует из Свойства 5,
                                                           `KD = 1/2 (AD - BC) = 3/2 x`.    

Из прямоугольного треугольника `CKD` имеем `CD = sqrt(4 + 9/4 x^2)`.  Выражаем периметр трапеции: `10 = (5x + 2 sqrt(4 + 9/4 x^2) )`.

Решаем уравнение `2 sqrt(4 + 9/4 x^2) = 10 - 5x`,  оно имеет единственный корень `x = 1`.

Итак,  `BC = 1`, `AD = 4`.