Соединения резисторов и источников в сложных цепях не всегда можно свести к совокупности последовательного и параллельного их соединений. Для расчётов сложных цепей удобно применять правила Кирхгофа.

Узлом электрической цепи будем называть точку, где сходятся не менее трёх проводников. Токи, подходящие к узлу, будем считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными. Узел – это не обкладки конденсатора, где может происходить существенное накопление заряда. Отсюда следует первое правило Кирхгофа: 

Участок цепи между двумя узлами называется ветвью. Возьмём в сложной цепи произвольный замкнутый контур, состоящий из отдельных ветвей. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке или против. ЭДС в каждой ветви контура будем считать положительной, если направление её действия совпадает с выбранным направлением обхода контура, а в противном случае – отрицательной. Падение напряжения (произведение тока на сопротивление) в любой ветви контура будем считать положительным, если направление тока в этой ветви совпадает с направлением обхода контура, в противном случае – отрицательным. Записав для каждой ветви контура уравнение закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, и сложив все уравнения, получим второе правило Кирхгофа:

Оба правила Кирхгофа справедливы не только для постоянных во времени значений всех величин, входящих в соответствующие уравнения, но и для их мгновенных значений.

При составлении уравнений по правилам Кирхгофа нужно придерживаться следующих рекомендаций. Если в цепи содержится $n$ узлов, то по первому правилу Кирхгофа можно составить только $n–1$ независимых уравнений. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо следить, чтобы в каждом новом контуре была хотя бы одна ранее не использованная ветвь. Отступление от этих рекомендаций приводит к появлению уравнений, являющихся следствием системы ранее составленных уравнений. В процессе решения такой «переполненной» системы может возникнуть тождество $0=0$, что приводит в замешательство решающего из-за «исчезновения» неизвестных системы.

Задача 18.1

Рис. 18.1

В схеме на рис. 18.1 ${\mathcal E}_1=4,2$ B, ${\mathcal E}_2=3,8$ B, $R_1=R_2=10$ Ом, $R_3=45$ Ом. Найти силу и направление тока во всех участках цепи. Считать, что внутренние сопротивления источников вошли в $R_1$, и $R_2$.

Решение

Зададим направления токов произвольно, например так, как показано на рис. 18.1.
Для нахождения трёх неизвестных токов надо составить три независимых уравнения. В схеме $n=2$ узла. По первому правилу Кирхгофа составляем $n-1=1$ уравнение. Для узла `C`:

$I_1-I_2+I_3=0$.

Недостающие два уравнения составляем по второму правилу Кирхгофа для контуров `ABCA` и `ABCDA`: 

$I_1R_1-I_3R_3={\mathcal E}_1$, $I_1R_1+I_2R_2={\mathcal E}_1-{\mathcal E}_2$.

Решение системы полученных трёх уравнений в общем виде трудоёмко и даёт громоздкие выражения для токов. Систему удобно решать, подставив в неё значения ЭДС и сопротивлений: 

$I_1-I_2+I_3=0$, $10I_1-45I_2=4,2$, $10I_1+10I_2=0,4$.

Решая систему последний трёх уравнений, находим:

$I_1=0,06$ A, $I_2=-0,02$ A, $I_3=-0,08$ A.

Отрицательные значения токов $I_2$ и $I_3$ говорят о том, что истинные направления этих токов противоположны указанным на рис. 18.1.