$$ Q=∆U+A$$.                                                                           (15)

$$ ∆U=\nu {c}_{V}∆T$$.                                                               (16)

Для доказательства проведём с газом процесс при постоянном объёме, изменив температуру от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$ $$ (∆T={T}_{2}-{T}_{1})$$. Тогда количество теплоты $$ Q=\nu {c}_{V}·∆T$$, согласно определению теплоёмкости, а работа газа $$ A=0$$, т. к. объём `V="const"`.  По первому закону термодинамики $$ Q=∆U+A$$, и поэтому $$ \nu {c}_{V}∆T=∆U$$. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то в любом другом процессе, когда температура меняется от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$, изменение внутренней энергии находится по формуле, полученной в процессе с `V="const"`.

$$ U=\nu {c}_{V}T$$                                                                                 (17)

$$ {c}_{V}={\displaystyle \frac{3}{2}}R$$                                                                              (18)

$$ {c}_{p}={c}_{V}+R$$,                                                                                       (19)

Для вывода проведём изобарический процесс с  молями идеального газа, переведя газ из состояния с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{1}$$, $$ {T}_{1}$$ в состояние с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{2}$$, $$ {T}_{2}$$.  По первому закону термодинамики $$ \nu {c}_{p}∆T=\nu {c}_{V}∆T+p∆V$$. Запишем уравнения состояния газа $$ p{V}_{1}=\nu R{T}_{1}$$  и $$ p{V}_{2}=\nu R{T}_{2}$$. Вычтя из одного уравнения другое и учтя, что $$ {V}_{2}-{V}_{1}=∆V$$ и $$ {T}_{2}-{T}_{1}=∆T$$, получим $$ p∆V=\nu R∆T$$. Таким образом, $$ \nu {c}_{p}∆T=\nu {c}_{V}∆T+\nu R∆T$$. Отсюда $$ {c}_{p}={c}_{V}+R$$.

Теплоизолированный сосуд разделён на две части перегородкой. В одной части находится $$ {\nu }_{1}$$ молей молекулярного кислорода ($$ {\mathrm{O}}_{2}$$) при температуре $$ {T}_{1}$$, а в другом – $$ {\nu }_{2}$$ молей азота ($$ {N}_{2}$$) при температуре $$ {T}_{2}$$. Какая температура установится в смеси газов после того, как в перегородке появится отверстие?

Рассмотрим систему из двух газов. Оба газа двухатомные. У них одинаковая молярная теплоёмкость при постоянном объёме $$ {c}_{V}$$. Система из двух газов не получает тепла от других тел и работы над телами, не входящими в систему, не совершает. Поэтому внутренняя энергия системы сохраняется:

$$ {\nu }_{1}{c}_{V}{T}_{1}+{\nu }_{2}{c}_{V}{T}_{2}={\nu }_{1}{c}_{v}T+{\nu }_{2}{c}_{V}T$$

Отсюда температура смеси  

$$ T={\displaystyle \frac{{\nu }_{1}{T}_{1}+{\nu }_{2}{T}_{2}}{{\nu }_{1}+{\nu }_{2}}}$$.

Идеальный газ массой $$ m=1 \mathrm{кг}$$ находится под давлением $$ P=\mathrm{1,5}·{10}^{5} \mathrm{Па}$$. Газ нагрели, давая ему расширяться. Какова удельная теплоёмкость газа в этом процессе, если его температура повысилась на $$ ∆T= 2 \mathrm{К}$$, а объём увеличился на $$ ∆V=\mathrm{0,002} {\mathrm{м}}^{3}$$? Удельная теплоёмкость этого газа при постоянном объёме $$ {c}_{\mathrm{уд}V}=700 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$. Предполагается, что изменения параметров газа в результате проведения процесса малы.

Удельная  теплоёмкость в данном  процессе

$$ {c}_{\mathrm{уд}}={\displaystyle \frac{∆Q}{m∆T}}$$

По первому закону термодинамики $$ ∆Q=m{c}_{удV}∆T+p∆V$$. Итак,

$$ {c}_{\mathrm{уд}}={c}_{\mathrm{уд}V}+{\displaystyle \frac{p∆V}{m∆T}}=850 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$.

В цилиндре под поршнем находится некоторая масса воздуха. На его нагревание при постоянном давлении затрачено количество теплоты $$ Q=10 \mathrm{кДж}$$. Найти работу, совершённую при этом газом. Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении $$ {c}_{\mathrm{уд}P}={10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$ю Молярная масса воздуха $$ \mu =29 \mathrm{г}/\mathrm{моль}$$.

1 способ. Пусть газ перевели из состояния с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{1}$$, $$ {T}_{1}$$ в состояние с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{2}$$, $$ {T}_{2}$$. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для обоих состояний и вычтем из одного уравнения другое. Учитывая, что $$ {V}_{2}-{V}_{1}=∆V$$, $$ {T}_{2}-{T}_{1}=∆T$$, имеем $$ p∆V={\displaystyle \frac{m}{\mu }}R∆T$$. Но $$ p∆V=A$$ – работа газа. Поэтому $$ A={\displaystyle \frac{m}{\mu }}R∆T$$. При изобарическом процессе $$ Q=m{c}_{\mathrm{уд}p}∆T$$.  Окончательно,

$$ A={\displaystyle \frac{RQ}{\mu {c}_{\mathrm{уд}p}}}\approx \mathrm{2,74}·{10}^{3 } \mathrm{Дж}=\mathrm{2,74} \mathrm{кДж}$$

2 способ. Согласно уравнению Р. Майера удельные теплоёмкости при постоянном давлениии $$ {c}_{\mathrm{уд}p}$$ и при постоянном объёме $$ {c}_{\mathrm{уд}V}$$ связаны соотношением $$ {c}_{\mathrm{уд}V}={c}_{\mathrm{уд}p}-{\displaystyle \frac{R}{\mu }}$$.  По первому закону термодинамики $$ Q=m{c}_{\mathrm{уд}V}∆T+A$$. Подставляя в последнее равенство $$ m={\displaystyle \frac{Q}{{c}_{\mathrm{уд}}∆T}}$$ и выражение для  $$ {c}_{\mathrm{уд}V}$$ находим `A`.