Решить неравенство `sinx< -1/2`.

На  тригонометрическом  круге (рис. 11) отмечаем точки, в которых `sinx=-1/2` (точки `A` и `B`). Неравенству удовлетворяет дуга $A\overset{\underset\smile{}}mB$. Она записывается так `(pi+pi/6;2pi-pi/6)` или `((7pi)/6; (11pi)/6)`. Учитывая период `2pi` синуса, получаем серию дуг    

`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.

`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.

Важно обратить внимание, чтобы при записи ответа левый конец интервала был меньше правого, и при увеличении угла в интервале пробегалась нужная дуга.

Решить неравенство `"tg"x<=2`.

Нарисуем тригонометрический круг и ось тангенса.

Отметим на правой единичной полуокружности (период тангенса равен `pi`, можно рассматривать полуокружность, а не всю окружность) точки, соответствующие углам, у которых тангенс меньше или равен `2` (рис.12). Это будет дуга $A\overset{\underset\smile{}}mB$ (точка `B` включена, а `A` – нет). Запишем её `(-pi/2; "arctg"2]`. Теперь учтём период тангенса. Получаем

`(-pi/2+pin; "arctg"2+pin],ninZ`.

Решить неравенство $\sqrt[4]{\dfrac{7-\cos4x}2}>-2\cos x.$

По аналогии с алгебраическими неравенствами с корнем квадратным мы должны решить две системы и объединить их решения.

1) $\left\{\begin{array}{l}\cos x>0,\\\mathrm{ОДЗ}\end{array}\right.$                              (6)

и

2) $\left\{\begin{array}{l}\cos x\leq0,\\\dfrac{7-\cos4x}2>\left(-2\cos x\right)^4\end{array}\right.$                                                              (7)

В данном случае ОДЗ: `7-cos4x>=0` выполняется всегда, так что решение первой системы `cosx>0` (пока не будем находить `x`). Решаем вторую систему. Преобразуем неравенство (7):

 `7-cos4x>32cos^4x`;

`7-(2cos^2  2x-1)>32cos^4x`, 

`8-2cos^2  2x>32cos^4x`, 

`4-(2cos^2x-1)^2>16cos^4x`, 

`4-4cos^4x+4cos^2x-1>16cos^4x`, 

`20cos^4x-4cos^2x-3<0`.

Обозначим `cos^2x=t`. Получим алгебраическое неравенство: `20t^2-4t-3<0`.

Откуда `-3/10<t<1/2`. Так как `t>=0,` то `t<1/2`. Далее  `cos^2x<1/2 iff |cosx|<1/(sqrt2)`.

Учитывая (6):  `cosx<=0`, получаем `-1/(sqrt2)<cosx<=0`.

Это решение системы 2). Объединяя решение 1) и 2) систем, получаем `-1/(sqrt2)<cosx`.

Решая это простейшее неравенство на тригонометрическом круге (рис. 13), имеем дугу $A\overset{\underset\smile{}}mB$.

`(-(3pi)/4+2pin;(3pi)/4+2pin),ninZ`.