Решить систему 

$\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=1,\\\cos2x-\cos2y=1.\end{array}\right.$

Преобразуем второе уравнение системы:

`(1-2sin^2x)-(2cos^2y-1)=1`, т. е. `2sin^2x+2cos^2y=1`.

Обозначим `u=sinx`, `v=cosy`. Система перепишется:

$\left\{\begin{array}{l}u+v=1,\\u^2+v^2=\dfrac12.\end{array}\right.$

Нетрудно проверить, что решением этой системы является пара $\left\{\begin{array}{l}u=\frac12,\\v=\frac12.\end{array}\right.$

Переходя к (`x`; `y`), имеем:  $\left\{\begin{array}{l}\sin x=\dfrac12,\\\cos y=\dfrac12.\end{array}\right.$

Отсюда

 $\left\{\begin{array}{l}x=\left(-1\right)^n\cdot\dfrac\pi6+\pi n,\\y=\pm\dfrac\pi3+2\pi m,\end{array}\right.n,m\in Z.$

$\left\{\begin{array}{l}x=\left(-1\right)^n\cdot\dfrac\pi6+\pi n,\\y=\pm\dfrac\pi3+2\pi m,\end{array}\right.n,m\in Z.$

Заметим, что ответ можно записать и в такой форме:       

`((-1)^n pi/6+pin; +-pi/3+2pim),n,m inZ`.

Решить систему 

$\left\{\begin{array}{l}\cos x\cos y=\dfrac34,\\\sin x\sin y=-\dfrac14.\end{array}\right.$

Складывая первое и второе уравнения и вычитая из первого уравнения второе, получим систему, эквивалентную первоначальной:

$\left\{\begin{array}{l}\cos\left(x-y\right)=\dfrac12,\\\cos\left(x+y\right)=1.\end{array}\right.$

Это система из простейших тригонометрических уравнений, решаемых независимо друг от друга.

$\left\{\begin{array}{l}x-y=\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\\x+y=2\pi m,n,m\in Z.\end{array}\right.$

Складывая уравнения последней системы и деля на `2`, а так же вычитая из второго уравнения последней системы первое и деля на `2`, получаем ответ. 

$\left\{\begin{array}{l}x=\pm\dfrac\pi6+\pi n+\pi m,\\y=\pi m\mp\dfrac\pi6-\pi n,\end{array}\right.m,n\in Z.$

(в формулах одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки).

Решить систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}\sin y=5\sin x,\\3\cos x+\cos y=2.\end{array}\right.$

Перепишем систему

$\left\{\begin{array}{l}\sin y=5\sin x,\\\cos y=2-3\cos x.\end{array}\right.$

Возведём оба уравнения последней системы в квадрат и сложим их. Мы получим

`1=25sin^2x+4-12cosx+9cos^2x` или `1=25(1-cos^2x)+4-12cosx+9cos^2x`.

 Далее имеем: `16cos^2x+12cosx-28=0` или `4cos^2x+3cosx-7=0`.

Решением последнего уравнения является `cosx=1` или `x=2pin,ninZ`.

Подставляя `cosx=1`  во второе уравнение первоначальной системы, находим, что

`cosy=-1` или `y=pi+2pi m,m in Z`.

Проверяем, что найденные `(x;y)` удовлетворяют и первому уравнению исходной системы (проверку делать нужно, т. к. исключая `y` мы переходили к следствию системы и могли получить лишние корни). Итак,

$\left\{\begin{array}{l}x=2\pi n,n\in Z,\\y=\pi+2\pi m,m\in Z.\end{array}\right.$