Решить уравнение

`3sin2x-3cosx+2sinx-1=0`.

Используя формулу `sin2x=2sinxcosx`, преобразуем данное уравнение

`6sinxcosx-3cosx+2sinx-1=0`, 

`3cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)=0`,

`(2sinx-1)(3cosx+1)=0`.

Уравнение распадается на два:

1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.

2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.

Решить уравнение 

`sin2x+cos(5x-pi/6)=0`.

Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.

Уравнение распадётся на два:

1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;

`3x+pi/3=pi+2pin,ninZ`;  `x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`.

2) `cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`;  `(7x-(2pi)/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;

`7x-(2pi)/3=pi+2pin,ninZ`;  `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.

Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.

По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,  

поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.

 `sinx(4sin^2x-3)=0`$$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=0, x=\pi n,n\in Z.\\ \mathrm{sin}x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$

Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).    

`x=pin,ninz`;  `x=+-pi/3+pin,n inZ`. 

Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.

Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.

Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.

`x=+-pi/4+pin,ninZ`.                                                               (1)

Это уравнение можно решить и пользуясь  формулой  `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду:  `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или 

 `x=pi/4+(pin)/2, ninZ`.                                                                    (2)

Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.

`x=pi/4+(pin)/2,ninZ`.

Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.

Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на  `cos^2x`.  Получим уравнение  `5"tg"^2x-4"tg"x-1=0`. Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`,  или  `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.

`x=pi/4+pin,ninZ`; `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.

Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`.  Получаем уравнение `5"tg"^2x-3"tg"x-2=0`.

Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-2/5`. И значит,  `x=pi/4+pin,ninZ`, или  `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`

 `x=pi/4+pin,ninZ`, `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`

Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.

Перепишем это уравнение так:

`sin^3x+13cos^3x-cosx(cos^2x+sin^2x)=0` или

`sin^3x+12cos^3x-cosxsin^2x=0`.

Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `"tg"x`

`"tg"^3x-"tg"^2x+12=0`.

Делаем замену: `t="tg"x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень  `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители

`(t+2)(t^2-3t+6)=0`.

Уравнение `t^2-3t+6=0`  не имеет действительных корней, т. к. `D<0`. Итак,   `"tg"x=-2` или `x=-"arctg"2+pin,ninZ`.

 `x=-"arctg"2+pin,ninZ`.

Решить уравнение `4sinx-3cosx=5`.

1-ый способ. По формуле дополнительного угла преобразуем уравнение: 

`sqrt(16+9)sin(x+varphi)=5`,  `sin(x+varphi)=1`, `cosvarphi=4/5`,  `sinvarphi=-3/5`.

Можно взять `varphi=-arcsin  3/5`.  Решением уравнения будет: `x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.

`x=arcsin  3/5+pi/2+2pin,ninZ`.

2-й способ. Воспользуемся формулами: 

`sinx=2sin  x/2  cos  x/2`,  `cosx=cos^2  x/2 -sin^2  x/2`,  `1=sin^2  x/2+cos^2  x/2`. 

Тогда уравнение `4sinx-3cosx=5`  запишется в виде

`8sin  x/2 cos  x/2-3(cos^2  x/2-sin^2  x/2)=5(sin^2  x/2+cos^2  x/2)`  или

`2sinx^2  x/2-8sin  x/2cos  x/2+8cos^2  x/2=0`.

Это однородное уравнение второго порядка, деля которое на `2cos^2  x/2`, получим уравнение  `"tg"^2 x/2-4"tg"  x/2+4=0` или `("tg"  x/2-2)^2=0`.  Итак,  `"tg" x/2=2`, значит  `x/2="arctg"2+pin,ninZ`, или `x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.

`x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.

Отметим, что формы ответа при решении способами 1 и 2 различны, хотя, конечно, это одно и то же множество точек.

Решить уравнение `sin2x-2(sinx+cosx)-1=0`.

Сделаем замену:  `t=sinx+cosx`.  Тогда

`t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+sin2x`.

 Откуда  `sin2x=t^2-1`. Наше уравнение преобразуется в такое:

`t^2-2t-2=0`. `t_1=1+sqrt3`, `t_2=1-sqrt3`.

Так как `t=sinx+cosx=sqrt2sin(x+pi/4)<=sqrt2`,  то `t_1=1+sqrt3>sqrt2` не даёт решений. Число  `|1-sqrt3|<=sqrt2` и уравнение `sin(x+pi/4)=(1-sqrt3)/(sqrt2)`  имеет решения:

`x+pi/4=(-1)^n arcsin  (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.

`x=-pi/4+(-1)^n arcsin  (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения `f(x)=8sin^2x+3sin2x-11`.

Преобразуем выражение, используя формулу  `2sinx^2x=1-cos2x`. Получаем:

`f(x)=(4-4cos2x)+3sin2x-11=3sin2x-4cos2x-7=`

`=5sin(2x+varphi)-7`.   

Здесь можно взять  `varphi=-arcsin  4/5`. Так как `-1<=sin(2x+varphi)<=1`, то `-5<=sin(2x+varphi)<=5` и `-12<=5sin(2x+varphi)-7<= -2`. При этом значение `f(x)=-12` принимается  при `2x+varphi=-pi/2+2pin,ninZ`,  а  значение  `f(x)=-2` принимается при  `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.

`max_Rf(x)=-2`,  `min_R f(x)=-12`.

Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.

ОДЗ    `sinx!=-sqrt3/2`.

Не будем решать это неравенство, а изобразим  на тригонометрическом  круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.

Решаем уравнение  `cos2x+cosx+1=0`.

Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`,          `2cos^2x+cosx=0`,

`cosx(2cosx+1)=0 iff`$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0, x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n,n\in Z,\\ \mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$

Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.

Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом   круге (рис. 3в).  Мы   видим,  что  точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`,  удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,

`x=pi/2+pin,ninZ`,  `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`.

Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.

ОДЗ $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}3x\ne 0\\ \mathrm{sin}x\ne 0\end{array}\right.\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi m}{3}},m\in Z.$$

Умножим уравнение на  `sinx*sin3x`.  Получим:

`sin^2x+sin3x*sin5x=8sinxcosx*sin3x*cos3x`.

 Преобразуем это уравнение:

`(1-cos2x)/2+1/2(cos2x-cos8x)=2sin2x*sin6x`.

 Ещё раз воспользуемся формулой

`sinalpha*sinbeta=1/2(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))`

в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим             

`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)`  или  `1+cos8x-2cos4x=0`.

Далее: `1+(2cos^2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}4x=1.\\ \mathrm{cos}4x=0.\end{array}\right.$$

Если  `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.

1. Изображаем точки

`x=(pin)/2,ninZ`,                                                           (3)

на тригонометрическом круге  (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).

2. Изображаем точки

`x=(pim)/3,m inZ`                                                         (4)

которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).

Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки       

`x=pi/2+pin,ninZ`.

С решениями уравнения

`cos4x=0`, `4x=pi/2+pin,ninZ`,

или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек - решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` –  далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m`  и  `n` такие, что

`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`

`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.

Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.

Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m`  и  `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`.  Видим, что  `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т.  е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.

`x=pi/2+pin,ninZ`;  `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`.

Иногда отбор решений предлагается сделать в условии задачи.

а) Решить уравнение `2/("tg"^2x)-1/("tg"x)-3=0`.

б) Указать корни, принадлежащие отрезку `[-(3pi)/2;  -pi/2]`.

а) Сделаем замену `t=1/("tg"x)`. Получим уравнение `2t^2-t-3=0`.  Его решение `t_1=-1` и `t_2=3/2`.

1) `"tg"x=-1`.  Следовательно, `x=-pi/4+pin,ninZ`.

2)  `"tg"x=2/3`. Тогда `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.

б) Сделаем отбор корней, принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.

1) Решаем неравенство `-(3pi)/2<=-pi/4+pin<=-pi/2`. Оно равносильно неравенству `-5/4<=n<=-1/4`. Т. к. `ninZ`, то последнему неравенству удовлетворяет только `n=-1`. Итак, из серии решений `x=-pi/4+pin,ninZ`, только корень `x=-(5pi)/4 in [-(3pi)/2; -pi/2]`.

2) Аналогично решаем неравенство

`-(3pi)/2<="arctg"2/3+pin<=-pi/2`.                                                              (5)

Т. к. `ninZ`,  то в силу правого неравенства `n<0`. Число `n=-1` подходит, т. к. неравенство (5) в этом случае преобразуется в неравенство `-pi/2<="arctg"2/3<=pi/2`,  что верно, `n=-2`  не удовлетворяет  (5), т. к. в этом случае получим `pi/2<="arctg"2/3`, что неверно. Аналогично не подходит `n< -2`. Итак, из серии решений `x="arctg"2/3+pin,ninZ`, только корень `("arctg"2/3-pi)in[-(3pi)/2; -pi/2]`.

а)   `x=-pi/4+pin,ninZ`;  `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.

б)   `x=-(5pi)/4` и `x="arctg"2/3-pi`.

Найти наименьший корень уравнения `"ctg"6x-"tg"5x=1/(cos5x)`,

принадлежащий отрезку `[(8pi)/17; (40pi)/17]`.

Преобразуем данное уравнение

`(cos6x)/(sin6x)-(sin5x)/(cos5x)=1/(cos5x)`, 

`(cos6x*cos5x-sin6x*sin5x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`,

`(cos11x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`.

Последнее уравнение равносильно `cos11x=sin6x` при условии  `sin6x*cos5x!=0`.

Решаем  уравнение  `cos11x-sin6x=0`. Преобразуем его:

`cos11x-cos(6x-pi/2)=0`   или  `-2sin((17x)/2-pi/4)sin((5x)/2+pi/4)=0`.

1) Если `sin((5x)/2+pi/4)=0` то `(5x)/2+pi/4=pin,ninZ`, откуда `5x=-pi/2+2pin,ninZ`.

Эти числа не являются корнями исходного уравнения, т. к. нарушается условие `cos5x!=0`.

2) Если `sin((17x)/2-pi/4)=0`, то `x=(pi(1+4n))/(34),ninZ`. Находим, при каких `ninZ`, эти числа лежат на отрезке  `[(8pi)/17;(40pi)/17]`. Решаем неравенства

`(8pi)/(17)<=(pi(1+4n))/34<=(40pi)/17 iff 15/4<=n<=79/4`.

Значит, `4<=n<=19,ninZ`. Итак, на отрезок `[(8pi)/17;(40pi)/17]` попадают числа `(17pi)/34, 21/34  pi, 25/34  pi,...`. Первое из них не удовлетворяет условию `cos5x!=0` `("т". "к". (17pi)/34=pi/2)` и, следовательно, не является решением уравнения. Число `(21pi)/34` удовлетворяет условию `sin6x*cos5x!=0`; значит, именно оно является минимальным корнем на данном отрезке.

`x=(21pi)/34`.

Решить уравнение `sqrt(cos2x-5sinx)=-2cosx`.

Это уравнение равносильно системе

$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{cos}2x-5\mathrm{sin}x=4{\mathrm{cos}}^{2}x.\\ \mathrm{cos}x\le 0.\end{array}\right.$$

Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть уравнения равна корню квадратному, а он неотрицателен по определению. (Отметим, что в системе мы не пишем неравенство `cos2x-5sinx>=0`, т. е. подкоренное выражение неотрицательно, т. к. оно равно квадрату правой части). Решаем уравнение: `cos2x-5sinx=4cos^2x`. Преобразуем его:

`(1-2sin^2x)-5sinx=4(1-sin^2x)` или `2sin^2x-5sinx-3=0`.

Заменяя `sinx=t`, получим квадратное уравнение: `2t^2-5t-3=0`.

Откуда `t_1=3`, `t_2=-1/2`.  Т. к.  `|sinx|<=1`, то `t_1=3` не даёт решений.

Если же `sinx=-1/2`, то на  тригонометрическом  круге  (рис. 5) имеем две точки. Но правая точка не подходит, т. к. должно быть  `cosx<=0`. Итак,

`x=(7pi)/6+2pin,ninZ`.

Решить уравнение `sqrt(5-cos2x)=cosx-3sinx`.

Это уравнение эквивалентно системе

$$ \left\{\begin{array}{l}5-\mathrm{cos}2x={\left(\mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\right)}^{2},\\ \mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\ge 0.\end{array}\right.$$

Решаем уравнение. Преобразуем его к однородному.

`5(sin^2x+cos^2x)-(cos^2x-sin^2x)=cos^2x-6sinxcosx+9sin^2x`

 или `3sin^2x-6sinxcosx-3cos^2x=0`.

Далее `2sinxcosx+(cos^2x-sin^2x)=0`  или  `sin2x+cos2x=0`.

Это однородное уравнение 1-го порядка. Оно эквивалентно уравнению   `"tg"2x=-1`.

Отсюда `2x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x=-pi/8+(pin)/2,ninZ`.

Изобразим решения на тригонометрическом круге (рис. 6). Это `4` точки (`n=0,1,2,3` - далее они повторяются).

Для этих точек надо проверить неравенство `cosx-3sinx>=0`. Ясно, что точка `x_1` удовлетворяет этому неравенству, т. к. `cosx_1>0` и `sinx_1<0`. Для точки `x_3`, диаметрально противоположной точке `x_1`, `sinx` и `cosx` меняют знак, меняет знак и выражение `(cosx-3sinx)`, и, следовательно, для `x_3` неравенство не выполняется. Точка `x_2` не удовлетворяет неравенству, т. к. `sinx_2>0`, `cosx_2>0`, но `sinx_2>cosx_2` в виду того, что `pi/4<x_2<pi/2`, так что выражение `cosx_2-3sinx_2<0`. Точка `x_4` диаметрально противоположна `x_2`. Следовательно, 

`cosx_4-3sinx_4=-(cosx_2-3sinx_2)>0`,

и, значит, это решение. Учитывая, что решения имеют период `2pi`, получаем

`x=-pi/8+2pin,ninZ`;  `x=11/8pi+2pin,ninZ`.

Решить уравнение `sin3x+|sinx|=sin2x`.

Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.

1) $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x\ge 0,\\ \mathrm{sin}3x+\mathrm{sin}x=\mathrm{sin}2x.\end{array}\right.$$

2) $\left\{\begin{array}{l}\sin x<0,\\\sin3x-\sin x=\sin2x.\end{array}\right.$

Решаем первую систему. Уравнение  `sin3x+sinx=sin2x` преобразуем:

`2sin2xcosx=sin2x` или `sin2x(2cosx-1)=0`. 

Значит,

$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}x=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$$

Изображаем решения уравнения `sin2x=0` на тригонометрическом круге: `x=(pin)/2,ninZ`, (рис. 7). В силу неравенства `sinx>=0` не подходит нижняя точка, т. е. в решения системы входят

`x=pin,ninZ`, и `x=pi/2+2pin,ninZ`.   

Аналогично, изображаем на тригонометрическом круге (рис. 8)  решения уравнения `cosx=1/2`. Нижняя точка не удовлетворяет неравенству `sinx>=0`. Значит, остаются в качестве решений системы

`x=pi/3+2pin,ninZ`.

Итак, решениями первой системы являются

`x=pin`;  `x=pi/2+2pin`;  `x=pi/3+2pin,ninZ`.

Решаем вторую систему. Уравнение `sin3x-sinx=sin2x` преобразуем:

`2cos2x*sinx=2sinxcosx`.

Т. к. в этой системе `sinx!=0`, то можно сократить уравнение на `2sinx`. Оно запишется:

`cos2x=cosx` или `2cos^2x-cosx-1=0`.

Отсюда `cosx=1` или `cosx=-1/2`. На тригонометрическом круге этим уравнениям удовлетворяют соответственно точки (рис. 9 и рис. 10). Неравенству `sinx<0` удовлетворяет только одна из этих трёх точек, находящаяся в нижней полуплоскости, а именно       

`x=pi/3+pi+2pin,ninZ`.

В ответе две серии решений

  `x=pi/3+2pin,ninZ`  и  `x=pi/3+pi+2pin,ninZ`,   

соответствующие двум диаметрально противоположным точкам тригонометрического круга, можно задать одной формулой:

`x=pi/3+pin,ninZ` (но это не обязательно).

`x=pin`;  `x=pi/2+2pin`;  `x=pi/3+pin,ninZ`.