Продолжения медиан $$ AE$$ и $$ CF$$ треугольника $$ ABC$$ (рис. 32) пересекают описанную около него окружность в точках $$ D$$ и $$ N$$ соответственно так, что $$ AD:AE=2:1$$ и $$ CN:CF=4:3.$$ Найти углы треугольника.

Делаем предварительный рисунок (кстати, его удобнее всего рисовать, начиная с окружности), отмечаем, что $BE=EC,\;ED=AE$ (это следует из условия $$ AD=2AE$$). Две хорды $$ BC$$ и $$ AD,$$ пересекаясь, делятся пополам. По свойству  пересекающихся хорд $$ AE·DE=BE·CE$$ откуда следует, что $$ AE=BE=DE=CE$$. Точка $$ E$$ одинаково удалена от точек `A`, `B`, `D` и `C` окружности, значит  точка  $$ E$$ - центр окружности. Отсюда  следует, что $$ BC$$ и $$ AD$$ - диаметры, и  $\angle A$ - прямой (опирается на диаметр). Поскольку далее должна рассматриваться медиана $$ AE,$$  а нами установлено, что $$ AE=DE=BE=CE,$$ то удобно ввести обозначение $$ AE=R.$$

Рис. 33

Обсудим следующие условия задачи: $$ FN={\displaystyle \frac{1}{3}}FC.$$ Обозначим $$ FN=x,$$ тогда $$ FC=3x.$$ Наконец обратим внимание, что в задаче есть две медианы треугольника, значит надо воспользоваться свойством медиан: пересекаясь, они делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Итак, если обозначить через $$ O$$ точку пересечения медиан, то

$$ AO={\displaystyle \frac{2}{3}}R, CO=2x, OF=x.$$

Выполняем хороший большой рисунок с учётом всех установленных фактов. Посмотрим внимательно на рис. 33 и подумаем, может быть, еще что-то можно установить? Да! Хорда $$ CN,$$ пересекая диаметр $$ AD,$$ делится пополам, значит  $CN\perp AD.$ Отразим и этот последний факт.

Теперь решение.

1. По свойству пересекающихся хорд:

$$ AO·OD=CO·ON$$, т. е. $$ {\displaystyle \frac{2}{3}}R\frac{4}{3}R=4{x}^{2}$$ откуда $$ {x}^{2}=\frac{2}{9}{R}^{2}$$.

2. Из прямоугольного треугольника $$ COA$$ по теореме Пифагора:

$$ AC=\sqrt{{\left(2x\right)}^{2}+{\left(\frac{2}{3}R\right)}^{2}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}R$$.

3. Из прямоугольного треугольника $$ ABC$$ находим:

$$ \mathrm{sin}B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$.

Длина стороны ромба $$ ABCD$$ равна `4`. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $$ ABD$$ и $$ ACD,$$ равно `3`. Найти радиусы окружностей.

Строим первый пробный рисунок (рис. 34) и начинаем рассуждать.

Поскольку в условии задачи задано расстояние между центрами, то необходимо установить их положение. Будем помнить, что четырёхугольник $$ ABCD$$ - ромб, характеризующее его свойство – диагонали, пересекаясь, делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Центр окружности, описанной около треугольника, есть точка пересечения серединных   перпендикуляров  к  его  сторонам. Треугольники $$ ABD$$ и $$ ACD$$ имеют общую сторону $$ AD$$, следовательно, оба центра  лежат на серединном перпендикуляре отрезка $$ AD$$. 

Кроме того, центр  $$ {O}_{1}$$ окружности, описанной около треугольника $$ ABD,$$ лежит на прямой $$ AC$$ (это серединный перпендикуляр отрезка $$ BD$$), а центр  $$ {O}_{2}$$ окружности,  описанной около треугольника $$ ACD,$$ лежит на прямой $$ BD$$ (это серединный перпендикуляр отрезка $$ AC$$). Итак, центры окружностей – это точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка $$ AD$$ с прямыми $$ AC$$ и $$ BD.$$

Рис. 34	Рис. 35

Вот теперь строим новый рисунок, на который наносим также числовые данные задачи. Обратим внимание, что окружности рисовать уже нет необходимости.

Обозначим $$ A{O}_{1}={R}_{1}$$ и $$ D{O}_{2}={R}_{2}$$ и, поскольку имеем несколько подобных треугольников, вводим ещё угол $$ \angle MA{O}_{1}=\alpha .$$ Записываем вполне очевидные выводы:

$$ 1. \overline{)\begin{array}{l}∆A{O}_{1}M, \angle M=90°,\\ \angle MA{O}_{1}=\alpha \end{array}}\Rightarrow \begin{array}{l}2={R}_{1}\mathrm{cos}\alpha ,\\ {O}_{1}M={R}_{1}\mathrm{sin}\alpha .\end{array}$$ 

$$ 2.\overline{)\begin{array}{l}△D{O}_{2}M: \angle M=90°,\\ \angle M{O}_{2}D=\alpha \end{array}} \Rightarrow \begin{array}{l}2={R}_{2}\mathrm{sin}\alpha ,\\ {O}_{2}M={R}_{2}\mathrm{cos}\alpha .\end{array}$$

$$ 3.\overline{)\begin{array}{l}\mathrm{По} \mathrm{условию} {O}_{1}{O}_{2}=3,\\ \mathrm{т}. \mathrm{е}. {O}_{2}M-{O}_{1}M=3\end{array}} \Rightarrow {R}_{2}\mathrm{cos}\alpha -{R}_{1}\mathrm{sin}\alpha =3.$$

Итак, получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

$$ {R}_{1}, {R}_{2}, \alpha : \left\{\begin{array}{l}2={R}_{1}\mathrm{cos}\alpha .\\ 2={R}_{2}\mathrm{sin}\alpha ,\\ 3={R}_{2}\mathrm{cos}\alpha -{R}_{1}\mathrm{sin}\alpha .\end{array}\right.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$$

Решать эту систему можно по-разному, например, исключив `R_1` и `R_2`, получить тригонометрическое уравнение

$$ 3=2{\displaystyle \frac{\mathrm{cos}\alpha }{\mathrm{sin}\alpha }}-2{\displaystyle \frac{\mathrm{sin}\alpha }{\mathrm{cos}\alpha }}$$, $$ 2{\mathrm{tg}}^{2}\alpha +3\mathrm{tg}\alpha -2=0$$, $$ \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ (угол `alpha` - острый), тогда

$$ \mathrm{cos}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^{2}\alpha }}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$$ и $$ {R}_{1}=\sqrt{5}, {R}_{2}=2\sqrt{5}$$

В этой задаче, оказавшейся совсем не простой для абитуриентов, трудность для многих была заключена в построении рисунка, обнажающего условие задачи и направляющего решение.