Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

На   основании  $$ AC$$ равнобедренного  треугольника  $$ ABC$$ расположена точка $$ D$$ так, что $$ AD=a,CD=b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ ABD$$ и $$ DBC$$, касаются   прямой $$ BD$$ в  точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно. Найти отрезок $$ MN$$.

Рис. 18	Рис. 18a

Пусть $$ a>b.$$ Точки касания окружностей со сторонами треугольника $$ ABC$$ обозначим $P,\;Q,\;E$ и $$ F$$ (рис. 18). Положим $BM=z,\;MN=x,\;ND=y.$ По свойству касательных:

$$ DE=y$$, $$ QD=x+y$$, $$ AQ=AP=a-(x+y)$$, $$ EC=CF=b-y$$, $$ PB=BM=z, BF=BN=z+x$$ (рис. 18а). Выразим боковые стороны:

$$ AB=z+a-x-y$$, $$ BC=z+x+b-y$$. По условию $$ AB=BC$$; получим

$$ z+a-x-y=z+x+b-y$$, откуда находим $$ x={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$$.

Если $$ a

Итак: $$ MN={\displaystyle \frac{\left|a-b\right|}{2}}.$$

Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,  когда  суммы  длин противолежащих сторон равны.                                                           

Рис. 19

Пусть четырёхугольник $$ ABCD$$ описан около окружности (рис. 19). 

По свойству касательных: $$ AM=AN$$, $$ NB=BP$$, $$ PC=CQ$$ и $$ QD=DM$$, поэтому

$$ AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD$$, что означает

$$ AD+BC=AB+CD$$.

Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ ABCD$$ стороны удовлетворяют условию $$ AB+CD=BC+AD.$$ Положим $$ AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.$$

По    условию $$ a+c=b+d,$$ что  равносильно  $$ c-b=d-a.$$

Пусть $$ d>a.$$ Отложим на большей стороне  $$ CD$$ меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае $$ c>b$$, то также отложим $$ BN=b$$, получим  три   равнобедренных   треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.

Рис. 20

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника $$ ANM$$, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $$ O$$. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC`  (лежит на $$ OB$$), `BC` и `CD`  (лежит на $$ OC$$) и `CD` и `AD` (лежит на $$ OD$$),  следовательно, точка $$ O$$ одинакова удалена  от  всех  четырёх сторон четырёхугольника $$ ABCD$$ и является центром вписанной окружности. Случай $$ d=a$$, как более простой, рассмотрите самостоятельно. 

Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны  $$ a$$ и $$ b$$.

Рис. 21

Пусть в равнобокой трапеции $$ ABCD$$ `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция  равнобокая $$ (AB=CD)$$, она описана около окружности, следовательно, $$ AB+CD=AD+BC$$ Отсюда получаем:  

                            $$ AB=CD={\displaystyle \frac{a+b}{2}}.$$

Проведём $$ BM$$ и $$ CN$$ перпендикулярно $$ AD$$. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники $$ ABM$$ и $$ DCN$$ и $$ AM=ND$$. По построению $$ MBCN$$ - прямоугольник, $$ MN=BC=b$$ поэтому $$ AM={\displaystyle \frac{1}{2}}(AD-BC)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-b)$$.  Из прямоугольного треугольника $$ ABM$$ находим высоту трапеции $$ ABCD$$:

$$ BM=\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^{2}-{\left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)}^{2}}=\sqrt{ab}$$.

Очевидно, что высота  трапеции  равна  диаметру  окружности, поэтому

 радиус вписанной окружности равен  $$ \overline{)r={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{ab}}$$.

Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции  $$ \overline{)\mathrm{cos}\alpha ={\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}$$.

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).                         

Рис. 22

Рассматриваем  угол  $$ NAB$$ между  касательной $$ NA$$ и хордой $$ AB$$. Если $$ O$$ - центр окружности, то $$ OA\perp AN$$, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов  треугольника  равна  `180^@`, следовательно, $$ \angle AOB=2\alpha $$.  Итак, $$ \alpha =\angle NAB={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle AOB.$$ 

Обратим внимание, что угол $$ NAB$$ равен любому вписанному углу  $$ AKB$$, опирающемуся на ту же дугу $$ AB$$.                                                                                   

Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.

Пусть  к  окружности  проведены из одной точки касательная  $$ MA$$ и секущая  $$ MB$$, пересекающая окружность в точке  $$ C$$ (рис. 23). Тогда справедливо  равенство

$$ M{A}^{2}=MB·MC$$

 т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению  длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.                                                                                       

Угол $$ MAC$$ образован хордой и касательной, $$ \angle MAC=\angle ABC$$.  Так как в треугольниках $$ MAC$$ и $$ MBA$$ угол $$ M$$ общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:  

$$ {\displaystyle \frac{MA}{MB}}={\displaystyle \frac{MC}{MA}}$$

 Откуда получаем: $$ M{A}^{2}=MB·MC$$.                   

Если из точки $$ M$$ к окружности проведены две секущие: $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ и $$ MK$$, пересекающая окружность в точке  $$ L$$ (рис. 23), то справедливо равенство $$ MB·MC=MK·ML$$.

Проведём касательную $$ MA$$. По доказанной теореме $$ M{A}^{2}=MB·MC$$ и $$ M{A}^{2}=MK·ML$$, следовательно $$ MB·MC=MK·ML$$.

Рис. 24

Окружность  проходит  через  вершины $$ C u D$$ трапеции $$ ABCD,$$ касается боковой стороны $$ AB$$ в точке $$ B$$ и пересекает  большее  основание $$ AD$$ в точке $$ K$$ (рис. 24).  Известно, что  $$ AB=5\sqrt{3}$$, $$ BC=5$$ и $$ KD=10$$. 

Найти радиус окружности.

1. Пусть $$ AK=x$$ тогда $$ AD=10+x$$ю

По теореме о касательной и секущей:

$$ A{B}^{2}=AK·KD$$ т. е. $$ 75=x(x+10)$$, откуда $$ x=5$$. Итак $$ AD=15$$. 

2. Заметим  теперь,  что   угол $$ ABD$$ между касательной $$ AB$$ и  хордой  $$ BD$$ равен вписанному углу $$ BCD$$, а из параллельности прямых $$ AD$$ и  $$ BC$$ следует  равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия $$ △ABD\sim △DCB$$. Из подобия имеем $$ {\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{AD}{BD}}{\displaystyle \frac{BD}{BC}}$$. Из последнего равенства  находим, что $$ B{D}^{2}=AD·BC$$, т. е. $$ BD=\sqrt{AD·BC}=5\sqrt{3}$$, а из первого равенства находим $$ CD={\displaystyle \frac{AB·BD}{AB}}=5$$.

3. Так как $$ KB=CD$$ ($$ KBCD$$ - вписанная трапеция, она равнобокая), и $$ K{B}^{2}+B{D}^{2}=K{D}^{2},$$ то `/_ KBD=90^@`  и  $$ KD$$ - диаметр окружности.

Значит, её радиус равен `5`. 

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.

Из этой теоремы следует:

a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

Рис. 25

В треугольнике $$ ABC$$ биссектрисы $$ AD$$ и $$ BF$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 25). Известно,  что  точки $$ F, O, D$$, и `C` лежат  на одной окружности  и  что $$ DF=\sqrt{3}.$$ Найти площадь треугольника  $$ ODF$$.        

Так как 

$$ \angle BAO={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle A$$ и $$ \angle ABO={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle B$$, то

$$ \angle DOF=\angle AOB=\pi -{\displaystyle \frac{1}{2}}(\angle A+\angle B)$$.

Четырёхугольник $$ DOFC$$  вписан   в   окружность, по   теореме   9:

$$ \angle DOF=\pi -\angle C$$, т. е. $$ \pi -{\displaystyle \frac{1}{2}}(\angle A+\angle B)=\pi -\angle C$$, откуда, учитывая, что $$ \angle A+\angle B+\angle C=\pi $$, находим $$ \angle С={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$.

Теперь заметим, что $$ O$$ - точка  точка пересечения биссектрис, $$ CO$$ - биссектриса угла $$ C,$$ следовательно, углы $$ OCD$$ и $$ OCF$$ равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы $$ ODF$$ и $$ OFD$$ равны им и равны друг другу. Таким образом,

$$ \angle ODF=\angle OFD={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle C={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$. 

Треугольник $$ DOF$$ равнобедренный с основанием $$ DF=\sqrt{3}$$ и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины $$ O$$ и площадь  треугольника $$ ODF: S={\displaystyle \frac{1}{2}}h·DF={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$.