Метод областей на координатной плоскости

Аналог метода интервалов на числовой прямой естественно примени́м и в случае наличия в задаче двух переменных – xx и yy. Только тогда вместо интервалов на прямой появляются области на координатной плоскости, в которых определены знаки всех подмодульных выражений и можно раскрыть модули.

Пример 14.

Изобразим на координатной плоскости xOyxOy множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: `(|y|)/y=x|x|`.

Переменных две, поэтому рассматривать нужно четыре области на плоскости xOyxOy, задаваемые системами неравенств:

1) {x≥0,y>0·\{\begin{array}{lc}& x ≥ 0,\\& y > 0\cdot\end{array};      2) {x<0,y>0·\{\begin{array}{lc}&x < 0,\\&y > 0\cdot\end{array};      3) {x≥0,y<0·\{\begin{array}{lc}&x ≥ 0,\\&y < 0\cdot\end{array};      4) {x<0,y<0·\{\begin{array}{lc}&x < 0,\\&y < 0\cdot\end{array}

В первом и четвёртом случае после раскрытия модулей получается x2=1x^2 = 1, то есть x=±1x = ±1. В то же время во втором и третьем случаях получаем x2=−1x^2 = −1, что невозможно на действительной плоскости xOyxOy. После учёта условий на xx получаем множество точек, изображённое на рис. 38.