6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)|

Так как обе части уравнения неотрицательны, то 

|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0\Rightarrow\end{array}

f(x)=g(x)⇔f(x)=g(x),f(x)=-g(x).\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\f(x)=-g(x).\end{array}\right.                 (УРМ3)

Оно удобно тем, что никак не связано со знаками  `f(x)` и `g(x)`.  Важно, что мы пишем разность квадратов, но в квадрат не возводим!

Пример 12

Решите уравнение `|3x-2|=|2x-3|`.

Решение

Воспользуемся условием равносильности для модулей (УР М3):

|3x-2|=|2x-3|⇔3x-2=2x-3,3x-2=-(2x-3)⇔x=-1,x=1.\vert3x-2\vert=\vert2x-3\vert\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3x-2=2x-3,\\3x-2=-(2x-3)\end{array}\Leftrightarrow\right.\left[\begin{array}{l}x=-1,\\x=1.\end{array}\right.

Ответ
`1,  -1`.
Пример 13

Найдите сумму квадратов всех корней уравнения (5x-1)x2-16=0(5x-1)\sqrt{x^2-16}=0.


Решение

`(5x-1)sqrt(x^2-16)=0 iff`x2-16=0,x2-16>0,5x-1=0⇔x=±4.\left[\begin{array}{l}x^2-16=0,\\\left\{\begin{array}{l}x^2-16>0,\\5x-1=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow x=\pm4.

Ответ

`32`.