5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)

Решают такие уравнения по-разному. 

Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.

$$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\f(x)=g(x),\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f(x)<0,\\-f(x)=g(x).\end{array}\right.\end{array}\right.}\\\\\end{array}$$ (УРМ1)

Там, где `f(x)>=0`, `|f(x)|=f(x)`, уравнение примет вид `f(x)=g(x)`;

там, где `f(x)<0`, `|f(x)|=-f(x)`, уравнение примет вид `-f(x)=g(x)`.

И, наоборот, если `f(x)>=0` и `f(x)=g(x)`, то `|f(x)|=g(x)`, а если `f(x)<0` и `-f(x)=g(x)`, то опять `|f(x)|=g(x)`, при этом НЕ НАДО решать неравенства, а необходимо только подставить в них решения соответствующих уравнений. 

Второй способ (это способ применяется обычно, если функция `g(x)` проще, чем `f(x)`).

Уравнение `|f(x)|=g(x)` не имеет решений, если `g(x)<0`. Если же `g(x)>=0`, то там, где `f(x)>=0` уравнение имеет вид `f(x)=g(x)`, а там, где `f(x)<0`, уравнение имеет вид `-f(x)=g(x)`. Отсюда следует 

f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)=-g(x)\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\\left[\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\f(x)=-g(x)\end{array}\right.\end{array}\right. (УРМ2)

При решении вторым способом можно не писать условий равносильности, а просто решить совокупность уравнений [f(x)=g(x),f(x)=-g(x),[\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\f(x)=-g(x),\end{array} и найденные корни подставить в условие `g(x)>=0`.

Пример 10

Решите уравнение x-7=3x2+4x-1\left|x-7\right|=3x^2+4x-1. 

Решение

Так как подмодульное выражение проще, чем правая часть, применим (УР М1): 

$$\begin{array}{l}\left|x-7\right|=3x^2+4x-1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-7\geq0,\\x-7=3x^2+4x-1;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-7<0,\\-x+7=3x^2+4x-1,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\right.\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-7\geq0,\\3x^2+3x+6=0\Leftrightarrow\varnothing;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-7<0,\\3x^2+5x-8=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm11}6,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac83\\x=1.\end{array}\right.\right.\end{array}$$

Ответ
 -83,  1.-\dfrac83,\;\;1.
Пример 11

Решите уравнение `|x^2+x-3|=-2x+1`.

Решение

Так как правая часть проще, чем подмодульное выражение, применим (УР М2):

x2+x-3=-2x+1⇔-2x+1≥0,x2+x-3=-2x+1,x2+x-3=2x-1,⇔x≤0,5,x2+3x-4=0⇔x=-3±52,x2-x-2=0⇔x=1±32,⇔x=-4,x=-1.\begin{array}{l}\left|x^2+x-3\right|=-2x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-2x+1\geq0,\\\left[\begin{array}{l}x^2+x-3=-2x+1,\\x^2+x-3=2x-1,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\right.\\\left\{\begin{array}{l}x\leq0,5,\\\left[\begin{array}{l}x^2+3x-4=0\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm5}2,\\x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm3}2,\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-4,\\x=-1.\end{array}\right.\right.\end{array}

Ответ

-4,  -1.-4,\;\;-1.