§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним

На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.

x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displaystyle\frac b2}\pm\sqrt{\displaystyle\frac{b^2}4}-ac}a.


Она особенно удобна, когда коэффициент при `x` число чётное.

Пример 3

Решите уравнение 144x2+24x-287=0144x^2+24x-287=0.

Решение

x1,2=-12±144+144·287144=-1±28812=-1±12212=±2-112x_{1,2}=\dfrac{-12\pm\sqrt{144+144\cdot287}}{144}=\dfrac{-1\pm\sqrt{288}}{12}=\dfrac{-1\pm12\sqrt2}{12}=\pm\sqrt2-\dfrac1{12}

Ответ

±2-112\pm\sqrt2-\dfrac1{12}

Заметим, что использование других формул привело бы к более громоздким вычислениям.

Уравнение можно считать решённым, если удаётся найти замену переменных, сводящую заданное уравнение к квадратному.

Пример 4

Решите уравнение x+2x-1-4(x-1)x+2=1\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}-\dfrac{4(x-1)}{x+2}=1

Решение

Сделаем замену переменных x+2x-1=t≥0. \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=t\geq0.  

Тогда уравнение примет вид

 t-4t2=1⇔t3-t2-4t2=0⇔⇔t3-t2-4=t3-2t2+t2-4=(t-2)(t2+t+2)=0⇔t=2,t≠0.⇔t=2.\begin{array}{l}t-\dfrac4{t^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{t^3-t^2-4}{t^2}=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^3-t^2-4=t^3-2t^2+t^2-4=(t-2)(t^2+t+2)=0\Leftrightarrow t=2,\\t\neq0.\end{array}\right.\Leftrightarrow t=2.\end{array}

В старых переменных x+2x-1=2⇔x+2x-1=4⇔x=2.\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=2\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{x-1}=4\Leftrightarrow x=2.

Ответ

`2`.