Прежде  чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.

1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ответов приведены далее.

2. Если в решении длина какого-либо отрезка выразилась иррациональным числом (например, `a=sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближённое.

3. Если в решении использовалась тригонометрия и получилось, например, `sin alpha=(2sqrt2)/3`, то не следует определять величину угла `alpha` по таблице или на калькуляторе приближённо и затем тем же способом находить значение `cos alpha`, `sin2alpha`, `sin(alpha+45^@)` и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам. Например,  `cos alpha=-sqrt(1-sin^2 alpha)=-1/3`, если угол `alpha` тупой, и `sin alpha=(2sqrt2)/3`, а

`sin(alpha+45^@)=sin alpha*cos45^@+cos alpha*sin 45^@=(sqrt2)/2(sin alpha+cos alpha)`.

4. Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняющим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.

5. Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нём уместились все введённые Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 4, 8(а, б) или рис. 30(а, б, в) Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение).

6. Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду или почему такое равенство имеет место). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1)…, 2)…, 3)… и то, что вычислено или выражено и важно для дальнейшего, выделить, например, так $\boxed{S_0=\sqrt{S_1S_2}}$  или $\boxed{S_{ADK}=24}$.

Кроме того, вычисления разумно (а математика – это здравый смысл) проводить в кратких обозначениях, например

`(h_1)/(h_2)=(m-b)/(a-m)`, а не `((CK)/(NP)=((MN-ME)/(AD-MF))`

или                                 `c_1^2=(a-b)^2+c_2^2-2(a-b)c_2 cos varphi`,

(а не             `CK^2=(AD-BC)^2-2(AD-BC)*CD*cos(/_ADC)`).

Примеры ответов на контрольные вопросы

Вопрос.  Можно ли внутри прямоугольного треугольника с катетами `3` и `4` поместить круг площадью `25//8`?

Ответ: Да, можно. Докажем это.

 В прямоугольном треугольнике с катетами `a` и `b` и гипотенузой `c` радиус `r`  вписанной  окружности выражается формулой `r=(a+b-c)/2` (рисунок 33 напоминает доказательство).

При `a=3`, `b=4` находим `c=5`, `r=1`. Площадь вписанного круга равна `pir^2=pi`; так  как `25/8<(25,04)/8<3,13<3,14<pi`, то радиус `r_0` круга площадью `25//8` меньше `1`. Он помещается  внутри вписанного круга (если совместить их центры) и, следовательно, внутри треугольника.

Вопрос. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый  `n`- угольник при `n>3`?

Ответ: Три. Докажем это.

Из вершины (например `A_1`) выходит `(n-1)` отрезков, два из них `(A_1A_2` и `A_1A_n)` - стороны, остальные `(n-3)` - диагонали (рис. 34). Выпуклый `n`- угольник разбивается диагоналями на `(n-2)` треугольника.

Сумма углов каждого треугольника  равна `180^@`, значит сумма всех углов выпуклого `n` -  угольника равна  `180^2(n-2)`.

Сумма углов внутренних и внешних (по одному при каждой вершине)  очевидно  равна `180^2 *n`, тогда сумма внешних углов равна `180^@ *n-180^@(n-2)=360^@` (!).

Наглядно: если приложить вектор к стороне `A_1A_2` и обойти по периметру `n` - угольник, двигая вектор, то вернувшись на сторону `A_1A_2`, обнаружим, что, сделав полный поворот, вектор принял прежнее положение. Угол поворота вектора равен сумме внешних углов.

Если предположить, что в выпуклом `n` - угольнике `(n>3)` хотя бы `4` острых угла, то сумма их внешних углов (они тупые) будет больше  `90^@ *4=360^@`, что не может быть. Значит острых углов не более трёх.

Вопрос. Треугольники `A_1B_1C_1` и `ABC` таковы, что `a_1<a`, `b_1<b`, `c_1<c`.   Верно ли, что площадь треугольника `A_1B_1C_1` меньше площади треугольника `ABC`.

Ответ: Нет. Приведём пример (рис. 35).

 Рассмотрим два равнобедренных треугольника: `ul(Delta ABC)`,  в котором `AC=BC=a`, `/_ACB=150^@`, 

`AB=sqrt(a^2+a^2+2a^2(sqrt3)/2) =asqrt(2+sqrt3)`,  `S_(ABC)=1/2 a^2 sin150^@=(a^2)/4`;

`DeltaA_1B_1C_1`,  в котором `A_1C_1=B_1C_1=sqrt(3/4)a<a`, `/_A_1C_1B_1=90^@`, 

`A_1B_1=(sqrt(3/4)a)sqrt2=sqrt(3/2)a<sqrt2a<sqrt(2+sqrt3)a=AB`,

а  `S_(A_1B_1C_1)=1/2(sqrt(3/4)a)^2=3/8a^2>1/4a^2=S_(ABC)`.