§1. Теоремы косинусов и синусов

Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно записать так:

теорема косинусов

`c^2=a^2+b^2-2abcosC`

 теорема синусов

`a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)`

 Напомним также, что  

`a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R`                                              (1)

где `R` - радиус окружности, описанной около треугольника.

Покажем применение этих теорем.

Теорема 1.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство


Пусть `ABC` -  параллелограмм и  `AB=CD=a`, `AD=BC=b`, `BD=d_1`, `AC=d_2`, (рис. 1).  Если `varphi=/_BAD`,  то `/_ADC=180^@-varphi`.  Из  треугольников  `ABD` и `ACD` по теореме косинусов будем иметь: 

`d_1^2=a^2+b^2-2abcosvarphi`,

`d_2^2=a^2+b^2-2abcos(180^@-varphi)`.

Складывая почленно эти равенства и учитывая,  что `cos(180^@-varphi)=-cosvarphi`,  получим требуемое равенство:

 

`d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2`.

Пример 1 (Лемма о медиане)

Зная три стороны треугольника   `a`, `b` и `c`, найти медиану `m_c` к стороне `c`.

Решение

Пусть в треугольнике  `ABD` (рис. 1) `AB=a`, `AD=b`, `BD=c` и `AO` - медиана. Достроим треугольник `ABD` до параллелограмма (на прямой `AO` отложим `OC=AO` и соединим точки `B` с `C` и `D` с `C`; диагонали четырёхугольника `ABCD`, пересекаясь, делятся пополам, это параллелограмм). Так как `BD=c` и `AC=2m_c`, то по доказанному в теореме 1 имеем: `(2m_c)^2+c^2=2a^2+2b^2`; отсюда получаем формулу для медианы треугольника через его стороны:

`m_c=sqrt((a^2+b^2)/2-c^2/4)`.


Пример 2

В треугольнике `ABC` точки `M` и `N` лежат на сторонах `AB` и `AC` (рис. 2), при этом `BM=MN=NC`. Найти отношение `MN:BC`, если `AC:AB = 3:2`, и угол `A` равен `60^@`.

Решение

Обозначим `x=MN`, `2a=AB`, тогда `AC=3a`, `ul(AM=2a-x)` и `ul(AN=3a-x)`. Применим теорему косинусов к треугольнику `AMN`, в котором стороны выражены через `a` и `x` и известен угол `/_MAN=60^@`,  получим `x^2=(2a-x)^2+(3a-x)^2-(2a-x)(3a-x)`, откуда находим `x=7/5 a`. По теореме косинусов выразим сторону `BC` через `a`:

`BC=sqrt(AB^2+AC^2-2AB*ACcos60^@)=sqrt7a`.

Теперь находим `(MN)/(BC)=x/(BC)=(sqrt7)/5`.

Ответ

`(MN)/(BC)=(sqrt7)/5`.

Обратим внимание на применение теоремы косинусов. При доказательстве теоремы 1 использовался тот факт, что в фигуре (параллелограмме) есть дополнительные углы `/_A=varphi`, `/_D=180^@-varphi`, а `cos(180^@-varphi)=-cosvarphi`,  

В примере 2 теорема косинусов применялась к треугольнику `AMN` с заданным углом `60^@`, стороны которого выражались через заданную величину `a` и неизвестную `x`. 

В примере 5 (см. далее) Теорема косинусов позволяет найти косинус угла треугольника по трём известным его сторонам.

Следующие два примера на применение теоремы синусов.

Пример 3

В равнобедренном треугольнике `ABC` длины боковых сторон  `AB` и `AC` равны `b`,  а угол  при  вершине  `A`  равен `30^@` (рис. 3). Прямая, проходящая через вершину `B` и центр `O` описанной окружности, пересекает сторону `AC` в точке `D`. Найти длину отрезка `BD`.

Решение

Центр описанной около треугольника окружности лежит на серединном перпендикуляре `OK`, но т. к. высота равнобедренного треугольника является и медианой, то т. `O` лежит на высоте `AK`, которая является также и биссектрисой угла `A`. Таким образом,

`/_BAK=/_CAK=15^@`.

Треугольник `AOB` равнобедренный:   `(AO=OB)` следовательно, `/_ABO=/_BAO=15^@`. Итак, в треугольнике  `ABD` известны два угла, а   т. к. сумма углов треугольника равна `180^@`, то `/_BDA=135^@`.  По теореме

синусов  из  треугольника `ABD`  имеем: `(BD)/(sin/_BAD)=(AB)/(sin/_BDA)`,  откуда, учитывая, что `sin135^@=sin45^@`, находим: 

`BD=b(sin30^@)/(sin45^@)=b/(sqrt2)`.

Пример 4

Точка  `M` лежит на окружности с диаметром `BD`; точки `A` и `C` лежат на прямой `BD`, точка  `C` лежит внутри окружности, а точка `B` - между точками `A` и `C`. Известно, что `AB=a`, `BC=b` и `/_AMB=/_BMC` (рис. 4). Найти радиус окружности.

Решение

1. Обозначим равные углы `AMC` и `BMC` через `alpha`, `BD=2R`, проведём хорду `MD` и обозначим `/_ADM=varphi`. 

Угол `BMD` прямой (опирается на диаметр), тогда  `/_AMD=90^@+alpha`, а `/_CMD=90^@-alpha`.  

Применим теорему синусов к треугольникам `AMD` и `CMD`:

$$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{AM}{\mathrm{sin}}}={\displaystyle \frac{AD}{\mathrm{sin}{\displaystyle \left(90°+\alpha \right)}}}\iff {\displaystyle \frac{AM}{\mathrm{sin}{\displaystyle \phi }}}={\displaystyle \frac{2R+a}{\mathrm{cos}{\displaystyle \alpha }}}\\ {\displaystyle \frac{CM}{\mathrm{sin}}}={\displaystyle \frac{CD}{\mathrm{sin}{\displaystyle \left(90°-\alpha \right)}}}\iff {\displaystyle \frac{CM}{\mathrm{sin}{\displaystyle \phi }}}={\displaystyle \frac{2R-b}{\mathrm{cos}{\displaystyle \alpha }}}\end{array}>\iff {\displaystyle \frac{AM}{CM}}={\displaystyle \frac{2R+a}{2R-b}}.$$ 

2. По условию отрезок `MB` - биссектриса угла `AMC`, по свойству биссектрисы `(AM)/(CM)=(AB)/(BC)=a/b`.  

Из равенства

`(2R+a)/(2R-b)=a/b iffR=(ab)/(a-b)`.

Ответ

`R=(ab)/(a-b)`.

Заметим, что из формулы (1) следует тот факт, что радиус окружности, описанной около треугольника, определяется одной из сторон и величиной противолежащего угла, а именно

`R=a/(2sinA)`.

 Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

Пример 5

Из одной точки окружности проведены две хорды `AB` и `BC` длиной `9` и `17`. Отрезок `MN`, соединяющий середины этих хорд, равен `5` (рис. 5). Найти радиус окружности.

Решение

По теореме косинусов из треугольника `MBN` найдём

`cos/_B:(MB=9//2, BN=17//2):`  `MN^2=MB^2+BN^2-2BM*BNcosB`,

откуда  `cosB=(BM^2+BN^2-MN^2)/(2BM*BN)=15/17`.  

Значит, `sin/_B=sqrt(1-cos^2B)=8/17`. Далее, т. к. `MN` - средняя линия треугольника `ABC`, то `AC=10` и `R=(AC)/(2sinB)=85/8`.   

Ответ

`10,625`.