ЗФТШ, МФТИ

§3. Понятие о пределе функции. Непрерывность функции

2 июня 2020 г.
0 комментариев
2018 просмотров

Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ain R`, за исключением, быть может, самой точки `a`.

Определение

Число `A` называется пределом функции `y=f(x)` в точке `a`, если для любой последовательности `(x_n)` из области её определения такой, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a` выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=A`.

Обозначение: `lim_(n->oo)f(x)=A`, или `f(x)->A` при `x->a`.

Замечание

В определении предела рассматриваются значения `x_n`, не равные `a`, поэтому в самой точке `a` функция `y=f(x)` может быть не определена; если значение `f(a)` определено, то оно не обязано совпадать с `A`. К тому же, поскольку последовательность `(f(x_n))` имеет не более одного предела, получаем, что если функция `y=f(x)` имеет предел при `x->a`, то этот предел единственный.

На рис. 2 изображена лишь одна последовательность `(x_n)`, которая к тому же является монотонной. Важно понимать, что `lim_(n->oo)f(x_n)=A` для любой последовательности `(x_n)` с условием `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`.

Пример 3.1

Доказать, что `lim_(n->oo)x=a`.

Решение

Очевидно, функция `f(x)=x` определена на любом интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность `(x_n)` такую, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда `f(x_n)=x_n` и, значит, `lim_(n->oo)f(x_n)=a`.

Пример 3.2

Доказать, что при `a>0lim_(n->a)sqrtx=sqrta`.

Решение

Функция `f(x)=sqrtx` определена при `x>=0` и, следовательно, определена на некотором интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность неотрицательных чисел `x_n!=a`, что `lim_(n->oo)x_n=a`. Нам нужно показать, что `lim_(n->oo)sqrtx_n=sqrta`. Фиксируем произвольное `epsilon>0`, тогда найдётся такое число `k`, что при `n>k` выполняется неравенство `|x_n-a|<epsilonsqrta`. Следовательно,

`|sqrtx_n-sqrta|=(|(sqrt(x_n)-sqrta)(sqrt(x_n)+sqrta)|)/(sqrt(x_n)+sqrta)<(|x_n-a|)/(sqrta)<epsilon`,

что и требовалось.

Пример 3.3

Доказать, что `lim_(x->1)(x^2-1)/(x-1)=2`.

Решение

Функция `f(x)=(x^2-1)/(x-1)` определена на любом интервале, содержащем `x=1`, кроме этой точки. Поскольку при `x!=1` имеет место равенство `f(x)=x+1`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `x_n!=1` и `lim_(n->oo)x_n=1` выполняется `lim_(n->oo)f(x_n)=lim_(n->oo)x_n+1=2`.

Теорема 3.1

Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` определены на некотором интервале, содержащем точку `a in R`, за исключением, быть может, самой точки `a`, `lim_(x->a)f(x)=A` и `lim_(x->a)g(x)=B`. Тогда

1) `lim_(x->a)(f(x)+g(x))=A+B`;

2) `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`;

3) если дополнительно `g(x)!=0` при `x!=a`, `B!=0`, то `lim_(x->a)(f(x))/(g(x))=A/B`.

Эти свойства вытекают из арифметических операций над пределами последовательностей (теорема 2.2). Приведём доказательство для свойства 2. Остальные доказываются аналогично.

Доказательство

Пусть некоторая произвольная последовательность `(x_n)` из интервала, на котором определены функции, такова что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда по определению предела функции `lim_(n->oo)f(x_n)=A` и `lim_(n->oo)g(x_n)=B`. По пункту 2 теоремы 2.2 `lim_(n->oo)f(x_n)g(x_n)=AB`. По определению предела функции получаем, что `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`.

Определение

Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `a`. Функция `y=f(x)`называется непрерывной в точке `a`, если `lim_(x->a)f(x)=f(a)`, т. е. если для любой последовательности `(x_n)` из области определения функции такой, что `lim_(n->oo)x_n=a`, выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=f(a)`.

Замечание

Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка `x_n!=a` здесь не нужна, т. к. при `x_n=a` значения `f(x_n)` равны `f(a)`. Во-вторых, важно понимать, что если функция `y=f(x)` непрерывна в точке `a`, то

1) она определена в точке `a`;

2) существует `lim_(x->a)f(x)=A` и

3) `A=f(a)`.

Если хотя бы один из пунктов 1) – 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке `a`.

Пример 3.4

Многочлен является непрерывной на всей числовой прямой функцией.

Решение

Пусть `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0` - многочлен степени `n, a in R`. Нам нужно показать, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`. В силу примера 3.1 `lim_(x->a)x=a`,, а в силу примера 2.1 для константы `c` ‑ `lim_(x->a)c=c`. Последовательно применяя пункт 2 теоремы 3.1, получаем, что `lim_(x->a)cx^m=ca^m` при любом натуральном `m`. Осталось `n+1` раз применить пункт 1 теоремы 3.1 и заключить, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`.

Замечание

Из теоремы 3.1 вытекает, что если функции `y=f(x)`, `y=g(x)` непрерывны в точке `a`, то функции `y=f(x)+-g(x)`, `y=f(x)g(x)`, `y=f(x)//g(x)` `(g(a)!=0)` также непрерывны в `a`.

Определение

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 3.5

Функция `y=|x|` непрерывна на всей числовой прямой.

Решение

Функция `y=|x|` на промежутке `(-oo;0)` совпадает с функцией `y=-x`, а на промежутке `(0;+oo)` - с функцией `y=x`, которые непрерывны на этих промежутках. Осталось исследовать на непрерывность данную функцию в точке `x=0`. Поскольку `||x_n|-0|=|x_n-0|`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `lim_(n->oo)x_n=0` верно `lim_(n->oo)|x_n|=0`. По определению `lim_(x->0)|x|=0`, функция `y=|x|` непрерывна в точке `x=0`.

Замечание

Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены.

Пример 3.6

Найти `lim_(x->2)(x^3+sqrt((x-3)^2)+11)`.

Решение

Поскольку `sqrt((x+3)^2)=|x-3|` и `|x-3|=3-x` при `x<=3`,

то `f(x)=x^3+|x-3|+11=x^3-x+14` при `x<=3`.

Многочлен `P(x)=x^3-x+14` непрерывен на всей числовой прямой, и в частности, в точке `x=2`. Поэтому `lim_(x->2)f(x)=P(2)=2^3-2+14=20`.

Ответ

`20`.

Пример 3.7

Найти `lim_(x->5)(sqrt(x-1)-2)/(x-5)`.

Решение

Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `f(x)`. В числителе и знаменателе дроби `f(x)` стоят функции, непрерывные в точке `x=5`. Предел этих функций при `x->5` равен их значению в точке `x=5`, т. е. равен `0`. В этом случае говорят, что имеет место неопределённость `(0/0)`. Для её «раскрытия» приходится прибегнуть к искусственному приёму – умножению числителя и знаменателя дроби `f(x)` на «сопряжённое выражение» `sqrt(x-1)+2`:

`lim_(x->5)f(x)=lim_(x->5)((sqrt(x-1)-2)(sqrt(x-1)+2))/((x-5)(sqrt(x-1)+2))=`

`=lim_(x->5)(x-5)/((x-5)(sqrt(x-1)+2))=`

`=lim_(x->5)1/(sqrt(x-1)+2)=1/(sqrt(5-1)+2)=1/4`.

Предпоследнее равенство получено в силу непрерывности функции `y=1/(sqrt(x-1)+2)` в точке `x=5`.

Ответ

`1/4`.

§4. Производная функции

2 июня 2020 г.
0 комментариев
1029 просмотров

Определение

Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале `(c;d)`, содержащем точку `ainR`. Функция `y=f(x)` называется дифференцируемой в точке , если существует конечный

`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)`.

Этот предел называется производной функции `y=f(x)` в точке `a` и обозначается `f^'(a)`.

Для точек `x,ain(c;d)` введём обозначения: `Deltax=x-a` – приращение аргумента; `Deltaf=f(x)-f(a)` – приращение функции. Тогда дифференцируемость `y=f(x)` в точке `a` означает, что

`f^'(a)=lim_(x->a)(Deltaf)/(Deltax)`.

Функция называется дифференцируемой на множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Пример 4.1

Найти по определению производные функций:

а) `f(x)=c, cinR`, в произвольной точке;

б) `f(x)=x^n,ninN`, в произвольной точке;

в) `f(x)=sqrtx` в точке `a>0`.

Решение

а) Пусть `ainR`. Поскольку приращение постоянной функции `Deltaf=c-c=0`, то производная `f^'(a)=lim_(x->a)0/(x-a)=0`.

б) Приращение данной функции в точке `ainR` можно записать следующим образом: `Deltaf=x^n-a^n=(x-a)(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1))`. Тогда

`f^'(a)=lim_(x->a)(x^n-a^n)/(x-a)=lim_(x->a)(x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-1))=na^(n-1)`.

Итак, `(x^n)^'=nx^(n-1)` для всех `xinR`.

в) Пусть `a>0`. Функция `s(x)=sqrtx` определена на некотором интервале, содержащем `a` (например, `(a//2,2a)`). Запишем отношение приращений

`(Deltaf)/(Deltax)=(sqrtx-sqrta)/(x-a)=(sqrtx-sqrta)/((sqrtx-sqrta)(sqrtx+sqrta))=1/(sqrtx+sqrta)`.

Тогда `f^'(a)=lim_(x->a)1/(sqrtx+sqrta)=1/(2sqrta)`, т. е. `(sqrtx)=1/(2sqrtx)` при `x>0`.

Укажем физический смысл производной. Пусть `s=s(t)` - расстояние, пройденное телом за время `t` (движение одномерное). Тогда частное `(s(t)-s(t_0))/(t-t_0)` выражает среднюю скорость за время от `t_0` до `t`. Если мы хотим узнать скорость тела в момент времени `t_0`, то нужно неограниченно уменьшать промежуток от `t_0` до `t`, т. е. устремлять `t` к `t_0`. Таким образом, `s^'(t_0)=lim_(t->t_0)(s(t)-s(t_0))/(t-t_0)` есть мгновенная скорость в `t_0`. Так что интуитивное представление о производной есть у каждого, кто видел спидометр автомобиля.

Теорема 4.1

Если функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `a`, то она непрерывна в точке `a`.

Следующий пример показывает, что обратное утверждение к теореме 4.1 неверно.

Пример 4.2

Доказать, что функция `y=|x|` не дифференцируема (не имеет производной) в точке `x=0`.

Решение

Рассмотрим две последовательности `(x_n)` и `(bar(x)_n)` такие что `x_n->0`, `bar(x)_n->0` при `n->oo`, все `x_n>0`, а все `barx_n<0`. Тогда соответствующие отношения приращений функции к приращениям аргумента в точке `x=0` имеют вид `((Deltay)/(Deltax))_n=(|x_n|-0)/(x_n-0)=(x_n)/(x_n)=1` и `((Deltay)/(Deltax))_n=(|barx_n|-0)/(barx_n-0)=(-barx_n)/(barx_n)=-1` что означает отсутствие предела `lim_(x->0)(Deltay)/(Deltax)`, т. е. отсутствие `y^'(0)`.

Теорема 4.2

Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` дифференцируемы в точке `a`, тогда в этой точке дифференцируемы функции `y=(f+g)(x)`, `y=c*f(x)` (где `cinR`), `y=(f*g)(x)` и, если `g(a)!=0`, то также `y=(f/g)(x)`,причём

1) `(f+-g)^'(a)=f^'(a)+-g^'(a)` и `(c*f)^'(a)=c*f^'(a)`;

2) `(f*g)^'(a)=f^'(a)g(a)+f(a)g^'(a)`;

3) `(f/g)^'(a)=(f^'(a)g(a)-f(a)g^'(a))/(g^2(a))`.

Из теоремы 4.2 и пунктов а) и б) примера 4.1 вытекает

Следствие

Любой многочлен `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0` является дифференцируемой на `R` функцией с производной `P^'(x)=a_n nx^(n-1)+a_(n-1)(n-1)x^(n-2)+...+a_1`.

Пример 4.3

Найти производную функции `y=(x+1)/(3x-6)` при `x!=2`.

Решение

На основании примера 4.1 и теоремы 4.2 получаем:

`y^'((x+1)^'(3x-6)-(x+1)(3x-6)^')/((3x-6)^2)=`

`=(3x-6-(x+1)*3)/(9(x-2)^2)=(-1)/((x-2)^2)`.

Замечание

Вообще говоря, любая дробно-рациональная функция дифференцируема во всех точках, за исключением нулей знаменателя.

Определение

Пусть на множестве `X` задана функция `y=f(x)` и на множестве её значений задана функция `z=g(y)`. Тогда говорят, что на множестве `X` определена сложная функция (или композиция) `z=g(f(x))` функций `z=g(y)` и `y=f(x)`. Например, рассмотрим на луче `X=(-oo;-1]` функцию `y=x^2-1`. На множестве её значений `[0;+oo)` определена функция `z=g(y)=sqrty`. Тогда на `X` можно определить сложную функцию `z=g(f(x))=sqrt(x^2-1)`.

Теорема 4.3

Пусть на множестве `X` определена сложная функция `z=g(f(x))`. Если функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `x_0`, а функция `z=g(y)` дифференцируема в точке `y_0=f(x_0)`, то сложная функция `z=g(f(x))` дифференцируема в точке `x_0` и `(g(f(x_0)))^'=g(y_0)f^'(x_0)`.

Пример 4.4

Найти производную функции `z(x)=sqrt(x^2-1)` в точке `x in(-oo;-1)`.

Решение

Данная функция является композицией двух функций `g(y)=sqrty` и `y=f(x)=x^2-1`. Поскольку `g^'(y)=1/(2sqrty)` (см. пример 4.1), а `y^'=f^'(x)=2x`, то по теореме 4.3 получаем

`z^'(x)=g^'(f(x))*f^'(x)=(1)/(2sqrt(f(x)))*f^'(x)=`

`=(2x)/(2sqrt(x^2-1))=x/(sqrt(x^2-1))`.

Определение

Пусть функция `y=f(x)` дифференцируема в точке `a`. Касательной к графику `f` в точке `A(a;f(a))` называется прямая, проходящая через точку `A`, угловой коэффициент которой равен `f^'(a)`. Уравнение касательной в точке `A` имеет вид

`y=f(a)+f^'(a)(x-a)`.

Функция `f(x)=sqrt(1-x^2)` дифференцируема в каждой точке интервала `(-1;1)` с `f^'(x)=-x/(sqrt(1-x^2))`. Следовательно, уравнение касательной к графику этой функции в `A(a;f(a))` имеет вид `y=sqrt(1-a^2)-(a(x-a))/(sqrt(1-a^2))`, т. е. `y=(1-ax)/(sqrt(1-a^2)`. График `f` представляет собой полуокружность, а касательная к этой кривой была определена в геометрии. Докажем, что оба определения дают одну и ту же прямую.

Рассмотрим случай `ain(0;1)`. Касательная, определенная при помощи производной, проходит через точку `A(a;f(a))` и угловой коэффициент её равен `f^'(a)=-a/(sqrt(1-a^2))`. Так как этот угловой коэффициент отрицателен, то угол `varphi`, образованный касательной с положительным направлением оси `Ox`, тупой: `"tg"varphi=f^'(a)`. Тогда тангенс острого угла `alpha` (см. рис. 3), образованного касательной с отрицательным направлением оси `Ox`, равен `a/(sqrt(1-a^2))`. Котангенс же острого угла `beta`, образованного прямой `OA` с положительным направлением оси `Ox`, равен `a/(f(a))=a/(sqrt(1-a^2))`. Итак, `"tg"alpha="ctg"beta`, оба угла `alpha` и `beta` острые, поэтому `beta=90^@-alpha`. А это значит, что касательная, определенная при помощи производной, перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку `A`, т. е. совпадает с касательной в смысле геометрического определения. Случай `ain(-1;0)` рассматривается аналогично. Этот случай (а также случай `a=0`) рекомендуем рассмотреть самостоятельно.

Часто требуется провести касательную к графику функции через произвольную точку плоскости. Такая задача может иметь два и более решений, а может и вообще не иметь решений.

Пример 4.5

Провести касательную к параболе `y=1+2x-x^2` через произвольную точку плоскости `(x_0;y_0)`. Исследовать решение.

Решение

Так как `(1+2x-x^2)^'=2-2x`, то уравнение касательной к параболе в точке `(a;1+2a-a^2)` имеет вид:

`y=(1+2a-a^2)+(2-2a)(x-a)`.

Эта касательная должна проходить через точку `(x_0;y_0)`, откуда `y_0=(1+2a-a^2)+(2-2a)(x_0-a)` и после преобразований получаем уравнение для нахождения абсциссы точки касания `a`:

`a^2-2x_0a+(1+2x_0-y_0)=0`. (*)

Если `D/4=x_0^2-2x_0-1+y_0<0`, т. е. `y_0<1+2x_0-x_0^2`, то уравнение (*) не имеет решений.

Если `D/4>0`, т. е. `y_0>1+2x_0-x_0^2`, то уравнение (*) имеет два решения `a=x_0+-sqrt(x_0^2-2x_0-1+y_0)`. Подставляя найденные `a` получим уравнения двух касательных, проходящих через точку `(x_0;y_0)`. Например, при `x_0=0`, `y_0=2` имеем `a+-1` и соответственно уравнения двух касательных: `y=2` (горизонтальная касательная, касающаяся параболы в её вершине `(1;2)`) и `y=4x+2` (наклонная касательная, касающаяся параболы в точке `(-1;-2)`, см. рис. 4). Наконец, если `D/4=0` т. е. `y_0=1+2x_0-x_0^2`, то уравнение имеет одно решение `a=x_0`. Геометрический смысл решения очень прост.

Если `y_0<1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит «ниже» параболы, то через эту точку касательную провести нельзя.

Если `y_0>1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит «выше» параболы, то через эту точку можно провести две касательные к параболе. Наконец, если `y_0=1+2x_0-x_0^2`, т. е. точка `(x_0;y_0)` лежит на параболе, то через нее можно провести единственную касательную, касающуюся параболы в точке `(x_0;y_0)`.

§5. Экстремум функции. Монотонные функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

2 июня 2020 г.
0 комментариев
6870 просмотров

Определение

Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x)<f(a)`.

Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума функции `f`.

Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.

Теорема 5.1 (Ферма)

Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^'(a)=0`.

Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна.

Замечание.

Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими.

Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие.

Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой.

Определение

Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`.

1) Функция `y=f(x)` возрастает на `I`, если для любых `x,yinI`, `x<y`, выполняется `f(x)<f(y)`.

2) Функция `y=f(x)` убывает на `I`, если для любых `x,yinI`, `x<y`, выполняется `f(x)>f(y)`.

Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна на промежутке `I`.

Условия монотонности. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда

1) если `f^'(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`;

2) если `f^'(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`.

Условия экстремума. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда

1) если `f^'(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^'(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`;

2) если `f^'(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^'(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`.

Пример 5.1

Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения.

Решение

Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^'=3(x^2-1)`. Так как `y^'<0` при `x in(-1,1)`; `y^'>0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и `[1,+oo)` (на каждом из двух лучей в отдельности, но не на их объединении!), убывает на отрезке `[-1,1]`. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^'=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет.

Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной – задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 5.2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) `[1;3]`.

Решение

а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`.

б) Так как на луче `[1,+oo)` функция возрастает, то `y(1)<=y(x)<=y(3)` для всех `x in[1;3]`, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.

Замечание

Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение.

Пример 5.3

Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`.

Решение

Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^'(x)=3x^2+12`, `f_2^'(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^'(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^'(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^'(x)=f_1^'(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^'(x)=f_2^'(x)<0` на `(-1;2)` и `y^'(x)=f_2^'(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: