Все статьи » ЗФТШ Математика

Статьи , страница 127

  • §1. Иррациональные уравнения
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 193 просмотра
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 1. Системы линейных уравнений
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 147 просмотров
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 2. Нелинейные системы уравнений
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 232 просмотра
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 3. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 236 просмотров
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • 4. Симметрические системы
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 224 просмотра
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §1. Множество. Подмножество. Равенство множеств. Числовые множества и множества точек
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 289 просмотров
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §2. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 270 просмотров
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §3. Конечные множества
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 261 просмотр
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • *§4. Эквивалентность множеств. Счётные и несчётные множества
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 194 просмотра
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §5. Высказывания. Операции над высказываниями
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 230 просмотров
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §9. Биссектор
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 270 просмотров
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §10. Сфера, вписанная в многогранник
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 268 просмотров
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §11. Объём тетраэдра
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 252 просмотра
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • §12. Задачи на комбинации многогранников с круглыми телами
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 251 просмотр
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • Текстовые задачи
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 202 просмотра
    Просмотр текста ограничен правами статьи
  • Введение
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 453 просмотра

    Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них  вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.

  • §1. Равносильность уравнений и неравенств
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 1454 просмотра

    В нашем задании большую роль  будет играть понятие  равносильности.

    Два неравенства    

    `f_1 (x) > g_1 (x)`   и   `f_2 (x) > g_2 (x)` (1)

    или два уравнения

    `f_1 (x) = g_1 (x)`   и   `f_2 (x) = g_2 (x)`       (2)

    называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на `X` совпадают.

    Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Если уравнение `f(x) = 0`  (или неравенство) `f(x) > 0`) равносильно уравнению `g(x) = 0` (или неравенству `g(x) > 0`), то это мы будем обозначать так:  

    `f(x) = 0 hArr g(x) = 0`   (или `f(x) > 0 hArr g(x) > 0`).

    Пример 1

    `sqrt(x^2 -4) = 1 - x^2 hArr sqrt(sin ^2 x - 2) = 0`, т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

    Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают - достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

    Пример 2

    При каких значениях параметра  `a` системы

    ax+3y=6a-4,x+y=2a\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\right. и   x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2(a2+a+2)=0\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2(a^2+a+2)=0\end{array}\right.

    равносильны?


    Решение

    Решим сначала первую, более простую систему  

    ax+3y=6a-4,x+y=2a⇔y=2a-x,ax+3(2a-x)=6a-4⇔x(a-3)=-4⇔\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2a-x,\\ax+3(2a-x)=6a-4\Leftrightarrow x(a-3)=-4\end{array}\Leftrightarrow\right.\right.

    ⇔a≠3,x=-4a-3,y=2a+4a-3=2a2-6a+4a-3;a=3,0·x=-4⇔∅.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a\neq3,\\x=-\dfrac4{a-3},\\y=2a+\dfrac4{a-3}=\dfrac{2a^2-6a+4}{a-3};\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3,\\0\cdot x=-4\Leftrightarrow\varnothing.\end{array}\right.\end{array}\right.

    Подставим  `a = 3` во вторую систему

    a=3:x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-10x+28=0⇔x-52+y2+3=0⇔∅.a=3:\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2{y}^{4}-6x+8=0,\\ {x}^{2}+{y}^{2}-10x+28=0\iff {\left(x-5\right)}^{2}+{y}^{2}+3=0\iff \varnothing .\end{array}\right.

    Следовательно, при `a = 3` системы  равносильны,  т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

    При `a != 3` первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе `y` входит только в чётной степени, значит, если решением является пара `(x_0, y_0)`,  то пара `(x_0 , -y_0)` тоже будет решением. При этом если `y_0 != - y_0 iff y_0 != 0`, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара `(x_0 , 0)`. Посмотрим, при каких `a` такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

    x02-6x0+8=0⇔x0=3±1,x02-2a+4x0+2a2+a+2=0\left\{\begin{array}{l}x_0^2-6x_0+8=0\Leftrightarrow x_0=3\pm1,\\x_0^2-\left(2a+4\right)x_0+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\right.⇔x0=2,a2-a=0⇔a=0,1;x0=4,a2-3a+2=0⇔a=2,1.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x_0=2,\\a^2-a=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}0,\\1;\end{array}\right.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x_0=4,\\a^2-3a+2=0\Leftrightarrow a=\left[\begin{array}{l}2,\\1.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.

    Итак, таких  `a` три: `0, 1, 2`. Но при этих `a`  вторая система может иметь и другие решения, а если у неё других решений нет, то её единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое  `a` не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

    1. `a=0`: Первая система имеет решение: `x = 4/3` и `y = - 4/3 != 0`. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй `y=0`).

    2. `a=1`: Вторая  система  имеет  вид 

    x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-6x+8=0⇔y=0,x=3±1=4;2.\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-6x+8=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0,\\x=3\pm1=4;2.\end{array}\right.\right.

    Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

    3. a=2:ax+3y=6a-4,x+y=2a⇔x=4,y=0a=2:\left\{\begin{array}{l}ax+3y=6a-4,\\x+y=2a\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\right.

    и x2-2y4-6x+8=0,x2+y2-2a+4x+2a2+a+2=0⇔\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\x^2+y^2-\left(2a+4\right)x+2\left(a^2+a+2\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔x2-2y4-6x+8=0,x-42+y2=0⇔x=4,y=0⇔x=4,y=0.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2y^4-6x+8=0,\\\left(x-4\right)^2+y^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0\end{array}\right.\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4,\\y=0.\end{array}\right.\right.

    Следовательно, системы при этом значении `a` равносильны – они имеют единственное решение `(4; 0)`.


    Ответ

    `2; 3`.

    При решении неравенств и уравнений  часто используются следующие равносильные переходы.

    1. Если  функции  `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` определены на множестве `X` , то на этом множестве 

    а) `f(x) < g(x) iff f(x) + h(x) < g(x) + h(x)`.  (УР 1)
    б)  `f(x) = g(x) iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x)`.  (УР 2)

                                                                                                                                           

    2. Если `h(x) > 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) < g(x) h(x)`,   (УР 3)

     т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком.

    3. Если `h(x) < 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) < g(x) iff f(x) h(x) > g(x) h(x)`, (УР 4)

     т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

    4. Если `h(x) != 0` на `X`, то на `X`

    `f(x) = g(x) iff f(x) h(x) = g(x) h(x)`. (УР 5)

    5. Если обе части неравенства неотрицательны на `X`, то возведение в квадрат обеих частей  приводит к равносильному неравенству, т. е.

    `f(x) < g(x) iff f^2 (x) < g^2 (x)`.   (УР 6)

                                                                                       

    Если обе  части  неравенства отрицательны, то  умножив обе части на `(­–1)`, придём к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим (УР 6).

    Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: `-4<5`; `16<25`; `-7<5`, но `49>25`, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат.

    6. Если обе части уравнения неотрицательны, то

     

    `f(x) = g(x) iff f^2 (x) = g^2 (x)`.   (УР 7)

    7. Для любых  `f(x)` и `g(x)` на `X` и любого натурального  `n`

    `f(x) = g(x) iff f^(2n + 1) (x) = g^(2n + 1) (x)`. (УР 8)


    8. Неравенство вида `f(x)>=0(<=0)` называется нестрогим. По определению,

    $$f\left(x\right)\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\f\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.$$ (УР 9) 


  • §2. Иррациональные неравенства
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 35170 просмотров

    Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

    Пример 3 (МГУ, 1998)

    Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

    Решение

    Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически.

    Рис. 1

    Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

    x+3=x+1⇔x+1≥0,x+3=x2+2x+1⇔x=1⇒x∈[-3;1).\sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1\geq0,\\x+3=x^2+2x+1\end{array}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow x\in\lbrack-3;1).\right.

    Ответ

    `[- 3; 1)`.

    Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приведённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней `(`УР К`)`):

    `sqrt(f(x)) = a^2 iff f(x) = a^4`. (УР К1)
    fx=gx⇔gx≥0,f(x)=g2(x).\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f(x)=g^2(x).\end{array}\right. (УР К2)
    f(x)=g(x)⇔ОДЗf(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow f(x)=g(x). (УР К3)
    f(x)=g(x)⇔f(x)=g(x),f(x)≥0,g(x)≥0.\begin{array}{l}\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)=g(x),\\\left[\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\g(x)\geq0.\end{array}\right.\end{array}\right.\\\end{array} (УР К4)


    ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)` 

    ОДЗ: `f(x) >= 0`.

    Рассмотрим неравенство

    `sqrt(f(x)) >= g(x)`.

    Докажем, что

    `sqrt(f(x))>=g(x)`$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$

    		 (УР К5)

    Доказательство

    1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

    2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       

    $$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\f\left(x\right)\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$

    Тогда:

    а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

    б) если `g(x) >= 0`  и

    `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

    то

    `f(x) - g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

    Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

    `sqrt(f(x))>=g(x)`$$\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\f\left(x\right)\geq g^2\left(x\right).\end{array}\right.\end{array}\right.$$ (УР К6)

                                                                

    Теперь рассмотрим неравенство вида

    `sqrt(f(x)) <= g(x)`.  

    Докажем, что

    f(x)≤g(x)⇔g(x)≥0,f(x)≤g2(x),f(x)≥0.\sqrt{f(x)}\leq g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0.\end{array}\right. (УР К7)

                                                                                                                                

    Доказательство
    1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`,
    то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.
    2.  Если `x` является решением системы неравенств   g(x)≥0,f(x)≤g2(x),f(x)≥0,\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)\leq g^2(x),\\f(x)\geq0,\end{array}\right.   
    то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. 
    Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) - g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) - g(x) <= 0`.
    Пример 4 (МФТИ, 1998)

    Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x - 3) > 1 - 2x`.


    Решение

    Первый способ

    Воспользуемся (УР К5): 

    `3sqrt(3x^2-8x-3)>1-2x iff`$$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}1-2x<0,\\3x^2-8x-3\geq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}1-2x\geq0,\\9\left(3x^2-8x-3\right)>\left(1-2x\right)^2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$

    $$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{-1}3\right]\cup\left[3;+\infty\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x\leq0,5,\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\cup\left(\dfrac{34+30\sqrt2}{23};+\infty\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\in\left[3;+\infty\right)\\x\in\left(-\infty;\dfrac{34-30\sqrt2}{23}\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\end{array}$$

    `iff x in (- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

    Ответ

    `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.


    Второй способ

    Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:

    `3x^2 - 8x - 3 >= 0 iff (x - 3)(x+1/3) >= 0 iff x in (-oo; - 1/3] uu [3; + oo)`.

    Теперь неравенство перепишем в виде `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) -(1 - 2x) > 0`.

    1. Если `1 - 2x < 0`, т. е. `x > 1/2`, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. `x in [3; + oo)`.

    2. Если `1 - 2x>= 0`, т. е. `x <= 1/2`, то `3sqrt(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 2x iff`

    `iff 9(3x^2 - 8x - 3) > 1 - 4x + 4x^2 iff 23x^2 - 68x - 28 > 0 iff`

    `iff x in (- oo; (34-30sqrt2 )/(23)) uu ((34+30 sqrt2)/(23); + oo)`.

    Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически.

    Учтём, что `x <= 1/2` - тогда `x in (- oo; (34-30sqrt2)/(23))`.

    Объединяя 1 и 2, получаем

    Ответ

    `(- oo ;  (34 - 30 sqrt2)/(23)) uu [3; + oo)`.

    ПУНКТ 2. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`

    Рассмотрим неравенство вида `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`.

    Докажем, что

    fx≤gx⇔fx≤gx,fx≥0.\sqrt{f\left(x\right)}\leq\sqrt{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0.\end{array}\right. (УР К8)

    1. Если `sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0` и `f(x) <= g(x)`, т. е. `x` является решением системы неравенств fx≤gx,fx≥0.\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0.\end{array}\right.

    2. Если `x` является решением системы неравенств fx≤gx,fx≥0,\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\\f\left(x\right)\geq0,\end{array}\right. 

    то `f(x) >= 0`, `g(x) >= 0`, `sqrt(f(x))` и `sqrt(g(x))` существуют.

    При этом `f(x) <= g(x) iff sqrt(f(x)) <= sqrt(g(x))`, т. е. неравенство выполнено.

    Замечание

    Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок `«>=»` или `«<=»` на `«>»` или `«<»` соответственно.

    Пример 5

    Решите неравенство `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5)`.

    Решение

    `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 - 4x^2 + x + 5) iff`

    ⇔2x+1≤x3-4x2+x+5⇔x3-4x2-x+4≥0,2x+1≥0⇔\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+1\leq x^3-4x^2+x+5\Leftrightarrow x^3-4x^2-x+4\geq0,\\2x+1\geq0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔x-1x+1x-4≥0⇔x∈-1;1∪4;+∞,x≥-12⇔\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\geq0\Leftrightarrow x\in\left[-1;1\right]\cup\left[4;+\infty\right),\\x\geq-\dfrac12\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔x∈-12;1∪4;+∞.\Leftrightarrow x\in\left[-\dfrac12;1\right)\cup\left[4;+\infty\right].

    Ответ

    `[- 1/2;1] uu [4; + oo)`.

    ПУНКТ 3. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x))>=0` `(<= 0)`

    Роль сопряжённых выражений

    Обычно  при  решении неравенств, имеющих  ОДЗ,  надо сначала найти ОДЗ.  При  нахождении   ОДЗ   такого   сложного   неравенства,   как `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0`,  учителя  и   школьники    обычно   решают   систему fx≥0,hx≠0\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\geq0,\\h\left(x\right)\neq0\end{array}\right.. Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель и решают неравенство `sqrt(f(x)) - g(x) >= 0`.

    Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие `h(x) != 0`, и тем более не будем тратить время и силы на решение  этого неравенства. Оправдывается это тем,  что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие  `h(x) != 0` автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение `h(x) != 0` заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (с `h(x) != 0`), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида `(sqrtf(x) - g(x))/(h(x)) >= 0` будем искать ОДЗ*: `f(x) >= 0`.

    Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида

    `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

    В методической литературе предлагается рассмотреть две системы в зависимости от знака знаменателя `h(x)`, причём в каждой есть неравенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».

    Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака `h(x)`, а от знака  `g(x)`, и неравенств с корнем решать не придётся.             

    Рассмотрим отдельно разность `sqrt(f(x)) - g(x)`. Отметим две особенности поведения этой разности:

    1) если `g(x) < 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)` положительна в ОДЗ;

    2) если `g(x) >= 0`, то разность `sqrt(f(x)) - g(x)`  может быть как положительной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности `(sqrt(f(x)) - g(x))` на неотрицательное выражениене  `(sqrt(f(x)) + g(x))` не изменит знака разности, т. е. выражение

    `(sqrt(f(x)) - g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) -= f(x) - g^2 (x)`

    имеет тот же знак, что и `(sqrt(f(x)) - g(x))` в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение `(sqrt(f(x)) + g(x))` называется сопряжённым для `(sqrt(f(x)) - g(x))` выражением. Отсюда следует важное правило   П К1:

    Если `g(x)>=0`, то  знак разности `sqrt(f(x)) - g(x)` совпадает со знаком  разности  `f(x) - g^2 (x)` в ОДЗ. (П К1)

    Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида

    `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0` или `(sqrt(f(x)) - g(x))h(x) >=0`.

    Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и  двумя случаями, но без корней.

    Рассмотрим, для определённости, неравенство `(sqrt(f(x)) - g(x))/(h(x)) >= 0`.

    1. Мы уже заметили, что, если `g(x) < 0`, то числитель положителен  в ОДЗ. Но тогда fx-gxhx≥0⇔ОДЗhx>0\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow h\left(x\right)>0.

    2. Если  же `g(x) >= 0`, то разность может менять знак в зависимости от значений `x`, но сумма `sqrt(f(x)) + g(x)` всегда неотрицательна в ОДЗ, и умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству, т. е. в этом случае

    fx-gxhx≥0⇔ОДЗfx-g2xhx≥0\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x\right)-g^2\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0.

    Для неравенства другого знака меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ:

    fx-gxhx≥0≤0⇔ОДЗgx<0,hx>0<0,gx≥0,fx-g2xhx≥0≤0.\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right)\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0,\\h\left(x\right)>0\left(<0\right),\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\geq0,\\\dfrac{f\left(x\right)-g^2\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right).\end{array}\right.\end{array}\right. (УР К9)

    Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) решения следует сравнить с ОДЗ.

    Пример 6 (МГУ, 1995) 

    Решите неравенство `(4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15) +2x) >=0`.

    Решение

    ОДЗ*. `4x+15>=0 iff x>=-(15)/4`. 

    Теперь в ОДЗ  преобразуем неравенство:

    4x+15-4x24x+15+2x=4x+15+2x4x+15-2x4x+15+2x≥0⇔4x+15-2x≥0,4x+15+2x≠0.\dfrac{4x+15-4x^2}{\sqrt{4x+15}+2x}=\dfrac{\left(\sqrt{4x+15}{\displaystyle+}{\displaystyle2}{\displaystyle x}\right){\displaystyle\left(\sqrt{4x+15}-2x\right)}}{\sqrt{4x+15}{\displaystyle+}{\displaystyle2}{\displaystyle x}}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{4x+15}-2x\geq0,\\\sqrt{4x+15}+2x\neq0.\end{array}\right.

    Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рисунке 2 видно, что неравенство выполнено от точки `x=-(15)/4` до абсциссы точки пересечения кривой `y=sqrt(4x+15)` и прямой `y=2x`.               

    Рис. 2

                                                           

    Найдём эту абсциссу:

    4x+15=2x⇔2x≥0,4x+15=4x2⇔2x≥0,x=-32,x=52⇔x=52.\sqrt{4x+15}=2x\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\geq0,\\4x+15=4x^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\geq0,\\\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac32,\\x=\dfrac52\end{array}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac52.\end{array}\right.

    Заметим, что для решения  уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение:

    4x+15+2x=0⇔4x+15=-2x⇔2x≤0,4x+15=4x2.\sqrt{4x+15}+2x=0\Leftrightarrow\sqrt{4x+15}=-2x\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\leq0,\\4x+15=4x^2.\end{array}\right.

    А в нашей системе решение этого уравнения `x=-3/2` как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы, оказалось достаточно решить единственное уравнение

    4x+15=4x2⇔x=-32,x=52.4x+15=4x^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac32,\\x=\dfrac52.\end{array}\right.

    Теперь можно записать

    Ответ

    x∈-154;-32∪-32;52x\in\left[-\dfrac{15}4;-\dfrac32\right)\cup\left[-\dfrac32;\dfrac52\right).

    Пример 7

    Решите неравенство `(sqrt(2-x) +4x-3)/x >= 2`.

    Решение

    Найдём сначала ОДЗ*: `2-x>=0 iff x<=2`. 

    Теперь воспользуемся (УР К9):

    2-x+4x-3x≥2⇔2-x+2x-3x≥0⇔2-x-3-2xx≥0⇔ОДЗ*\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}x\geq2\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2-x}{\displaystyle+}{\displaystyle\left(2x-3\right)}}x\geq0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2-x}{\displaystyle-}{\displaystyle\left(3-2x\right)}}x\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow

    $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3-2x<0,\\x>0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}3-2x\geq0,\\\dfrac{2-x-\left(2x-3\right)^2}x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{4x^2-11x+7}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$

    $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow$$

    ⇔x>32,x∈-∞;0∪1;32⇔с учётом ОДЗ*x∈-∞;0∪1;2.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\dfrac32,\\x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left[1;\dfrac32\right]\end{array}\right.\overset{\mathrm с\;\mathrm{учётом}\;\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left[1;2\right].

    Систему неравенств x≤32,x-74x-1x≤0\left\{\begin{array}{l}x\leq\dfrac32,\\\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac74}\right)\left(x-1\right)}x\leq0\end{array}\right. решили классическим методом интервалов - рис. 3.

    Рис. 3

    Ответ

    `(- oo; 0) uu [1; 2]`.

    Пример 8

    `(sqrt(x^2 -4x+3) -2(x+7))/(x^2 -x-72) <= 0`.

    Решение

    Неравенство довольно громоздкое и сложное.

    Найдём сначала ОДЗ*:

    `x^2 -4x+3>=0 iff (x-1)(x-3)>=0 iff x in (- oo; 1] uu [3; +oo)`. 

    Затем рассмотрим отдельно два случая в зависимости от знака `(x+7)`.

    1. Если `x+7<0 iff x< -7`, то числитель положителен в ОДЗ* и  

    $$\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow x^2-x-72<0\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-9\right)<0\Leftrightarrow $$

    $$\Leftrightarrow x\in\left(-8;9\right)$$.

    Учитывая ограничение `x< -7`, получаем, что `x in (-8;-7)`. Оказалось, что этот промежуток принадлежит ОДЗ*. 

    2. Если `x+7>=0 iff x>= -7`, то воспользуемся правилом П К1. Тогда  

    x2-4x+3-2x+7x2-x-72≤0⇔ОДЗ*x2-4x+3-2x+72x-9x+8≤0⇔\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}-2\left(x+7\right)}{x^2-x-72}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}\ast}\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-4x+3\right){\displaystyle-}{\displaystyle\left(2\left(x+7\right)\right)^2}}{\left(x-9\right){\displaystyle\left(x+8\right)}}\leq0\Leftrightarrow

    ⇔3x2+60x+193x+8x-9≥0⇔x--30-3213x--30+3213x+8x-9≥0⇔x≥-7\Leftrightarrow\dfrac{3x^2+60x+193}{\left(x+8\right){\displaystyle\left(x-9\right)}}\geq0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-{\displaystyle\dfrac{-30-\sqrt{321}}3}\right)\left(x-{\displaystyle\dfrac{-30+\sqrt{321}}3}\right)}{\left(x+8\right)\left(x-9\right)}\geq0\overset{x\geq-7}\Leftrightarrow

    ⇔x≥-7-7;-30+3213∪9;+∞\overset{x\geq-7}\Leftrightarrow\left[-7;\dfrac{-30+\sqrt{321}}3\right]\cup\left(9;+\infty\right)

    с учётом ограничения `x>= -7`. Оказалось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому `x in (-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.

    Ответ

    `(-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.

    ПУНКТ 4. НЕРАВЕНСТВО ВИДА `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

    Роль сопряжённых выражений

    Теперь рассмотрим неравенство вида `(sqrt(f(x)) - sqrt(g(x)))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

    На вид довольно сложное неравенство. Разность `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` где-то на числовой оси положительна, где-то отрицательна, но сумма корней  `sqrt(f(x)) + sqrt(g(x))` всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному в ОДЗ неравенству, и  имеет место условие равносильности в ОДЗ

    fx-gxhx≥0⇔ОДЗfx-gxhx≥0\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-\sqrt{g\left(x\right)}}{h\left(x\right)}\geq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0 (УР К10)

    или полное условие равносильности, включающее ОДЗ:

    fx-gxhx≥0⇔fx≥0,gx≥0,fx-gxhx≥0\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}-\sqrt{g\left(x\right)}}{h\left(x\right)}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\geq0,\\g\left(x\right)\geq0,\\\dfrac{f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\geq0\end{array}\right. (УР К11)

    Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К2):

    Знак разности  `sqrt(f(x)) - sqrt(g(x))` совпадает со знаком разности `f(x) - g(x)`  в ОДЗ.  (П К2)
    Пример 9 (Демоверсия ЕГЭ - 2010) 

    Решите неравенство `(sqrt(1-x^3) -1)/(x+1) <= x` 

    и найдите наименьшую длину промежутка,  который содержит все его решения.


    Решение

    Замечательный пример на применение (УР К11)!

    Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы `x^2 +x+1` никогда в `0` не обращается - он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на `sqrt(x^2 +x+1)` можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда

    `(sqrt(1-x^3 ) -1)/(1+x) <= x iff (sqrt(1-x^3) -1-x-x^2 )/(1+x) <= 0 iff`

    `iff (sqrt((1-x)(x^2 +x+1)) - (sqrt(x^2 +x+1))^2)/(1+x) <= 0 iff`

    `iff (sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))/(1+x) <= 0 iff`

    `iff ((sqrt(1-x) - sqrt(x^2 +x+1))(sqrt(1-x) + sqrt(x^2 +x+1)))/(1+x) <= 0 iff`

    ⇔1-x≥0,1-x-x2+x+11+x≤0⇔x≤1,xx+21+x≥0⇔x∈-2;-1∪0;+∞⇔\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-x\geq0,\\\dfrac{\left(1-x\right)-\left(x^2+x+1\right)}{1+x}\leq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\leq1,\\\dfrac{x\left(x+2\right)}{1+x}\geq0\Leftrightarrow x\in\left[-2;-1\right)\cup\left[0;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow

    `iff x in [-2; -1) uu [0; 1]`.

    Неравенство решено методом интервалов - рис. 4.

    Рис. 4

    Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `3`.

    Ответ

    `[-2; -1) uu [0; 1], 3`.

    Пример 10

    Решите неравенство `(sqrt(4x^2 - 3x+2) - sqrt(4x-3))/(x^2 -5x+6) <=0`

    и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.

    Решение

    Найдём сначала ОДЗ*: 4x2-3x+2≥0,4x-3≥0⇔x≥34\left\{\begin{array}{l}4x^2-3x+2\geq0,\\4x-3\geq0\end{array}\right.\Leftrightarrow x\geq\dfrac34.

    Теперь можно решить неравенство, применив правило (П К2) :

    4x2-3x+2-4x-3x2-5x+6≤0⇔ОДЗ4x2-3x+2-4x+3x2-5x+6≤0⇔\dfrac{\sqrt{4x^2-3x+2}-\sqrt{4x-3}}{x^2-5x+6}\leq0\overset{\mathrm{ОДЗ}}\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-3x+2-4x+3}{x^2-5x+6}\leq0\Leftrightarrow

    ⇔4x2-7x+5x2-5x+6≤0⇔1x-2x-3≤0⇔x∈2;3\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-7x+5}{x^2-5x+6}\leq0\Leftrightarrow\dfrac1{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\leq0\Leftrightarrow x\in\left(2;3\right).

    Промежуток принадлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `1`.

    Ответ

    `(2; 3), 1`.

    ПУНКТ 5. НЕСТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО `(sqrt(f(x)))/(g(x)) >= 0 (<= 0)`.

    Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств.      

    Получим

    fxgx≥0≤0⇔fx=0,gx≠0;fx>0,gx>0<0.\dfrac{\sqrt{f\left(x\right)}}{g\left(x\right)}\geq0\left(\leq0\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=0,\\g\left(x\right)\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0,\\g\left(x\right)>0\left(<0\right).\end{array}\right.\end{array}\right. (УР10)
    Пример 11

    Решите неравенство `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0`.

    Решение

    Воспользуемся (УР10): `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0 iff`

    $$\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2=0,\\x^2-1\neq0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}6-x-x^2>0,\\x^2-1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3,\\x=2,\\\left\{\begin{array}{l}x\in\left(-3;2\right),\\x\in\left(-1;1\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\\\end{array}$$

    `iff x in {-3} uu (-1; 1) uu {2}`.

    Ответ

    `{-3} uu (-1; 1) uu {2}`.




  • §3. Неравенства, содержащие модуль
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 461 просмотр

    В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).

    Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.


    Пример 12 (МГУ 1993)

    Решите неравенство `|x-1|/{x+2}<1`.

    Решение

    `|x-1|/{x+2}<1hArr{|x-1|-x-2}/{x+2}<0`.

    1.   `x-1>=0hArrx>=1`:  `{x-1-x-2}/{x+2}=-3/{x+2}<0hArrx> -2`.

    Получаем в этом случае `x>=1`.

    2.  `x-1<0hArrx<1:   {-x+1-x-2}/{x+2}=-{2x+1}/{x+2}<0hArr{x+0,5}/{x+2}>0`.

    Рис. 5

    И мы получаем в этом случае `x in(-oo;-2)uu(-0,5; 1)`.

    Объединяя результаты 1, 2, получаем окончательный


    Ответ

    `(-oo;-2)uu(-0,5;+oo)`.


    Пример 13 (МГУ, 1992)

    Решите неравенство `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1`.

    Решение

    `{|x-5|-1}/{2|x-6|-4}<=1hArr{|x-5|-2|x-6|+3}/{2|x-6|-4}<=0`.

    1. `x>6: {x-5-2x+12+3}/{2x-12-4}={10-x}/{2x-16}<=0hArrx in(-oo;8)uu[10;+oo)`.

    Учитывая условие `x>6`, получаем `x in(6;8)in[10;+oo)`.

    2.  `5<=x<=6: {x-5+2x-12+3}/{-2x+12-4}={3x-14}/{8-2x}<=0hArrx in(-oo;4)uu[14/3;+oo)`.

    Учитывая условие `x in[5;6]`, получаем `x in[5;6]`.

    3. x<5: -x+5+2x-12+3-2x+12-4=x-48-2x≤0⇔-1≤0,x≠4.x<5:\;\dfrac{-x+5+2x-12+3}{-2x+12-4}=\dfrac{x-4}{8-2x}\leq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1\leq0,\\x\neq4.\end{array}\right.

    Учитывая условие `x<5`, получаем `x in(-oo;4)in(4;5)`.

    Ответ

    `(-oo;4)in(4;8)in[10;+oo)`.


    ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `|f(x)|<g(x)`


    Пусть в некоторой точке `a`  выполнено неравенство `|f(x)|<g(x)`, тогда `g(a)>0` и `|f(a)|g(a)`.


    Тогда имеет место рисунок 6


    Рис. 6



    и неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`.


    И, наоборот: пусть в некоторой точке `a` выполнены неравенства `-g(a)<f(a)<g(a)`. Тогда, во-первых, `-g(a)<g(a)hArrg(a)>0`, a, во-вторых, `|f(a)|<g(a)`. Следовательно, имеет место условие равносильности   


    f(x) < g(x)⇔-g(x) < f(x) < g(x)⇔f(x) < g(x),f(x) > -g(x)\left|f(x)\right|\;<\;g(x)\Leftrightarrow-g(x)\;<\;f(x)\;<\;g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)\;<\;g(x),\\f(x)\;>\;-g(x)\end{array}\right. (УРМ1)


    ПУНКТ 2.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|>g(x)`


    Пусть в некоторой точке `a` неравенство выполнено, т. е. `|f(x)|>g(x)`.


    Это означает, что, или,


    а) `g(a)<0` (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или,


    б) если `g(x)>=0`, имеет место рисунок 7


    Рис. 7


    и совокупность неравенств f(a)>g(a),f(a)<-g(a).\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right.


    И, наоборот, пусть в некоторой точке `a` имеет место совокупность неравенств  f(a)>g(a),f(a)<-g(a).\left[\begin{array}{l}f(a)>g(a),\\f(a)<-g(a).\end{array}\right. Тогда


    а) если `g(a)<0`, то неравенство `|f(a)|>g(a)` выполнено, 


    б) если `g(a)>=0`, то  имеет место предыдущая картинка и выполнено неравенство `|f(a)|>g(a)`.


    Следовательно, имеем равносильные соотношения 


    $$\vert f(x)\vert>g(x)$$ $$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f(x)>g(x),\\f(x)<-g(x).\end{array}\right.$$ (УР М2)


    Пример 14 (МГУ, 2000, ВМК)

    Решите неравенство `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.

    Решение

    $$ \begin{array}{l}\begin{array}{l}\left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\iff \right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2;\end{array}\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \right.\end{array}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ x\in [1;2],=2,\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{2}{3},\\ x\in (-\infty ;0]\cup [5;\infty )\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \end{array}$$

    `iff x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;oo)`.

    Ответ

    `(oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.


    ПУНКТ 3.  НЕРАВЕНСТВО ВИДА `|f(x)|<|g(x)|`


    Рассмотрим разность `|f(x)|-|g(x)|`. Она может быть любого знака, но сумма `|f(x)|+|g(x)|`  всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е. `(|f(x)|-|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)=(|f(x)|^2-|g(x)|^2)=(f^2(x)-g^2(x))=`


    `=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))` и


    знак разности  `|f(x)|-|g(x)|` совпадает со знаком произведения

    `(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))`

    		 (П М1)


    Имеем ещё одно условие равносильности


    `|f(x)|<|g(x)|hArr(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))<0`. (УР М3)


    Пример 15 (МФТИ, 2000)

    Решите неравенство $$ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0.$$

    Решение

    ОДЗ*:`-x^2+7x-6>=0hArr(x-1)(x-6)<=0hArrx in[1;6]`.

    В ОДЗ* имеем $$ \begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left|{x}^{2}-6x+5\right|-\left|{x}^{2}-2x-3\right|}}\le 0\iff (\mathrm{в} \mathrm{силу} \mathrm{УРМ}3)\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(2{x}^{2}-8x+2\right){\displaystyle \left(-4x+8\right)}}}\le 0\iff {\displaystyle \frac{\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}}{\left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right){\displaystyle \left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)}{\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}{\displaystyle )}}}\ge 0\iff \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-7x+6=0,\\ x\ne 2\pm \sqrt{3},\\ x\ne 2,\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=1,\\ x=6,\end{array}\right.\right.\\ \left(x-\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)\left(x-2\right)>0\iff \left(2-\sqrt{3};2\right)\cup \left(2+\sqrt{3};+\infty \right).\end{array}\right.\end{array}$$

    Учитывая ОДЗ*, получаем

    Рис. 8

    Ответ
    `[1;2)uu(2+sqrt3;6]`.





  • §4. Системы уравнений
    • 2 июня 2020 г.
    • 0 комментариев
    • 1497 просмотров


    1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем  в остальные. Получаем новую систему, в  которой число уравнений и неизвестных  на  одно  меньше. С новой системой поступаем так же до тех пор, пока это возможно.

    Однако  очень часто при решении системы  этим способом мы приходим к уравнениям, которые невозможно решить. Общих правил для решения систем не существует, но для некоторых  систем  существуют специальные приемы.

    2. Однородные системы 

    3. Симметрические системы

    4. Часто систему можно решить, если её сначала упростить с помощью равносильных преобразований.

    Приведём примеры некоторых преобразований, приводящих к равносильным системам.

    1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим равносильную систему.

    2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций, то система равносильна совокупности при условии, что справа 0. Например,

    f1x,yf2x,y=0,gx,y=0⇔f1x,y=0,gx,y=0.f2x,y=0gx,y=0.\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)f_2\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_2\left(x,y\right)=0\\g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.\end{array}\right. (УР С1)

    3. Если какое-нибудь уравнение системы  умножить на число, отличное от нуля, то получится система, равносильная исходной. 

    4. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию нескольких других, то получим равносильную систему. 

    Например,   

    f1x,y=0,f2x,y=0⇔f1x,y+af2x,y=0,f2x,y=0,\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)+af_2\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0,\end{array}\right. (УР С2)

    `a` - произвольное число.

    5. 

    f1x,y=g1x,y,f2x,y=g2x,y⇔f1x,yg1x,y≥0,f12x,y=g12x,y,f2x,y=g2x,y⇔\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right)\geq0,\\f_1^2\left(x,y\right)=g_1^2\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔f1x,y=0,g1x,y=0,f2x,y=g2x,y;f1x,yg1x,y>0,f12x,y=g12x,y,f2x,y=g2x,y.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=0,\\g_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right)>0,\\f_1^2\left(x,y\right)=g_1^2\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right).\end{array}\right.\end{array}\right.

    		 (УРС3)

    Обратим внимание на то, что в равносильной системе появилось дополнительное неравенство! (т. к. возведение в квадрат не всегда приводит к равносильному уравнению.)

    6. 

    f1x,y=g1x,y,f2x,y=g2x,y⇔\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right),\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔f1x,y=g1x,y=0,f2x,y=g2x,y;f1x,y=g1x,y≠0,f2x,yf1x,y=g2x,yg1x,y.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right);\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}f_1\left(x,y\right)=g_1\left(x,y\right)\neq0,\\f_2\left(x,y\right)f_1\left(x,y\right)=g_2\left(x,y\right)g_1\left(x,y\right).\end{array}\right.\end{array}\right.

    		 (УР С4)

    Обратим внимание на то, что в системе остается то уравнение, в котором обе части отличны от нуля!

    7. 

    fx,y=0,gx,y=0⇔fx,y+gx,y=0,fx,y-gx,y=0\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)-g\left(x,y\right)=0\end{array}\right. (УР С5)

    т. к. 

    fx,y=0,gx,y=0⇔fx,y+gx,y=0,gx,y=0⇔\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔fx,y+gx,y=0,fx,y+gx,y-2gx,y=0⇔fx,y+gx,y=0,fx,y-gx,y=0.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)-2g\left(x,y\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)+g\left(x,y\right)=0,\\f\left(x,y\right)-g\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.

    Пример 16

    Решите  систему  уравнений

     2x2+y-z=3,y+z-2x=1,x4+yz+y-2z=3.\left\{\begin{array}{l}2x^2+y-z=3,\\y+z-2x=1,\\x^4+yz+y-2z=3.\end{array}\right.

    Решение

    Выразим `y` из второго уравнения `y=1-z+2x`, подставим в первое и третье и получим систему с двумя неизвестными

    2x2+1-z+2x-z=3,x4+z1-z+2x+1-z+2x-2z=3⇔2x2+2x-2z=2,x4+2zx+2x-z2-2z=2.\left\{\begin{array}{l}2x^2+\left(1-z+2x\right)-z=3,\\x^4+z\left(1-z+2x\right)+\left(1-z+2x\right)-2z=3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x^2+2x-2z=2,\\x^4+2zx+2x-z^2-2z=2.\end{array}\right.

    Теперь выразим   из первого уравнения `z=x^2 +x-1` и, подставив  во второе, получим уравнение с одним неизвестным

    `x^4 +2x(x^2 +x-1) +2x-(x^2 +x-1)^2 -2(x^2 +x-1)=2 iff x^2 -1=0 =>`

    ⇒x=1⇒z=1⇒y=2,x=-1⇒z=-1⇒y=0.⇒\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow z=1\Rightarrow y=2,\\x=-1\Rightarrow z=-1\Rightarrow y=0.\end{array}\right.\Rightarrow

    Ответ

    `(1; 2; 1), (-1; 0; -1)`.

    Пример 17

    Решите систему уравнений

     x-2y+3z=9,x2+4y2+9z2=189,3xz=4y2.\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=9,\\x^2+4y^2+9z^2=189,\\3xz=4y^2.\end{array}\right.

    Решение

    Выразим `x` из первого уравнения и подставим во второе и третье уравнения. Тогда получим равносильную систему

    x=2y-3z+9,4y2+9z2-6yz-27z+18y=54⇔6yz-9z2+27z-4y2=0.\left\{\begin{array}{l}x=2y-3z+9,\\4y^2+9z^2-6yz-27z+18y=54\Leftrightarrow\\6yz-9z^2+27z-4y^2=0.\end{array}\right.

    Теперь прибавим ко второму уравнению третье

    x=2y-3z+9,18y=54⇔y=3,18z-9z2+27z-36=0⇔z=5±32⇔y=3, z=4⇒x=3;y=3, z=1⇒x=12.\left\{\begin{array}{l}x=2y-3z+9,\\18y=54\Leftrightarrow y=3,\\18z-9z^2+27z-36=0\Leftrightarrow z=\dfrac{5\pm3}2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=3,\;z=4\Rightarrow x=3;\\y=3,\;z=1\Rightarrow x=12.\end{array}\right.


    Ответ

    `(3, 3, 4), (12, 3, 1)`.

    Пример 18 (МФТИ, 1996) 

    Решите систему уравнений 

    x2+2xy-8y2+9x+30y+8=0,x2+6xy+8y2-2x-8=0.\left\{\begin{array}{l}x^2+2xy-8y^2+9x+30y+8=0,\\x^2+6xy+8y^2-2x-8=0.\end{array}\right.

    Решение

    В данной системе будем рассматривать каждое уравнение как квадратное относительно, например, `x`. Так как дискриминанты обоих уравнений являются полными квадратами, оказывается возможным свести систему двух нелинейных уравнений к совокупности четырёх линейных систем.

    x2+2xy-8y2+9x+30y+8=x2+x2y+9-8y2-30y-8=0,x2+6xy+8y2-2x-8=x2+2x3y-1-8-8y2=0⇔\left\{\begin{array}{l}x^2+2xy-8y^2+9x+30y+8=x^2+x\left(2y+9\right)-\left(8y^2-30y-8\right)=0,\\x^2+6xy+8y^2-2x-8=x^2+2x\left(3y-1\right)-\left(8-8y^2\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔x=-2y-9±6y-72⇔x-2y+8x+4y+1=0,x=-3y+1±y-31⇔x+2y+2x+4y-4=0⇔\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{-2y-9\pm\left(6y-7\right)}2\Leftrightarrow\left(x-2y+8\right)\left(x+4y+1\right)=0,\\x=\dfrac{-3y+1\pm\left(y-3\right)}1\Leftrightarrow\left(x+2y+2\right)\left(x+4y-4\right)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔x-2y+8=0,x+2y+2=0;x-2y+8=0,x+4y-4=0;x+4y+1=0,x+2y+2=0;x+4y+1=0,x+4y-4=0⇔x=-5,y=32;x=-4,y=2;x=-3,y=12;∅.⇒\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0,\\x+2y+2=0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0,\\x+4y-4=0;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x+4y+1=0,\\x+2y+2=0;\end{array}\right.\end{array}\\\left\{\begin{array}{l}x+4y+1=0,\\x+4y-4=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=-5,\\y=\dfrac32;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-4,\\y=2;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-3,\\y=\dfrac12;\end{array}\right.\end{array}\\\left\{\varnothing.\right.\end{array}\right.\Rightarrow

    Ответ

    `(-5; 3/2), (-4; 2), (-3; 1/2)`.

    Пример 19 (МФТИ, 1999) 

    Решите систему уравнений

    x2-4x+4y+27=0,y2+2x+8y+10=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\y^2+2x+8y+10=0.\end{array}\right.

    Решение

    x2-4x+4y+27=0,y2+2x+8y+10=0⇔\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\y^2+2x+8y+10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    Заменим второе уравнение системы суммой

    ⇔x2-4x+4y+27=0,x2-4x+4y+27+y2+2x+8y+10=0⇔\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\x^2-4x+4y+27+y^2+2x+8y+10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    ⇔x2-4x+4y+27=0,x-12+y+62=0⇔x=1,y=-6⇔12-4·1+4-6+27=0,x=1,y=-6.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4y+27=0,\\\left(x-1\right)^2+\left(y+6\right)^2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1,\\y=-6\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1^2-4\cdot1+4\left(-6\right)+27=0,\\x=1,\\y=-6.\end{array}\right.

    Заметим, что решение второго уравнения - это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.

    Ответ

    `(1, -6)`.