ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
Энергия, передаваемая телу окружающей средой (другим телом) без совершения работы, называется количеством теплоты. Такой процесс передачи энергии называется теплообменом.
Сообщим телу (термодинамической системе) в некотором процессе небольшое количество теплоты . Будем считать , если тело получает теплоту, и , если отдаёт теплоту. Температура тела при этом изменяется на величину . При повышении температуры , при понижении температуры . Теплоёмкостью тела в данном процессе называется величина
(12)
Из определения теплоёмкости не следует, что она должна оставаться постоянной в данном процессе. Теплоёмкость может изменяться в течение процесса.
 |
Ясно, что теплоёмкость одного и того же тела может быть положительной, отрицательной, нулевой и даже бесконечной в зависимости от характера процесса. Приведём примеры. Пусть есть газ в цилиндре с поршнем (рис. 6). Осуществим с этим газом четыре различных процесса.
Будем подогревать газ, закрепив поршень. В таком процессе, когда объём газа постоянен, и . Следовательно,
Передвигаем поршень влево, уменьшая объём газа. Газ будет нагреваться, т. е. . Дадим возможность газу отдавать тепло через стенки цилиндра окружающей среде так, чтобы температура газа всё же повышалась (поместим цилиндр в более холодную среду).
Тогда количество теплоты, сообщённое газу, и теплоёмкость газа в таком процессе отрицательна.
Процесс сжатия газа проведём адиабатически, заключив цилиндр в теплонепроницаемую оболочку и теплоизолировав поверхность поршня от газа. В таком процессе , и теплоёмкость газа равна нулю.
Будем сообщать газу теплоту, двигая при этом поршень вправо так, чтобы температура оставалась постоянной (изотермический процесс). Тогда и и .
Введём понятия удельной и молярной теплоёмкостей.
Удельная теплоёмкость – теплоёмкость единицы массы тела:
. (13)
Молярная теплоёмкость – теплоёмкость одного моля тела:
. (14)
Здесь – число молей тела, – масса тела.
Очевидно, что знаки удельной и молярной теплоёмкостей совпадают со знаком теплоёмкости тела в данном процессе. Легко показать, что
; .
Внутренняя энергия тела (термодинамической системы) может меняться при совершении работы и в процессе теплопередачи. Закон сохранения и превращения энергии, распространённый на тепловые явления, называется первым законом термодинамики (первым началом термодинамики) и записывается в виде
$$ Q=∆U+A$$. (15)
Здесь $$ Q$$ – количество теплоты, сообщённое системе. $$ Q$$ считается положительным, если система в процессе теплопередачи получает энергию, и отрицательным, если отдаёт энергию, $$ ∆U$$ – изменение внутренней энергии системы, $$ A$$ – работа, совершаемая системой над окружающими телами. В зависимости от характера процесса $$ Q$$, $$ ∆U$$ и $$ A$$ могут быть любого знака и даже нулевыми.
Покажем, что для любого идеального газа (одноатомного, двухатомного, многоатомного) изменение внутренней энергии $$ ∆U$$ в любом процессе можно находить по формуле
$$ ∆U=\nu {c}_{V}∆T$$. (16)
Здесь $$ Q$$ – изменение температуры в этом процессе, $$ \nu $$ – число молей газа, $$ {c}_{V}$$ – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме.
Для доказательства проведём с газом процесс при постоянном объёме, изменив температуру от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$ $$ (∆T={T}_{2}-{T}_{1})$$. Тогда количество теплоты $$ Q=\nu {c}_{V}·∆T$$, согласно определению теплоёмкости, а работа газа $$ A=0$$, т. к. объём `V="const"`. По первому закону термодинамики $$ Q=∆U+A$$, и поэтому $$ \nu {c}_{V}∆T=∆U$$. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то в любом другом процессе, когда температура меняется от $$ {T}_{1}$$ до $$ {T}_{2}$$, изменение внутренней энергии находится по формуле, полученной в процессе с `V="const"`.
У идеального газа при $$ T=0$$ значение внутренней энергии полагается равным нулю. Если считать ещё, что $$ {c}_{V}$$ не зависит от температуры, т. е. `c_V="const"`, то можно записать, что
$$ U=\nu {c}_{V}T$$ (17)
Найдём значение молярной теплоёмкости при постоянном объёме у одноатомного идеального газа. Поскольку $$ ∆U=\nu {c}_{V}∆T$$ и $$ ∆U={\displaystyle \frac{3}{2}}R\nu ∆T$$, то $$ {c}_{V}={\displaystyle \frac{3}{2}}R$$. Интересно заметить, что молярная теплоёмкость при постоянном объёме у всех одноатомных идеальных газов получилась одна и та же:
$$ {c}_{V}={\displaystyle \frac{3}{2}}R$$ (18)
Оказывается, что молярные теплоёмкости при постоянном объёме у всех двухатомных идеальных газов равны $$ {\displaystyle \frac{5}{2}}R$$, а у трёхатомных и многоатомных (атомы у которых расположены не на одной прямой) – $$ 3R$$. Удельные же теплоёмкости у всех одноатомных идеальных газов различные и зависят от молярной массы. Аналогично для двухатомных и многоатомных газов. Заметим, что указанные значения молярной теплоёмкости верны, если температура газа не слишком велика, и поэтому колебания атомов в молекуле не учитываются.
Приведём полезную таблицу с выражениями для молярной теплоёмкости $$ {c}_{V}$$ и средней кинетической энергии `barE` поступательного и вращательного движений молекулы у одноатомного, двухатомного и многоатомного идеального газа (в этой таблице $$ k$$ – постоянная Больцмана):
| Газ | |||
| одноатомный | двухатомный | многоатомный | |
| `barE` | `3/2kT` | `5/2kT` | `3kT` |
| `c_V` | `3/2R` | `5/2R` | `3R` |
В заключение выведем уравнение Роберта Майера
$$ {c}_{p}={c}_{V}+R$$, (19)
связывающее молярные теплоёмкости при постоянном давлении $$ {c}_{p}$$ и постоянном объёме $$ {c}_{V}$$ для любого идеального газа.
Для вывода проведём изобарический процесс с молями идеального газа, переведя газ из состояния с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{1}$$, $$ {T}_{1}$$ в состояние с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{2}$$, $$ {T}_{2}$$. По первому закону термодинамики $$ \nu {c}_{p}∆T=\nu {c}_{V}∆T+p∆V$$. Запишем уравнения состояния газа $$ p{V}_{1}=\nu R{T}_{1}$$ и $$ p{V}_{2}=\nu R{T}_{2}$$. Вычтя из одного уравнения другое и учтя, что $$ {V}_{2}-{V}_{1}=∆V$$ и $$ {T}_{2}-{T}_{1}=∆T$$, получим $$ p∆V=\nu R∆T$$. Таким образом, $$ \nu {c}_{p}∆T=\nu {c}_{V}∆T+\nu R∆T$$. Отсюда $$ {c}_{p}={c}_{V}+R$$.
Теплоизолированный сосуд разделён на две части перегородкой. В одной части находится $$ {\nu }_{1}$$ молей молекулярного кислорода ($$ {\mathrm{O}}_{2}$$) при температуре $$ {T}_{1}$$, а в другом – $$ {\nu }_{2}$$ молей азота ($$ {N}_{2}$$) при температуре $$ {T}_{2}$$. Какая температура установится в смеси газов после того, как в перегородке появится отверстие?
Рассмотрим систему из двух газов. Оба газа двухатомные. У них одинаковая молярная теплоёмкость при постоянном объёме $$ {c}_{V}$$. Система из двух газов не получает тепла от других тел и работы над телами, не входящими в систему, не совершает. Поэтому внутренняя энергия системы сохраняется:
$$ {\nu }_{1}{c}_{V}{T}_{1}+{\nu }_{2}{c}_{V}{T}_{2}={\nu }_{1}{c}_{v}T+{\nu }_{2}{c}_{V}T$$
Отсюда температура смеси
$$ T={\displaystyle \frac{{\nu }_{1}{T}_{1}+{\nu }_{2}{T}_{2}}{{\nu }_{1}+{\nu }_{2}}}$$.
Идеальный газ массой $$ m=1 \mathrm{кг}$$ находится под давлением $$ P=\mathrm{1,5}·{10}^{5} \mathrm{Па}$$. Газ нагрели, давая ему расширяться. Какова удельная теплоёмкость газа в этом процессе, если его температура повысилась на $$ ∆T= 2 \mathrm{К}$$, а объём увеличился на $$ ∆V=\mathrm{0,002} {\mathrm{м}}^{3}$$? Удельная теплоёмкость этого газа при постоянном объёме $$ {c}_{\mathrm{уд}V}=700 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$. Предполагается, что изменения параметров газа в результате проведения процесса малы.
Удельная теплоёмкость в данном процессе
$$ {c}_{\mathrm{уд}}={\displaystyle \frac{∆Q}{m∆T}}$$
По первому закону термодинамики $$ ∆Q=m{c}_{удV}∆T+p∆V$$. Итак,
$$ {c}_{\mathrm{уд}}={c}_{\mathrm{уд}V}+{\displaystyle \frac{p∆V}{m∆T}}=850 \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$.
В цилиндре под поршнем находится некоторая масса воздуха. На его нагревание при постоянном давлении затрачено количество теплоты $$ Q=10 \mathrm{кДж}$$. Найти работу, совершённую при этом газом. Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении $$ {c}_{\mathrm{уд}P}={10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$ю Молярная масса воздуха $$ \mu =29 \mathrm{г}/\mathrm{моль}$$.
1 способ. Пусть газ перевели из состояния с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{1}$$, $$ {T}_{1}$$ в состояние с параметрами $$ p$$, $$ {V}_{2}$$, $$ {T}_{2}$$. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для обоих состояний и вычтем из одного уравнения другое. Учитывая, что $$ {V}_{2}-{V}_{1}=∆V$$, $$ {T}_{2}-{T}_{1}=∆T$$, имеем $$ p∆V={\displaystyle \frac{m}{\mu }}R∆T$$. Но $$ p∆V=A$$ – работа газа. Поэтому $$ A={\displaystyle \frac{m}{\mu }}R∆T$$. При изобарическом процессе $$ Q=m{c}_{\mathrm{уд}p}∆T$$. Окончательно,
$$ A={\displaystyle \frac{RQ}{\mu {c}_{\mathrm{уд}p}}}\approx \mathrm{2,74}·{10}^{3 } \mathrm{Дж}=\mathrm{2,74} \mathrm{кДж}$$
2 способ. Согласно уравнению Р. Майера удельные теплоёмкости при постоянном давлениии $$ {c}_{\mathrm{уд}p}$$ и при постоянном объёме $$ {c}_{\mathrm{уд}V}$$ связаны соотношением $$ {c}_{\mathrm{уд}V}={c}_{\mathrm{уд}p}-{\displaystyle \frac{R}{\mu }}$$. По первому закону термодинамики $$ Q=m{c}_{\mathrm{уд}V}∆T+A$$. Подставляя в последнее равенство $$ m={\displaystyle \frac{Q}{{c}_{\mathrm{уд}}∆T}}$$ и выражение для $$ {c}_{\mathrm{уд}V}$$ находим `A`.
называется термодинамический процесс с телом, в результате совершения которого тело, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние.
 |
Если все процессы в цикле равновесные, то цикл считается равновесными. Его можноизобразить графически, и получится замкнутая кривая. На рис. 7 показан график зависимости давления `p` от объёма `V` (диаграмма $$ p-V$$) для некоторого цикла `1–2–3–4–1`, совершаемого газом. На участке `4–1–2` газ расширяется и совершает положительную работу `A_1`, численно равную площади фигуры $$ {V}_{1}412{V}_{2}$$. На участке `2–3–4` газ сжимается и совершает отрицательную работу $$ {A}_{2}$$, модуль которой равен площади фигуры $$ {V}_{2}234{V}_{1}$$. Полная работа газа за цикл $$ A={A}_{1}+{A}_{2}$$, т. е. положительна и равна площади фигуры `1–2–3–4–1`, изображающей цикл на диаграмме $$ p-V$$.
называется круговой процесс, в котором тело совершает положительную работу за цикл. Прямой равновесный цикл на диаграмме $$ p-V$$ изображается замкнутой кривой, которая обходится по часовой стрелке. Пример прямого цикла дан на рис. 7.
называется круговой процесс, в котором тело совершает отрицательную работу за цикл. На диаграмме $$ p-V$$ замкнутая кривая равновесного обратного цикла обходится против часовой стрелки.
В любом равновесном цикле работа за цикл равна по модулю площади фигуры, ограниченной кривой на диаграмме $$ p-V$$.
В круговом процессе тело возвращается в исходное состояние, т. е. в состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: $$ ∆U=0$$. Так как по первому закону термодинамики для всего цикла $$ Q=∆U+A$$, то $$ Q=A$$. Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученной телом за цикл, равна работе тела за цикл.
На некоторых участках прямого цикла тело получает от окружающих тел количество теплоты $$ {Q}^{+}$$ $$ ({Q}^{+}>0)$$, а на некоторых отдаёт $$ {Q}^{-}$$ т. е. получает отрицательное количество теплоты `«-Q^(-)»` `(Q^(-)>0)`.
За цикл тело совершает положительную работу `A`.
Коэффициентом полезного действия прямого цикла называется величина $$ \eta ={\displaystyle \frac{A}{{Q}^{+}}}$$.
Поскольку $$ A={Q}^{+}+(-{Q}^{-})$$, то
$$ \eta ={\displaystyle \frac{{Q}^{+}-{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}=1-{\displaystyle \frac{{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}$$. (20)
Для обратного цикла коэффициент полезного действия не вводится.
Пусть есть тело, называемое рабочим телом, которое может совершать цикл (не обязательно равновесный), периодически вступая в тепловой контакт с двумя телами. Тело с более высокой температурой назовём условно нагревателем, а с более низкой температурой – холодильником. За цикл рабочее тело совершает положительную или отрицательную работу $$ A$$. Такое устройство будем называть тепловой машиной. Тепловая машина, которая служит для получения механической работы, называется тепловым двигателем. Тепловая машина, служащая для передачи количества теплоты от менее нагретого тела (холодильника) к более нагретому (нагревателю), используя работу окружающих тел над рабочим телом, называется тепловым насосом или холодильной установкой (холодильником). Деление на тепловые насосы и холодильные установки условное, связанное с предназначением этих тепловых машин. Тепловой насос используется для поддержания в помещении температуры, которая выше температуры окружающей среды. Холодильная установка используется для поддержания в некотором объёме (камере) температуры более низкой, чем снаружи.
 |
В тепловом двигателе рабочее тело совершает прямой цикл, а в тепловом насосе и холодильной установке – обратный.
В тепловом двигателе рабочее тело получает за цикл от нагревателя количество теплоты $$ {Q}^{+}$$ (рис. 8) и отдаёт холодильнику положительное количество теплоты $$ {Q}^{-}$$ (получает от холодильника отрицательное количество теплоты «$$ -{Q}^{-}$$»). При этом за цикл рабочее тело совершает работу $$ A$$. Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового двигателя называется КПД соответствующего прямого цикла, т. е. отношение совершаемой за цикл работы $$ A$$ к полученному за цикл от нагревателя количеству теплоты $$ {Q}^{+}:$$
$$ \eta ={\displaystyle \frac{A}{{Q}^{+}}}$$.
По первому закону термодинамики, применённому к рабочему телу теплового двигателя за цикл, $$ {Q}^{+}+(-{Q}^{-})=A.$$ Поэтому
$$ \eta ={\displaystyle \frac{{Q}^{+}-{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}=1-{\displaystyle \frac{{Q}^{-}}{{Q}^{+}}}$$.
Видим, что КПД теплового двигателя меньше единицы. Причиной этого является то, что для обеспечения периодичности в работе теплового двигателя необходимо часть тепла, взятого у нагревателя, обязательно отдать холодильнику.
С. Карно (1796 – 1832) установил, что максимальный КПД теплового двигателя, работающего с нагревателем температуры $$ {T}_{1}$$ и холодильником температуры $$ {T}_{2}$$, независимо от рабочего тела есть
$$ \eta =1-{\displaystyle \frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$$. (21)
Это достигается, если рабочее тело совершает цикл Карно, т. е. равновесный цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм с температурами $$ {T}_{1}$$ и $$ {T}_{2}$$. На изотерме с $$ {T}_{1}$$ рабочее тело получает тепло от нагревателя, а на изотерме с $$ {T}_{2}$$ – отдаёт тепло холодильнику. Цикл Карно для идеального газа изображён на рис. 9: `1-2` и `3-4` – изотермы, `2-3` и `4-1` – адиабаты. Тепловая машина, работающая по прямому или обратному циклу Карно, называется идеальной тепловой машиной.
Газ, совершающий цикл Карно, отдаёт холодильнику `70%` теплоты, полученной от нагревателя. Температура нагревателя $$ {T}_{1}=400 \mathrm{К}$$. Найти температуру холодильника.
Пусть газ получает за цикл от нагревателя количество теплоты $$ {Q}_{1}$$. Тогда холодильник получает от газа количество теплоты $$ \mathrm{0,7}{Q}_{1}$$. Применив первый закон термодинамики для всего цикла, получим, что $$ {Q}_{1}+(-\mathrm{0,7}{Q}_{1})=A$$. Отсюда работа за цикл $$ A=\mathrm{0,3}{Q}_{1}$$ . КПД цикла $$ \eta ={\displaystyle \frac{A}{{Q}_{1}}}=\mathrm{0,3}$$. Поскольку для цикла Карно $$ \eta =1-{\displaystyle \frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$$, то температура холодильника
$$ {T}_{2}={T}_{1}(1-\eta )=\mathrm{0,7}{T}_{1}=280 \mathrm{К}$$.
 |
КПД тепловой машины, работающей по циклу (рис. 10), состоящему из изотермы `1 – 2`, изохоры `2 – 3` и адиабатического процесса `3 – 1`, равен $$ \eta $$, а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна $$ ∆T$$. Найти работу, совершённую $$ \nu $$ молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.
При решении задач, в которых фигурирует КПД цикла, полезно предварительно проанализировать все участки цикла, используя первый закон термодинамики, и выявить участки, где рабочее тело получает и где отдаёт тепло.
Проведём мысленно ряд изотерм на диаграмме `p-V`. Тогда станет ясно, что максимальная температура в цикле будет на изотерме `1 – 2`, а минимальная в точке `3`. Обозначим их через $$ {T}_{1}$$ и $$ {T}_{3}$$ соответственно.
Для участка `1 – 2` изменение внутренней энергии $$ {U}_{2}-{U}_{1}=0$$. По первому закону термодинамики $$ {Q}_{12}=({U}_{2}-{U}_{1})+{A}_{12}$$. Так как на участке `1 – 2` газ расширялся, то работа газа $$ {A}_{12}>0$$. Значит, и подведённое к газу тепло на этом участке $$ {Q}_{12}>0$$ , причём $$ {Q}_{12}={A}_{12}$$ .
На участке `2 – 3` работа газа равна нулю. Поэтому $$ {Q}_{23}={U}_{3}-{U}_{2}$$. Воспользовавшись записанными выше выражениями для $$ {U}_{3}$$ и $$ {U}_{2}$$ и тем, что $$ {T}_{1}-{T}_{3}=∆T$$, получим . Это означает, что на участке `2 – 3` газ получает отрицательное количество теплоты, т. е. фактически отдаёт тепло.
На участке `3 – 1` теплообмена нет, т. е. $$ {Q}_{31}=0$$ и по 1-му закону термодинамики $$ 0=({U}_{1}-{U}_{3})+{A}_{31}$$. Тогда работа газа
$$ {A}_{31}={U}_{3}-{U}_{1}=\nu {c}_{V}\left({T}_{3}-{T}_{1}\right)=-\nu {c}_{V}∆T$$.
Итак, за цикл газ совершил работу $$ {A}_{12}+{A}_{31}={A}_{12}-\nu {c}_{V}∆T$$ и получил тепло только на участке `1 – 2`. КПД цикла
$$ \eta ={\displaystyle \frac{{A}_{12}+{A}_{31}}{{Q}_{12}}}={\displaystyle \frac{{A}_{12}-\nu {c}_{V}∆T}{{A}_{12}}}$$.
Так как $$ {c}_{V}={\displaystyle \frac{3}{2}}R$$, то работа газа на изотерме
$$ {A}_{12}={\displaystyle \frac{3\nu R∆T}{2(1-\eta )}}$$.
Состояния, в которых может находиться то или иное вещество, можно разделить на так называемые агрегатные состояния: твёрдое, жидкое, газообразное. У некоторых веществ нет резкой границы между различными агрегатными состояниями. Например, при нагревании стекла (или другого аморфного вещества) происходит постепенное его размягчение, и невозможно установить момент перехода из твёрдого состояния в жидкое.
Вещество может переходить из одного состояния в другое. Если при этом меняется агрегатное состояние вещества или скачком меняются некоторые характеристики и физические свойства вещества (объём, плотность, теплопроводность, теплоёмкость и др.), то говорят, что произошёл фазовый переход – вещество перешло из одной фазы в другую.
называется физически однородная часть вещества, отделённая от других частей границей раздела.
Пусть в сосуде заключена вода, над которой находится смесь воздуха и водяных паров. Эта система является двухфазной, состоящей из жидкой фазы и газообразной. Можно сделать систему и с двумя различными жидкими фазами: капелька ртути в сосуде с водой. Капельки тумана в воздухе образуют с ним двухфазную систему.
Условия равновесия фаз для многокомпонентных веществ, т. е. веществ, состоящих из однородной смеси нескольких сортов молекул, достаточно сложны. Например, для смеси вода – спирт газообразная и жидкая фазы этой смеси при равновесии имеют различные концентрации своих компонент, зависящие от давления и температуры. Ниже будут рассмотрены фазовые превращения только для однокомпонентных веществ.
При заданном давлении существует вполне определённая температура, при которой две фазы однокомпонентного вещества находятся в равновесии и могут переходить друг в друга при этой температуре. Пока одна фаза полностью не перейдёт в другую, температура будет оставаться постоянной, несмотря на подвод или отвод тепла. Поясним это на примерах.
Рассмотрим двухфазную систему вода – пар, находящуюся в замкнутом сосуде. При давлении $$ {p}_{0}=1 атм\approx {10}^{5} \mathrm{Па}$$ равновесие между паром и водой наступит при `100^@"C"`. Подвод к системе тепла вызывает кипение – переход жидкости в газ при постоянной температуре. Отвод от системы тепла вызывает конденсацию – переход пара в жидкость. При давлении $$ \mathrm{0,58}{p}_{0}$$ (почти вдвое меньше нормального атмосферного) равновесие между паром и водой наступает при `85^@"C"`. При давлении $$ 2{p}_{0}$$ равновесие фаз достигается при температуре `~~120^@"C"` (такие условия в скороварке).
Другой пример. Фазовое равновесие между льдом и водой при внешнем давлении $$ {p}_{0}=1 \mathrm{атм}$$ осуществляется, как известно, при `0^@"C"`. Увеличение внешнего давления на одну атмосферу понижает температуру фазового перехода на `0,007^@"C"`. Это значит, что температура плавления льда понизится на эту же незначительную величину.
Фазовые переходы для однокомпонентного вещества, сопровождающиеся переходом из одного агрегатного состояния в другое, идут с поглощением или выделением тепла. К ним относятся плавление и кристаллизация, испарение и конденсация. Причём, если при переходе из одной фазы в другую тепло выделяется, то при обратном переходе поглощается такое же количество теплоты.
Чтобы расплавить кристаллическое тело массой $$ m$$, надо подвести количество теплоты
$$ Q=\lambda ·m$$. (22)
Коэффициент пропорциональности $$ \lambda $$ называется удельной теплотой плавления. Вообще говоря, $$ \lambda $$ зависит от той температуры, при которой происходит фазовый переход (температура плавления). Во многих реальных ситуациях этой зависимостью можно пренебречь.
Для превращения в пар жидкости массой `m` надо подвести количество теплоты
$$ Q=r·m$$ (23)
Коэффициент пропорциональности $$ r$$ называется удельной теплотой парообразования. $$ r$$ зависит от температуры кипения, т. е. от той температуры, при которой осуществляется фазовое равновесие жидкость – пар для заданного давления.
Значения $$ \lambda $$ и $$ r$$ для разных веществ даются в таблицах обычно для тех температур фазовых переходов, которые соответствуют нормальному атмосферному давлению. При этом в величины $$ \lambda $$ и особенно $$ r$$ входит не только изменение внутренней энергии вещества при переходе одной фазы в другую, но и работа этого вещества над внешними телами при фазовом переходе! Например, удельная теплота парообразования воды при `100^@"C"` и $$ p\approx {10}^{5} \mathrm{Па}$$ на `9//10` состоит из изменения внутренней энергии вода - пар и на `1//10` (чуть меньше) из работы, которую совершает расширяющийся пар над окружающими телами.
В латунном калориметре массой $$ {m}_{1}=200 \mathrm{г}$$ находится кусок льда массой $$ {m}_{2}=100 \mathrm{г}$$ при температуре `t_1=-10^@"C"`. Сколько пара, имеющего температуру `t_2=100^@"C"`, необходимо впустить в калориметр, чтобы образовавшаяся вода имела температуру `40^@"C"`?
Удельные теплоёмкости латуни, льда и воды $$ {c}_{1}=\mathrm{0,4}·{10}^{3 } \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$,
$$ {c}_{2}=\mathrm{2,1}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$ ,
$$ {c}_{3}=\mathrm{4,19}·{10}^{3} \mathrm{Дж}/(\mathrm{кг}·\mathrm{К})$$ соответственно; удельная теплота парообразования воды `r=22,6*10^5 "Дж"//"кг"`;
удельная теплота плавления льда $$ \lambda =\mathrm{33,6}·{10}^{4} \mathrm{Дж}/\mathrm{кг}$$
При конденсации пара массой $$ m$$ при `100^@"C"` ($$ {T}_{2}=373 \mathrm{К}$$) выделяется количество теплоты $$ {Q}_{1}=rm$$. При охлаждении получившейся воды от $$ {T}_{2}=373 \mathrm{К}$$ до $$ \theta =313 К$$ `(40^@"C")` выделяется количество теплоты $$ {Q}_{2}={c}_{3}m({T}_{2}-\theta ).$$
При нагревании льда от $$ {T}_{1}=263 \mathrm{К}$$ `(-10^@"C")` до $$ {T}_{0}=273 \mathrm{К}$$ `(0^@"C")` поглощается количество теплоты $$ {Q}_{3}={c}_{2}{m}_{2}({T}_{0}-{T}_{1})$$. При плавлении льда поглощается количество теплоты $$ {Q}_{4}=\lambda {m}_{2}$$. При нагревании получившейся воды от $$ {T}_{0}$$ до $$ \theta $$ поглощается количество теплоты $$ {Q}_{5}={c}_{3}{m}_{2}(\theta -{T}_{0})$$. Для нагревания калориметра от $$ {T}_{1} $$ до $$ \theta $$ требуется количество теплоты $$ {Q}_{6}={c}_{1}{m}_{1}(\theta -{T}_{1})$$. По закону сохранения энергии
$$ {Q}_{1}+{Q}_{2}={Q}_{3}+{Q}_{4}+{Q}_{5}+{Q}_{6}$$, или
$$ rm+{c}_{3}m({T}_{2}-\theta )={c}_{2}{m}_{2}({T}_{0}-{T}_{1})+\lambda {m}_{2}+{c}_{3}{m}_{2}(\theta -{T}_{0})+{c}_{1}{m}_{1}(\theta -{T}_{1})$$.
Отсюда $$ m={\displaystyle \frac{{c}_{2}{m}_{2}({T}_{0}-{T}_{1})+\lambda {m}_{2}+{c}_{3}{m}_{2}(\theta -{T}_{0})+{c}_{1}{m}_{1}(\theta -{T}_{1})}{r+{c}_{3}({T}_{2}-\theta )}}\approx $$
$$ \approx 22·{10}^{-3} \mathrm{кг}=22 \mathrm{г}$$.
называется пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью: скорость испарения равна скорости конденсации.
Давление и плотность насыщенного пара для данного вещества зависят от его температуры и увеличиваются при увеличении температуры.
Условие кипения жидкости – это условие роста пузырьков насыщенного пара в жидкости. Пузырёк может расти, если давление насыщенного пара внутри него будет не меньше внешнего давления. Итак,
жидкость кипит при той температуре, при которой давление её насыщенных паров равно внешнему давлению.
Приведём полезный пример.
Известно, что при нормальном атмосферном давлении `p_0~~10^5 "Па"` вода кипит при `100^@"C"`. Это означает, что давление насыщенных паров воды при `100^@"C"` равно `p_0~~10^5 "Па"`.
Пары воды в атмосферном воздухе обычно ненасыщенные. Абсолютной влажностью воздуха называется плотность водяных паров `rho`. Относительной влажностью воздуха называется величина
`varphi=p/p_"нас"`. (24)
Здесь `p` – парциальное давление паров воды при данной температуре в смеси воздух – пары воды, `p_"нас"` – парциальное давление насыщенных водяных паров при той же температуре. Опыт показывает, что `p_"нас"` зависит только от температуры и не зависит от плотности и состава воздуха.
Если пар считать идеальным газом, то `p=rho/muRT`, `p_"нас"=(rho_"нас")/muRT`,
где `rho` и `rho_"нас"` – плотности ненасыщенного и насыщенного водяного пара, `mu=18 "г"//"моль"`. Деление одного уравнения на другое даёт `p/p_"нас"=rho/rho_"нас"`. Итак,
`varphi=p/p_"нас"~~rho/rho_"нас"`. (25)
Воздух имеет температуру `60^@"C"` и абсолютную влажность `50 "г"//"м"^3`. Какой будет абсолютная влажность этого воздуха, если температура понизится до `10^@"C"`? Известно, что при `10^@"C"` давление насыщенного пара воды `p=1230 "Па"`.
При `10^@"C"` `(T=283 "К")` плотность насыщенных паров воды
`rho=(mup)/(RT)=9,4*10^(-3) "кг"//"м"^3=9,4 "г"//"м"^3`.
Эта величина меньше, чем `50 "г"//"м"^3`. Поэтому часть пара сконденсируется, и абсолютная влажность будет `9,4 "г"//"м"^3`.
Настоящее задание посвящено основным законам механики - законам Ньютона и их следствиям: законам изменения и сохранения импульса и энергии материальной точки и систем материальных точек. Повторение этих разделов вызвано двумя причинами: первая обусловлена важностью этих законов в физике; вторая причина связана с тем, что в течение учебного года учащиеся 11 класса примут участие в олимпиадах разных уровней, а по завершении учебного года будут сдавать ЕГЭ. К контрольным мероприятиям следует готовиться. Задание адресовано тем, кто хочет восстановить и углубить свои знания по механике в рамках курса физики средней школы. Поэтому наряду с простыми задачами рассмотрены и достаточно сложные, техника решения которых порой недостаточно подробно обсуждается в школьном курсе физики.
Обращаем внимание читателя, что перед работой с Заданием ему следует изучить (повторить) соответствующие разделы школьного учебника и выполнить упражнения, представленные в учебнике.
Механика - наука, изучающая движение тел и способы описания движения и взаимодействия тел. Для описания механического движения следует выбрать систему отсчёта, представляющую собой тело отсчёта, с которым неподвижно связывают систему координат, и часы для регистрации положения точки в различные моменты времени.
В механике Ньютона, т. е. при рассмотрении движений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, показания неподвижных и движущихся часов считаются одинаковыми.
Выбор систем отсчёта диктуется соображениями удобства и простоты описания движения.
Для математически точного описания движения используются модели физических тел. Материальная точка - модель тела, применяемая в механике в тех случаях, когда размерами тела можно пренебречь по сравнению с характерными расстояниями, на которых рассматривается движение тела. В геометрии для описания таких тел используется понятие точки. Положение материальной точки в пространстве определяется положением изображающей её геометрической точки. Единственная механическая (негеометрическая) характеристика материальной точки - её масса.
Рассмотрение задач описания движения традиционно начинается с кинематики. Так называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Начнём с равномерного движения.
Корабль `A` и торпеда `B` в некоторый момент времени находятся на расстоянии `l = 1 sf"км"` друг от друга (см. рис. 1). Скорость корабля `v_1 = 10 sf"м/с"`, угол `alpha = 60^@`. Скорость торпеды `v_2 = 20 sf"м/с"`. При каком угле `beta` торпеда попадёт в цель?
По условию цель и торпеда в лабораторной системе отсчёта движутся равномерно, их радиусы векторы зависят от времени по закону
`vecr_1 (t) = vecr_(01) + vecv_1 t`,
`vecr_2 (t) = vecr_(02) + vecv_2 t`
Перейдём в систему отсчёта, связанную с кораблём (точка `A`) и движущуюся поступательно относительно лаборатории. В этой системе положение торпеды (точки `B`) в любой момент времени определяется вектором
`vec rho (t) = vecr_(2)(t) - vecr_(1) (t) = (vecr_(02) - vecr_(01)) + (vecv_2 - vecv_1)t`.
Отсюда следует, что в подвижной системе торпеда движется по прямой, проходящей через её начальное положение, определяемое вектором `vecrho_0 = vecr_(02) - vecr_(01)`, а направляющим вектором прямой является относительная скорость `vec u = vecv_2 - vecv_1`. Такая прямая проходит через начало отсчёта подвижной системы (торпеда попадает в цель) в том случае, когда векторы `vecrho_0` и `vec u` антипараллельны. В рассматриваемой задаче это выполняется при равенстве проекций скоростей `vecv_1` и `vecv_2` на перпендикуляр к `vecrho_0`, т. е. к `AB`, `v_1 sin alpha = v_2 sin beta`.
Отсюда `sin beta = (v_1)/(v_2) sin alpha = (10)/(20) sin 60^@ = (sqrt3)/4 ~~ 0,43`, `beta ~~25,5^@`.
Обратимся к равнопеременному движению. Как известно, в этом случае зависимости скорости и перемещения от времени имеют вид
`vec v (t) = vecv_0 + vec a t`, `vec r (t) = vecr_0 + vecv_0 t + (vec a t^2)/2`.
Среди всевозможных случаев равнопеременного движения особое место занимает движение под действием гравитационных сил - свободное падение тел в однородном поле тяжести с постоянным ускорением `vec a = vec g`. Из второго соотношения следует, что при свободном падении вектор перемещения `vec r (t) - vec(r_0)` материальной точки за время от `0` до `t` равен сумме векторов `vecv_0 t` и `(vec g t^2)/2`. Это означает, что движение тела, брошенного под углом к горизонту, есть суперпозиция равномерного прямолинейного движения со скоростью `vecv_0` и свободного падения в однородном поле тяжести `vec g` с нулевой начальной скоростью.
Пушка расположена у основания склона, образующего с горизонтом угол `alpha = 30^@`. Под каким углом `beta` к склону следует произвести выстрел с начальной скоростью `v_0 = 100 sf"м/с"` так, чтобы дальность полёта снаряда вдоль склона была наибольшей? Найдите эту максимальную дальность `S_max`.
Здесь и далее в Задании ускорение свободного падения `g = 10 sf"м/с"^2`. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
Перемещение снаряда за время `T` полёта равно
`vec r (T) = vecv_0 T + (vec g T^2)/2`,
(считаем `vecr_0 = vec 0`). Изобразим эти векторы на рисунке 2.
Проекции векторов `vecv_0 T` и `(vec g T^2)/2` на направление нормали к склону равны по величине
`v_0 T sin beta = (gT^2)/2 cos alpha`.
Отсюда находим продолжительность `T` полёта мяча `T = (2 v_0)/(g) (sin beta)/(cos alpha)`. Дальность `S` полёта равна алгебраической сумме проекций векторов `vecv_0 T` и `(vec g T^2)/2` на склон `S = v_0 T cos beta - (gT^2)/2 sin alpha`.
С учётом выражения для времени полёта последнее соотношение перепишем в виде
`S = (v_0^2)/(g cos^2 alpha) (sin (alpha + 2 beta) - sin alpha)`.
Отсюда следует, что наибольшей дальности соответствует такой угол `beta`, при котором множитель в скобках в последнем соотношении принимает наибольшее значение, т. е.
`sin (alpha + 2 beta) = 1`, `alpha + 2 beta = pi/2`, `beta = 1/2 (pi/2 - alpha) = 1/2 (pi/2 - pi/6 ) = pi/6`.
Отсюда следует, что выстрел следует производить по биссектрисе угла между склоном и вертикалью. В этом случае дальность полёта наибольшая и равна
`S_max = (v_0^2 (1 - sin alpha))/(g cos^2 alpha) ~~ 670 sf"м"`.
Камень брошен со скоростью `v_0 = 20 sf"м/с"` под углом `alpha = 60^@` к горизонту. Найдите радиус `R` кривизны траектории в окрестности точки старта. Через какое время `tau` после старта вектор скорости повернётся на `varphi = 1^@`?
Известно, что движение точки по окружности с постоянной по величине скоростью есть движение ускоренное, при этом вектор ускорения в любой момент времени направлен к центру окружности, а его величина постоянна и определяется, например, по одной из формул
`a_n = (v^2)/R = v omega = ((2pi)/(T))^2 R`.
Естественное обобщение этого результата для движения по произвольной криволинейной траектории состоит в следующем: неравномерное движении по произвольной криволинейной траектории может быть представлено как последовательность перемещений по элементарным дужкам окружностей, радиус каждой из которых можно вычислять по формуле `R = (v^2)/(a_n)`. Эту величину называют радиусом кривизны траектории в малой окрестности рассматриваемой точки.
Для решения задачи воспользуемся соотношениями `R = (v^2)/(a_n)`, `omega = (a_n)/v`.
В малой окрестности точки старта `v = v_0`, нормальное ускорение `a_n` есть проекция ускорения свободного падения `vec g` на нормаль к траектории (рис. 3)
`a_n = g * cos alpha`.
Из преведённых соотношений находим радиус кривизны траектории в малой окрестности точки старта
`R = (v_0^2)/(g cos alpha) = (20^2)/(10 * 0,5) = 80 sf"м"`,
и угловую скорость, с которой в этой окрестности вращается вектор скорости,
`omega = (g cos alpha)/(v_0)`.
Тогда время поворота вектора скорости на угол `varphi = pi/(180) ~~ 0,017` рад будет равно
`tau = varphi/omega = (varphi * v_0)/(g * cos alpha) = (0,017 * 20)/(10 * 0,5) ~~ 0,07 sf"с"`.
В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.
Система отсчёта, в которой любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.
инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют
в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:
`Delta vec p = vec F * Delta t`.
Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в данной системе отсчёта:
`vec p = m * vec v`.
`vec F` - сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) - vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:
в ИСО приращение импульса материальной точки равно импульсу силы.
Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:
в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:
`vec a = vec F/m`.
Действительно, если масса тела остаётся неизменной, то
`Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v = vec F Delta t`.
С учётом равенства `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности приведённых формулировок второго закона.
Далее в Задании представлены задачи, иллюстрирующие применение законов Ньютона и их следствий: теорем об изменении импульса и энергии в механике.
при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:
`vecF_(12) = - vecF_(21)`.
1. силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,
2. эти силы равны по величине,
3. они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.
Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.
Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:
`(Delta vec p)/(Delta t) = vec(F)`.
Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.
Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:
привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы;
выбрать инерциальную систему отсчёта,
привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы,
составить уравнение динамики,
перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления,
решить полученную систему.
Рассмотрим характерные примеры.
К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени `t_1 = 10 sf"с"` горизонтальную силу величиной `F = 5 sf"H"`. После прекращения действия силы тело движется до остановки `t_2 = 40 sf"с"`. Определите величину `F_sf"тр"` силы трения скольжения, считая её постоянной.
На рис. 4 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона
`(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_("тр") + vec F`.
Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона
`Delta p_x = (F - F_sf"тр" ) Delta t`
и в процессе торможения `(F = 0)`
`Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`.
Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки
`sum Delta p_x = sum_(0 <= t <=t_1) (F - F_sf"тр" )Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (- F_sf"тр") Delta t`.
Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда
`p_(x sf"конечн") - p_(x sf"начальн") = (F - F_sf"тр") t_1 + (- F_sf"тр") t_2`.
С учётом равенств `p_(x sf"конечн") = 0`, и `p_(x sf"начальн") = 0` независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:
`F_sf"тр" = (t_1)/(t_1 + t_2) F = (10)/(10 + 40) * 5 = 1 sf"H"`.
На ЕГЭ и олимпиадах в вузах РФ регулярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с привычными для школьника силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело действует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.
Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v_0 = 10 sf"м/с"`, упал на землю. В момент падения скорость меньше начальной по величине на `delta = 0,3`. Найдите продолжительность `T` полёта мяча. Силу сопротивления считайте пропорциональной скорости `vec F =- k vec v`, `k > 0`.
Согласно второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы
`m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`,
переходя к проекциям сил и приращения скорости на вертикальную ось, получаем
`m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.
Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`, и перепишем последнее соотношение в виде,
`m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * Delta y`.
Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`
`m * (sum Delta v_y) =- mg * (sum Delta t) - k * (sum Delta y)`.
Переходя к конечным приращениям, получаем
`m (v_y (T) - v_y (0)) =- mg(T - 0) - k(y(T) - y (0))`.
Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое `y(T) - y(0) = 0`.
Тогда `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha =- mgT`.
Отсюда находим продолжительность полёта мяча
`T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5 sf"с"`.
В следующем примере рассматривается удар, в ходе которого две очень большие силы, «согласованно» действуют во взаимно перпендикулярных направлениях
Кубик, движущийся поступательно со скоростью `v` (рис. 5) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой. Коэффициент трения скольжения кубика по стенке `mu` и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.
Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 6. По второму закону Ньютона
`Delta vec p = (m vec g + vec(N_sf"Г") + vec(F_sf"тр") + vec(N_sf"В")) * Delta t`.
Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем
`Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`, `Delta p_y = N_sf"В" Delta t`.
Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим
`sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t`.
В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"В"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения
`sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.
Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для этого просуммируем приращения `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t =- mu N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим
`sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha =- sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.
Отсюда `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`.
Далее считая, `v_x (tau) > 0`, получаем `bbb"tg" beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.
Далее рассмотрим две характерные задачи динамики равномерного движения по окружности.
Массивный шарик, подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Расстояние от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика.
Введём обозначения: `L` - длина нити, `alpha` - угол, образуемый нитью с вертикалью, `r = L sin alpha` - радиус окружности (рис. 7), по которой движется шарик со скоростью `v`.
Заметим, что `H = L cos alpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `m vec g` и сила натяжения `vec F` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение, по величине равное `a = (4 pi^2)/(T^2) r`.
В инерциальной системе отсчёта основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона `m vec a = vec F + m vec g`. При таком движении сумма сил, так же как и ускорение, в любой момент времени направлена к центру окружности. Тогда, переходя в уравнении движения к скалярной форме записи, удобно перейти не к проекциям сил и ускорения на оси `Ox`, `Oy` инерциальной системы отсчёта, а к проекциям сил и ускорения на два направления, а именно: на подвижное направление -направление внутренней нормали к траектории, считая положительным направление к центру окружности,
`m * (4 pi^2)/(T^2) r = F sin alpha`,
и на вертикаль `0 = F cos alpha - mg`.
Исключив из этих соотношений силу натяжения, приходим к ответу
`T = 2 pi sqrt(H/g)`.
Период обращения конического маятника зависит только от расстояния от точки подвеса до плоскости движения.
Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l = 30 sf"см"` ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r = 20 sf"см"`. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha = 30^@`?
Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три силы: сила тяжести `m vec g`, сила натяжения `vec T` нити и сила Архимеда `vec F` (рис. 8).
Найдём эту силу. Обозначим объём шарика `V`, плотность дерева, из которого изготовлен шарик `rho_sf"ш"`, плотность воды `rho_sf"в"`, и рассмотрим движение жидкости до погружения в неё шарика. Любой элементарный объём воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) `F_(A,z)` уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объёме, горизонтальная составляющая `F_(A,r)` сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна `F_(A,z) = rho_sf"в" Vg`, а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда по величине равна `F_(A,r) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha)`. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиуса `(r - l sin alpha)` в горизонтальной плоскости. Из второго закона Ньютона `m vec a = m vec g + vec T + vec F`, переходя к проекциям сил и ускорения на вертикальную ось, находим
`rho _sf"в" Vg - rho_sf"ш" Vg - T cos alpha = 0`,
проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем
`rho _sf"ш" V omega^2 (r - l sin alpha) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha) - T sin alpha`.
Исключая `T` из двух последних соотношений, находим искомую угловую скорость
`omega = sqrt((g bbb"tg" alpha)/(r - l sin alpha)) ~~ 10,7 sf"с"^-1`.
Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2``...`, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vecv_1`, `vecv_2``...`. Импульсом `vecP_("c")` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих систему, `vecP_("c") = vecp_1 + vecp_2 + ...`.
Найдём скорость `(Delta vecP_("c"))/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку действуют суммарной силой `vecF_1` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vecf_(12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vecF_2`, и внутренняя сила `vecf_(21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем
`(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = (Delta vecp_1)/(Delta t) + (Delta vecp_2)/(Delta t) = (vecF_1 + vecf_(12)) + (vecF_2 + vecf_(21))`.
По третьему закону Ньютона `vecf_(12) + vecf_(21) = vec 0`, и мы приходим к теореме об изменении импульса системы материальных точек
`(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = vecF_1 + vecF_2`,
скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Из приведённого доказательства следует, что третий закон Ньютона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы взаимодействующих тел, если нет никаких других внешних сил. В этом - его более глубокое физическое содержание.
Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы (рис. 9), с которыми клин действует на опору.
По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vecR_1 =- vecF_("тр"` и силой нормальной реакции `vecR_2 =- vecN_("г")`, действующими на клин со стороны опоры (рис. 10). Силы `vec(F_sf"тр")` и `vec(N_sf"г")`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок» и определяют скорость изменения импульса этой системы.
Импульс `vecP_("c")` системы направлен по скорости бруска и по величине равен произведению массы бруска на его скорость `vecP_("c") = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона (рис. 11):
`(Delta vecp)/(Delta t) = m vec g + vec N + vec(f_sf"тр"`.
Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf"тр" = mu N`, получаем
`(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N - mg cos alpha`, `(Delta p_x)/(Delta t) = mg(sin alpha - mu cos alpha)`.
По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»
`(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vecN_("г") + vecF_("тр")`.
Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное и вертикальное направления с учётом
, ,
получаем
,
.
Отсюда находим искомые силы
`R_1 = F_sf"тр" = mg(sin alpha - mu cos alpha) cos alpha`,
`R_2 = N_sf"г" = (M + m) g - mg(sin alpha - mu cos alpha) sin alpha`.
Из теоремы об изменении импульса системы материальных точек `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = sum_i vecF_i` следует сохранение импульса или его проекций в следующих случаях:
если `sum_i vecF_i = vec 0`, то `vecP_("c")` остаётся неизменным по величине и направлению;
если существует направление `x` такое, что `sum_i F_(i,x) = 0`, то `P_(c,x) = "const"`.
Наконец, если на малом интервале времени внешние силы конечные и импульс этих сил за время действия во много раз меньше по величине импульса системы `|sum_i vecF_i| Delta t < < |vecP_("c") (t)|`, то из равенства
`Delta vecP_("c") = vecP_("c") (t + Delta t) - vecP_("c") (t) = (sum_i vecF_i) Delta t`
следует `Delta vecP_("c") ~~ vec 0`, т. е. сохранение импульса на рассматриваемом интервале времени `vecP_("c") (t + Delta t) = vecP_("c") (t)`.
Артиллерист стреляет ядром массы `m` так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетевшее из пушки ядро садится барон Мюнхгаузен, масса которого `5m`. Какую часть пути до неприятельского лагеря ему придётся идти пешком?
Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстрирует последний из перечисленных случаев сохранения импульса системы. В процессе «посадки» барона на ядро на систему «ядро + барон» действуют внешние силы - это силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Но барон столь ловок и устраивается на ядро столь быстро, что импульс этих конечных сил за время «посадки» барона на ядро значительно меньше по величине импульса `m vecv_0` ядра непосредственно перед «посадкой». Тогда скорость `vecv_0` ядра за мгновение до встречи со сказочным персонажем и скорость `vecv_1` системы «барон на ядре» связаны законом сохранения импульса системы
`m vecv_0 = 6m vecv_1`,
так что скорость ядра сразу после того, как Мюнхгаузен устроится на нём поудобнее, уменьшится в `6` раз. Следовательно, в такое же число раз уменьшатся: длительность полёта (равная удвоенному частному от деления начальной вертикальной составляющей скорости на величину ускорения свободного падения)и горизонтальная составляющая скорости. Дальность полёта, равная произведению этих величин, уменьшится в `36` раз, тогда оставшиеся после благополучного приземления `(35)/(36)` расстояния до неприятельского лагеря, барону предстоит пройти пешком!
На гладкой горизонтальной поверхности лежит соломинка массой `M` и длиной `L`. Жук массой `m` перемещается по соломинке с одного конца на другой. На какое расстояние `S` переместится соломинка?
Рассмотрим систему тел «жук + соломинка». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса этой системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: т. е. сил тяжести и силы нормальной реакции
`Delta vecP_("c") = M Delta vecv_1 + m Delta vecv_2 = ((M + m) vecg + vec N) Delta t`,
здесь `vecv_1` - скорость соломинки, `vecv_2` - скорость жука. Обе скорости определены в лабораторной системе отсчёта. Сумма сил тяжести и нормальной реакции равна нулю. Тогда импульс системы «жук + соломинка» в процессе движения остаётся постоянным, равным своему начальному значению:
`M vecv_1 + m vecv_2 = vec 0`.
Поскольку задано перемещение жука в системе отсчёта, связанной с соломинкой, обратимся к правилу сложения скоростей `vecv_2 = vecv_1 + vec u`, здесь `vec u` - скорость жука относительно соломинки. Перейдём в этом равенстве к проекциям на горизонтальную ось, получим `v_(2,x) = v_(1,x) + u_(x')`.
С учётом правила сложения скоростей закон сохранения импульса принимает вид `Mv_(1,x) + m (v_(1,x) + u_(x')) = 0`, т. е. в любой момент времени
`v_(1,x) =- m/(M + m) u_(x')`.
Тогда элементарные перемещения: `Delta x_1 = v_(1,x) Delta t` - соломинки относительно лабораторной системы отсчёта и `Delta x' = u_(x') Delta t` - жука относительно соломинки, связаны соотношением `Delta x_1 =- m/(M + m) Delta x'`.
Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи
`S = m/(m + M) L`.
Клин массой `2m` и углом наклона к горизонту `alpha (cos alpha = 2//3)` находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис. 12). Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нить, связывающая грузы, массы которых равны `m` и `3m`. Груз массой `3m` может скользить вдоль вертикальной направляющей `AB`, закреплённой на клине. Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии `H = 27 sf"см"` от стола, а затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние `S` сместится клин к моменту удара груза массой `3m` о стол? Массы блока и направляющей `AB` считайте пренебрежимо малыми.
Рассмотрим систему тел «клин + грузы» (рис. 13).
На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: тяжести и нормальной реакции горизонтальной опоры
`Delta vecP_("c") = (6 m vec g + vec N) Delta t`.
Проекции сил тяжести и нормальной реакции на горизонтальную ось нулевые. Следовательно, в процессе движения горизонтальная составляющая импульса системы «клин + грузы» остаётся постоянной, равной своему начальному значению - нулю:
`(2m + 3m) v_(x,sf"к") + mv_(x,sf"г") = 0`,
здесь `v_(x,sf"к")` - проекция скорости клина и груза массой `3m` на горизонтальную ось, `v_(x,sf"г")` - проекция скорости груза массой `m` на эту же ось. В системе отсчёта, связанной с клином, модули любых элементарных перемещений грузов равны вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, в этой системе модуль перемещения лёгкого груза в проекции на горизонтальную ось за время движения равен `H cos alpha`. Тогда воспользуемся результатами предыдущей задачи. По правилу сложения скоростей `vecv_("г") = vecv_("к") + vec u`, здесь `vec u` - скорость лёгкого груза в системе отсчёта, связанной с клином. С учётом этого соотношения закон сохранения импульса принимает вид
`(2m + 3m) v_(x,sf"к") + m(v_(x,sf"к") + u_(x')) = 0`.
Отсюда находим связь проекций скорости
`v_(x,sf"к") = - m/(6m) u_(x') = - u_(x')/6`
и элементарных перемещений:
`Delta x_sf"к" =- (Delta x')/6`,
где `Delta x_sf"к"` - перемещение клина относительно лабораторной системы, `Delta x'` - проекция перемещения лёгкого груза на горизонтальную ось в системе отсчёта, связанной с клином. Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи
`S = (H cos alpha)/6 = (27*2)/(6*3) = 3 sf"см"`.
По клину массой `M`, находящемуся на гладкой горизонтальной плоскости, скользит шайба массой `m`. Гладкая наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Определите величину `a_1` ускорения клина.
Для определения ускорения клина рассмотрим движение каждого из тел. Силы, приложенные к телам, указаны на рис. 14.
Запишем второй закон Ньютона для клина `M veca_1 = M vec g + vec P + vec R` и для шайбы `m veca_2 = m vec g + vec N`.
Переходя к проекциям сил и ускорений на оси ЛСО с учётом `vec P =- vec N` получаем
`Ma_(1x) = N sin alpha`, `ma_(2x) =- N sin alpha`, `ma_(2y) =- mg + N cos alpha`.
Скорость `vecv_2` шайбы в ЛСО, скорость `vec u` шайбы относительно клина и скорость `vecv_1` клина связаны законом сложения скоростей `vecv_2 = vecv_1 + vec u`. Дифференцируя это равенство по времени находим связь соответствующих ускорений `veca_2 = veca_1 + veca_("отн")`. Из треугольника ускорений (рис. 15) следует
`bbb"tg" alpha = (a_(2y))/(a_(2x) - a_(1x))`.
Подставляя в последнее равенство выражения для проекций ускорения шайбы
`a_(2x) =- M/m a_(1x)` и `a_(2y) =- g + a_(1x) M/m "ctg" alpha`,
после несложных преобразований приходим к ответу на вопрос задачи
`a_(1x) = 1/2 (m sin 2 alpha)/(M + m sin^2 alpha) g`.
Рассмотренные примеры подчёркивают важную роль законов сохранения.
Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории по заданным силам и начальным условиям, упрощается в тех случаях, когда удаётся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся математическим следствием уравнений Ньютона, и связывающие скорости (импульсы) точек с их координатами, называют законами сохранения. Проиллюстрируем это на примере задач о столкновениях частиц.
В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном - как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы - тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами и энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.
Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль. С такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.
Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.
Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.
Неупругие столкновения
Два куска пластилина массами `m_1` и `m_2`, летящие со скоростями `vecv_1` и `vecv_2` слипаются. Найдите наибольшее `Q_max` и наименьшее количество `Q_min` теплоты, которое может выделиться в результате абсолютно неупругого соударения.
Рассмотрим абсолютно неупругое соударение («слипание») тел, движущихся в ЛСО скоростями `vecv_1` и `vecv_2` соответственно. В процессе абсолютно неупругого соударения импульс системы сохраняется.
`m_1vecv_1+m_2vecv_2=(m_1+m_2)vecv`.
Отсюда находим скорость составного тела
`vecv=(m_1vecv_1+m_2vecv_2)/(m_1+m_2)`.
Закон сохранения энергии принимает вид
`(m_1vecv_1^2)/2+(m_2vecv_2^2)/2=((m_1+m_2)*vecv)/2+Q`.
Из приведенных соотношений находим убыль кинетической энергии
`Q=(m_1*m_2*(vecv_2-vecv_1)^2)/(2(m_1+m_2))=1/2 mu(vecv_2-vecv_1)^2`,
здесь `mu=(m_1m_2)/(m_1+m_2)` - приведенная масса системы тел.
Итак, при абсолютно неупругом соударении во внутреннюю энергию переходит кинетическая энергия тела приведенной массы, движущегося с относительной скоростью.
Убыль механической энергии достигает наибольшей величины
`Q_max=(m_1*m_2*(vecv_2-vecv_1)^2)/(2(m_1+m_2))=1/2 mu(v_1+v_2)^2`
при `vecv_1 uarr darr vecv_2`.
Убыль механической энергии будет наименьшей
`Q_min=(m_1*m_2*(vecv_2-vecv_1)^2)/(2(m_1+m_2))=1/2 mu(v_2-v_1)^2`
при `vecv_1 uarr uarr vecv_2`.
Упругие столкновения
На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкая шайба массой `M`. На него налетает гладкая шайба массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шайб. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шайб после соударения. При каком условии налетающая шайба будет двигаться после соударения в прежнем направлении?
Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шайб в момент соударения. Внешние силы, действующие на шайбы в процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шайб в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса `m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.
Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем `mv = mv_(1x) + Mv_2`, здесь учтено, что направление скорости `vecv_1` налетающей шайбы после соударения не известно. По закону сохранения энергии
`(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.
Полученные соотношения перепишем в виде
`m(v - v_(1x)) = Mv_2`,
`m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.
Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`, `m(v - v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид
`v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`, `v_2 = (2m)/(m + M) v`.
Налетающая шайба будет двигаться после соударения в прежнем направлении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`, т. е. если масса налетающей шайбы больше массы покоящейся шайбы.
Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями `vecv_1` и `vecv_2`. Найдите скорости `vecv_1^'` и `vecv_2^'` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.
Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось `Ox` направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис. 16).
В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется
`vecp_1 + vecp_2 = vecp_1^' + vecp_2^'`,
здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_1^' = m_1 vecv_1^'`, `vecp_2^' = m_2 vecv_2^'` - импульсы шайб до и после соударения.
Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) = p_(2y)^'` находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения
`vecv_(1y)^' = v_(1y)`, `v_(2y)^' = v_(2y)`,
т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.
Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия
`(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.
С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид
`(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.
Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось `Ox`
`m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.
Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разделить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линейному уравнению
`v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.
Решая систему из двух последних уравнений, находим
`v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,
`v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.
Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения
`v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`, `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`,
а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_1^'` и `vecv_2^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`:
`bbb"tg" alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`, `bbb"tg" alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.
Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц).
Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона
`m Delta vec v = vec F Delta t`.
Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим
`m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.
Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии
`Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 - m ((vec v)^2)/2 ~~ m(vec v * Delta vec v)`
и работы равнодействующей
`Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`
на этом перемещении.
Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории, приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:
На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил
`K_2 - K_1 = sum_i A_i`.
Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии $$ A=-\left({П}_{2}-{П}_{1}\right)$$.
Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки
$$ \left({П}_{2}+{K}_{2}\right)-\left({П}_{1}+{K}_{1}\right)=$$`sum_i A_(i sf"непотенц")`,
т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.
Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.
Это утверждение - закон сохранения полной механической энергии материальной точки.
На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 > "tg" alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 < "tg" alpha)`. С какой высоты `H` следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?
По условию `mu_2 < "tg" alpha`, `mu_1 > "tg" alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf"тр"2) = mu_2 mg cos alpha < mg sin alpha`, лыжник движется равноускорено. На нижнем участке склона
`F_(sf"тр"1) = mu_1 mg cos alpha > mg sin alpha`,
лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:
приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно $$ {П}_{2}-{П}_{1}=-mgH$$,
приращение кинетической энергии `K_2 - K_1 = 0`, работа силы трения скольжения
`A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H - h)/(sin alpha) - mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =`
`=- (mg)/("tg" alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2) h)`.
По теореме об изменении полной механической энергии
$$ \left({K}_{2}+{П}_{2}\right)-\left({K}_{1}+{П}_{1}\right)={A}_{12}$$.
В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/("tg" alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2 )h)`.
Отсюда `H = (mu_1 - mu_2)/("tg" alpha - mu_2) h`.
Опытным путём установлен закон Кулона:
сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в вакууме пропорциональна произведению модулей зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, проходящей через эти заряды:
$$ F=k{\displaystyle \frac{\left|{q}_{1}\right|\left|{q}_{2}\right|}{{r}^{2}}} $$. (2.1)
Здесь `F` - модуль силы, `k` - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц, `q_1` и `q_2` - величины зарядов, `r` - расстояние между зарядами.
Обратите внимание, что нарушение в конкретных условиях опыта точечности зарядов, их неподвижности или нахождение зарядов не в вакууме может привести к невыполнению соотношения (2.1).
Основной единицей в любой системе единиц называется единица, для которой существует установленная по договорённости принципиальная возможность создания эталона этой единицы. Напомним, что основными единицами системы СИ являются единицы длины метр (м), массы килограмм (кг), времени секунда (с), силы электрического тока ампер (А), термодинамической температуры кельвин (К), количества вещества моль (моль), силы света кандела (кд). Остальные единицы в системе СИ производные, их размерность (выраженная через основные или другие единицы системы) даётся через определения и физические законы, устанавливающие связь между различными физическими величинами. Единицей заряда в системе СИ является кулон (Кл) – заряд, проходящий за `1` с через поперечное сечение проводника при силе тока `1` А.
Найдём размерность (обозначается квадратными скобками) коэффициента `k` в формуле (2.1) закона Кулона. Для размерностей физических величин в (2.1) выполняется соотношение, аналогичное соотношению (2.1) между самими величинами: $$ \left[F\right]=\left[k\right]{\displaystyle \frac{\left[{q}_{1}\right]\left[{q}_{2}\right]}{\left[{r}^{2}\right]}}$$.
Поскольку $$ \left[F\right]=H=\mathrm{кг}·\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^{2}, \left[{q}_{1}\right]=\left[{q}_{2}\right]=\mathrm{Кл}=\mathrm{А}·\mathrm{с}, \left[{r}^{2}\right]={\mathrm{м}}^{2}$$, то
$$ \left[k\right]={\displaystyle \frac{\left[F\right]\left[{r}^{2}\right]}{\left[{q}_{1}\right]\left[{q}_{2}\right]}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Н}·{\mathrm{м}}^{2}}{{\mathrm{Кл}}^{2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{кг}·{\mathrm{м}}^{3}}{{\mathrm{А}}^{2}·{\mathrm{с}}^{4}}}$$.
Запоминать выражение для размерности `k` необязательно, но уметь выводить, используя (2.1), надо.
Приведём значение коэффициента `k` в (2.1) для системы СИ:
$$ k=9·{10}^{9}{\displaystyle \frac{\mathrm{кг}·{\mathrm{м}}^{3}}{{\mathrm{А}}^{2}·{\mathrm{с}}^{4}}}=9·{10}^{9} \mathrm{ед}. \mathrm{СИ}$$.
Заметим, что вместо выражения для размерности после численного значения можно писать «ед. СИ» (единицы СИ). Иногда в системе СИ коэффициент `k` в (2.1) записывают в форме $$ k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_{0}}}$$.
Здесь $$ {\epsilon }_{0}=\mathrm{8,85}·{10}^{-12}$$ ед. СИ называется электрической постоянной.
Найдём напряжённость электрического поля, созданного точечным зарядом `Q` на расстоянии `r` от заряда. Для этого поместим мысленно на расстоянии `r` от `Q` пробный заряд `q`. По закону Кулона на `q` действует сила $$ F=\left|\overrightarrow{F}\right|=k\left|Q\right|\left|q\right|/{r}^{2}$$. Напряжённость поля (созданного зарядом `Q`) в месте расположения `q` равна `vecE=vecF//q`. Отсюда `E=|vecE|=|vecF|//|q|`. С учётом выражения для `F` напряженность поля точечного заряда `Q` на расстоянии `r` от него
$$ E=k{\displaystyle \frac{\left|Q\right|}{{r}^{2}}}$$. (2.2)
 |
 |
| Рис. 2.1 | Рис. 2.2 |
На рисунках 2.1 и 2.2 показаны случаи для `Q > 0` и `Q < 0`. Знак пробного заряда `q` выбран положительным из соображений удобства, т. к. при таком выборе направление силы, действующей на `q`, совпадает с направлением напряжённости.
Формулу (2.2) можно обобщить, избавившись от знака модуля:
$$ {E}_{x}=k{\displaystyle \frac{Q}{{r}^{2}}}$$ (2.3)
Здесь $$ {E}_{x}$$ – проекция напряжённости на ось `x`, направленную от заряда `Q` и проходящую через исследуемую точку. Справедливость (2.3) при любом знаке `Q` проверяется непосредственно (см. рис. 2.1, 2.2).
Силовой линией (линией напряжённости) электрического поля называется непрерывная линия, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора напряжённости электрического поля в этой точке.Наглядно электрические поля изображают с помощью силовых линий.
На рис. 2.3 приведена картина силовых линий электрического поля положительного точечного заряда.
 |
| Рис. 2.3 |
Стрелкой на каждой силовой линии указывается её направление, т. е. направление вектора напряжённости в каждой точке силовой линии. Полезно посмотреть и нарисовать самим картины силовых линий полей из школьного учебника.
Все свойства силовых линий как электрического поля, так и электростатического поля, следуют из определения силовых линий и из законов электродинамики. Приведём некоторые свойства.
1. Силовые линии электрического поля не пересекаются. В противном случае в точках пересечения была бы неопределённость в направлении напряжённости поля.
2. Густота силовых линий электрического поля в пространстве пропорциональна напряжённости электрического поля.
3. Силовые линии электростатического поля не замкнуты. Они начинаются на положительных зарядах (или в бесконечности) и заканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечности). При этом некоторая группа силовых линий (лучевая трубка) связывает равные по модулю заряды и число силовых линий, выходящих (входящих) из заряженного тела, не зависит от формы тела, а зависит только от величины заряда (пропорционально заряду).
Обратите внимание, что первые два свойства справедливы и для электростатического поля, как частного случая электрического. Третье же свойство справедливо только для электростатического поля, а для произвольного электрического поля выполняется не всегда.
 |
| Рис. 2.4 |
В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной `a=1` м расположены точечные заряды $$ {q}_{1}=Q=1.4·{10}^{-7}\mathrm{Кл}$$, $$ {q}_{2}=-2Q$$. Найти напряжённость (модуль) электрического поля в третьей вершине треугольника.
Пусть напряженность полей, созданных зарядами `Q` и `-2Q` в третьей вершине треугольника $$ \overrightarrow{{E}_{1}}, \overrightarrow{{E}_{2}}$$ (рис. 2.4). По принципу суперпозиции полей напряжённость результирующего поля $$ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{{E}_{1}}+\overrightarrow{{E}_{2}}.$$ Используя теорему косинусов для треугольника, составленного из векторов $$ \overrightarrow{E}, \overrightarrow{{E}_{1}}, \overrightarrow{{E}_{2}}$$, получаем $$ {E}^{2}={{E}^{2}}_{1}+{{E}^{2}}_{2}-2{E}_{1}{E}_{2}\mathrm{cos}60°. $$ Поскольку `E_1=kQ//a^2`, `E_2=2kQ//a^2`, `cos60^@=1//2`, то `E=sqrt3k Q/q^2~~2,2*10^3` Н/Кл.
Многочисленные опытные факты подтверждают, что большой круг явлений природы можно описать, введя понятия электрического заряда и электрического поля. Единицу электрического заряда можно ввести разными путями в зависимости от выбора системы единиц. Сейчас нет возможности на этом останавливаться, поэтому будем считать, что уже есть принципиальный способ измерять заряд количественно. Пойдём дальше.
При всех взаимодействиях в макромире и микромире выполняется закон сохранения электрического заряда:
алгебраическая сумма зарядов системы сохраняется, если через границы системы не проходят электрические заряды.
Следует ещё раз отметить, что закон сохранения заряда справедлив не только при взаимодействии макроскопических тел, но и при взаимодействии элементарных частиц, когда в результате ядерных реакций одни частицы исчезают, а другие появляются.
Важным понятием является точечный заряд, то есть заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с другими характерными расстояниями, например – расстоянием до других зарядов (заряженных тел).
Опыт показывает, что характеристикой электрического поля в каждой его точке является векторная величина $$ \overrightarrow{E}$$, называемая напряжённостью электрического поля и определяемая из равенства:
$$ \overrightarrow{E}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{F}}{q}}$$.
Здесь $$ \overrightarrow{F}$$- сила, действующая на неподвижный точечный заряд, помещённый в исследуемую точку поля. При этом знак заряда `q` любой, а сам заряд называется пробным, т. к. им «пробуют» поле. Напряжённость поля от величины пробного заряда не зависит, как не зависит температура воды в озере от вида термометра, которым её измеряют. Следует, однако, заметить, что для измерения напряжённости поля, которое было до (а не после) внесения пробного заряда, следует брать заряд `q` настолько малым, чтобы он не вызывал заметного перераспределения зарядов, создающих поле, и не вызывал существенных изменений в других возможных источниках электрического поля. Источниками электрического поля являются электрические заряд и изменяющееся магнитное поле. И ещё одно замечание по записанному выше равенству для $$ \overrightarrow{E}$$$$ .$$ Точечный заряд `q` создаёт вокруг себя собственное электрическое поле, но это поле никак не входит в равенство для определения напряжённости $$ \overrightarrow{E}$$, поскольку $$ \overrightarrow{E}$$ есть напряжённость внешнего поля, т. е. поля, созданного всеми зарядами (или другими источниками), кроме заряда `q`. Заряд `q` служит лишь инструментом для измерения напряжённости этого внешнего поля. И это принципиально.
Частным случаем электрического поля является электростатическое поле, т. е. поле, созданное неподвижными зарядами.
Из опыта известно, что для электрического поля справедлив принцип суперпозиции:
в каждой точке напряжённость $$ \overrightarrow{E}$$ электрического поля равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных в этой точке всеми источниками электрических полей:
$$ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{{E}_{1}}+\overrightarrow{{E}_{2}}+...=\sum _{i}\overrightarrow{{E}_{i}} .$$
Самый простой способ создать равномерное распределение заряда по сферической поверхности – это зарядить проводящий шарик и уединить его. Заряд, в силу равноправности всех направлений из центра шарика, распределится по поверхности равномерно.
Сравним поле искомого заряда `Q` на сфере радиуса `R` и поле точечного заряда, равного заряду сферы. На рис. 3.1 показаны картины силовых линий полей этих зарядов для случая `Q > 0`.
 |
| Рис. 3.1 |
Число силовых линий, выходящих из зарядов сферы и точечного заряда, одинаково, т. к. заряды равны (свойство 3 предыдущего параграфа). Это означает, что картины силовых линий обоих полей (а значит, и напряжённости) совпадают на расстояниях `r >R`, считая от центра сферы или от точечного заряда. Внутри сферы силовых линий нет, нет и поля. В противном случае силовые линии, начавшись на сфере, могли бы идти в силу симметрии только к центру сферы. Но в центре нет заряда, на котором они могли бы закончиться. Итак,
вне сферы напряжённость поля заряда `Q`, равномерно распределённого по сферической поверхности (сфере) радиуса `R`, совпадает с напряжённостью поля точечного заряда, равного заряду сферы и помещённого в центре сферы, а внутри сферы поля нет:
$$ E=k{\displaystyle \frac{\left|Q\right|}{{r}^{2}}}$$ при $$ r>R, E=0$$ при `r<R`.
Здесь `r` – расстояние от центра сферы. Для записи выражения напряжённости вне сферы можно применить и формулу (2.3).
Говорить о напряжённости поля при `r=R` нет смысла, т. к. в рамках теории, когда не рассматриваются размеры конкретных носителей заряда на атомном уровне, напряжённость при `r = R` не определена.
В центре сферы радиусом `R` находится точечный заряд `Q>0`. По сфере распределён равномерно заряд `-4Q<0`. Найти напряжённости $$ {E}_{1}, {E}_{2}$$ на расстояниях `R//2` и `2R` от центра сферы.
 |
| Рис. 3.2 |
В любой точке напряжённость равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных зарядами `Q` и `-4Q`:
$$ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{{E}_{Q}}+{\overrightarrow{E}}_{-4Q}.$$
Это векторное равенство можно записать в проекциях на ось `x`, проведённую из центра сферы через исследуемую точку: $$ {E}_{x}={E}_{Qx}+{E}_{-4Qx}.$$
Для точек `A` и `C` (рис. 3.2) на расстояниях `R//2` и `2R` от центра сферы проекция напряжённости на ось `x` (свою для каждой точки): $$ {E}_{2x}=k{\displaystyle \frac{Q}{{\left(2R\right)}^{2}}}+k{\displaystyle \frac{-4Q}{{\left(2R\right)}^{2}}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}k{\displaystyle \frac{Q}{{R}^{2}}}.$$
$$ {E}_{1}=\left|{E}_{1x}\right|=4k{\displaystyle \frac{Q}{{R}^{2}}}$$, напряженность направлена от центра сферы.
$$ {E}_{2}=\left|{E}_{2x}\right|={\displaystyle \frac{3}{4}}k{\displaystyle \frac{Q}{{R}^{2}}}$$, напряженность направлена к центру сферы.
Пусть поверхностная плотность заряда (заряд единицы поверхности) равна . Силовые линии перпендикулярны плоскости, густота их везде одинакова.
Это следует из соображений симметрии. На рис. 4.1 показано поле для
Напряжённость поля по каждую сторону плоскости одна и та же, независимо от расстояния до плоскости (поле однородно). Приведём без доказательства выражение для модуля напряжённости электрического поля по любую сторону плоскости:
| . | (4.1) |
Эту формулу можно обобщить. Пусть произвольного знака. Направим ось `x` перпендикулярно плоскости (рис. 4.2). Можно убедиться непосредственной проверкой, что при , при при любом знаке . Здесь проекция напряжённости на ось `x`. Для запоминания обобщённых формул можно формально считать и писать выражение для при и . Полученные формулы окажутся справедливыми и при . Обобщение полезно тем, что нет знака модуля.
 |
 |
| Рис. 4.1 | Рис. 4.2 |
Равномерно заряженные пластины параллельны и находятся на расстоянии друг от друга много меньшем их размеров. Найти плотности зарядов и на пластинах, зная, что напряжённость поля в точках `A` и `B` вблизи пластин Н/Кл, Н/Кл (рис. 4.3).
Направим ось `x` на рис. 4.3 перпендикулярно пластинам, от первой ко второй. В любой точке по принципу суперпозиции полей напряжённость , где - напряжённости полей, созданных первой и второй пластинами. Запишем последнее равенство в проекциях на ось `x`:
.
Это равенство справедливо для любой точки. Для точек `A` и `B` оно имеет более конкретный вид:
Для т. ,
Для т. .
 |
| Рис. 4.3 |
Решая систему из последних двух уравнений, находим:
Заметим, что для решения задачи с использованием для напряжённости формулы с модулем пришлось бы перебрать возможные случаи для знаков зарядов пластин, поскольку знаки заранее неизвестны. Это усложнило бы решение. Попробуйте решить задачу вторым способом и сравните его с первым.
 |
| Рис. 5.1 |
Пусть пробный заряд `q` перемещается в электростатическом поле из точки `1` в точку `2` по некоторой траектории под действием нескольких сил (рис. 5.1). Каждая сила совершает над зарядом работу. Нас интересует работа, совершённая над зарядом силами электростатического поля. Оказывается (доказательства не приводим), – что эта работа не зависит от формы траектории. Например, работы на траекториях `1-3-2` и `1-4-2` равны. Из независимости работы от формы траектории следует равенство нулю работы по замкнутой траектории. Например, работа сил электростатического поля над перемещаемым по замкнутой траектории `BCDB` (рис. 5.1) зарядом `q` равна нулю:
.
Поля, для которых работа сил поля не зависит от формы траектории, называются потенциальными. В таких полях можно ввести понятие потенциальной энергии `"П"` и потенциала . Для электростатического поля работа сил поля над перемещаемым из точки `1` в точку `2` зарядом равна убыли (приращению с обратным знаком) потенциальной энергии заряда в поле:
.
Потенциал данной точки поля вводится как отношение потенциальной энергии пробного заряда в поле к величине заряда: .
это энергетическая характеристика поля, не зависящая от величины пробного заряда. С введением потенциала для работы `A_12` можно записать:
| . | (5.1) |
Разность потенциалов (напряжение) зависит только от положения точек `1` и `2`.
Потенциальная энергия и потенциал определены с точностью до произвольной постоянной. Потенциал (и потенциальную энергию) можно отсчитывать от некоторой точки, положив в ней потенциал равным нулю. Обычно полагают равным нулю потенциал бесконечно удалённой точки поля (бесконечности) или потенциал Земли.
Перенесём мысленно пробный заряд из данной точки электростатического поля с потенциалом в бесконечность. Силы поля совершат над зарядом работу `A`. Согласно (5.1) Если принять , то
| . | (5.2) |
Равенство (5.2) удобно для нахождения потенциала данной точки поля.
Из принципа суперпозиции электрических полей и (5.2) можно вывести, что потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен сумме потенциалов полей, созданных отдельными зарядами:
.
Единицей потенциала (разности потенциалов) в системе СИ служит вольт (В):
`1"В"=1"Дж"//"Кл"`.
Не следует забывать, что независимость работы сил поля над перемещаемым зарядом от формы траектории и понятие потенциала справедливы только для электростатического поля и могут не иметь места для произвольного электрического поля.
В неоднородном электростатическом поле электрону сообщили в точке `B` скорость км/с. Электрон, двигаясь свободно в поле по криволинейной траектории, достиг точки `C` со скоростью км/с. Какую разность потенциалов прошёл электрон?
Работа сил электростатического поля над электроном равна изменению кинетической энергии электрона:
.
Здесь - модуль заряда электрона, - масса электрона.
Имеем:
Примем потенциал бесконечности равным нулю. Тогда, используя (5.2), можно вывести, что на расстоянии $$ r$$ от точечного заряда $$ Q$$ потенциал электростатического поля:
| $$ \varphi =k{\displaystyle \frac{Q}{r}}$$. | (6.1) |
 |
| Рис. 6.1 |
Возьмём теперь заряд $$ Q$$, равномерно распределённый по сфере радиуса $$ R$$ (рис. 6.1).
Для нахождения потенциала на расстоянии $$ r$$ от центра сферы перенесём мысленно пробный заряд $$ q$$ из исследуемой точки в бесконечность и применим формулу (5.2). Для произвольной точки $$ K$$ вне сферы $$ {\varphi }_{K}={A}_{K\infty }/q$$, где $$ {A}_{K\infty }$$ – работа сил поля над $$ q$$ при его перемещении из т. $$ K$$ в бесконечность. Эта работа не изменится, если весь заряд $$ Q$$ сферы поместить в центр сферы, т. к. поля обоих зарядов $$ Q$$ при $$ r>R$$ совпадают (см. §3). Для точечного заряда $$ Q$$ отношение $$ {A}_{K\infty }/q$$ есть потенциал его поля в т. $$ K$$, который находится по формуле (6.1). Итак, для сферы $$ {\varphi }_{K}=kQ/r$$. В предельном случае при $$ r=R$$ получим потенциал сферы, равный `kQ//R`.
Для произвольной точки $$ B$$ внутри сферы $$ {\varphi }_{B}={A}_{BC\infty }/q={A}_{BC}+{A}_{C\infty }/q$$.
Здесь $$ {A}_{B\infty }$$, $$ {A}_{BC}$$ и $$ {A}_{C\infty }$$ – работа сил поля над зарядом $$ q$$ на участках $$ BC\infty $$, `BC` и $$ C\infty .$$ Внутри сферы поля нет, сила на $$ q$$ со стороны поля не действует и $$ {A}_{BC}=0$$. Тогда $$ {\varphi }_{B}={A}_{C\infty }/q$$. Но правая часть последнего равенства есть потенциал т. $$ C$$, т. е. потенциал сферы, равный `kQ//R`. Значит, потенциал любой точки внутри сферы равен потенциалу сферы: $$ {\varphi }_{B}=kQ/R$$.
Итак, для заряда $$ Q$$, равномерно распределённого по сфере радиуса $$ R$$ потенциал поля вне сферы равен потенциалу точечного заряда, равного заряду сферы и помещённого в центре сферы (как и для напряжённости), а потенциал внутри сферы один и тот же и равен потенциалу сферы:
$$ \varphi =k{\displaystyle \frac{Q}{r}}$$ при $$ r>R, \varphi =k{\displaystyle \frac{Q}{R}}$$ при $$ r\le R$$.
В двух вершинах прямоугольника со сторонами $$ a$$ и $$ 2a$$ (рис. 6.2) закреплены точечные заряды $$ Q$$ и $$ 3Q$$. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы переместить точечный заряд $$ 4Q$$ из состояния покоя из вершины $$ B$$ в вершину $$ C$$?
 |
| Рис. 6.2 |
Здесь идёт речь о работе $$ A$$, которую необходимо совершить нам против электрических сил при переносе заряда $$ 4Q$$. Работа $$ A$$ в сумме с работой $$ {A}_{1}$$ сил электростатического поля над зарядом $$ 4Q$$ равна изменению кинетической энергии перемещаемого заряда:
$$ A+{A}_{1}=∆K$$
Отсюда $$ A=-{A}_{1}+∆K$$.
Работа $$ A$$ будет минимальной, если величина $$ ∆K$$ минимальна, т. е. заряд $$ 4Q$$ придёт в вершину $$ C$$ с нулевой скоростью, т. е. $$ ∆K=0.$$ Итак, $$ A=-{A}_{1}.$$ Работа сил поля над зарядом $$ {A}_{1}=4Q({\varphi }_{B}-{\varphi }_{C}), $$ где
$$ {\varphi }_{B}=k{\displaystyle \frac{Q}{a}}+k{\displaystyle \frac{3Q}{a\sqrt{5}}}, {\varphi }_{C}=k{\displaystyle \frac{Q}{a\sqrt{5}}}+k{\displaystyle \frac{3Q}{a}}$$
- потенциалы результирующего поля, созданного зарядами $$ Q$$ и $$ 3Q$$ в вершинах $$ B$$ и $$ C$$.
Окончательно
$$ A={\displaystyle \frac{8(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}}}{\displaystyle \frac{k{Q}^{2}}{a}}>0$$.
В центре сферы радиусом $$ R$$ находится точечный заряд $$ Q>0$$. По сфере равномерно распределён заряд $$-4Q<0$$. Найти потенциалы $$ {\varphi }_{A}, {\varphi }_{C}$$ на расстояниях $$ R/2$$ и $$ 2R$$ от центра сферы (рис. 6.3).
 |
| Рис. 6.3 |
Потенциал в любой точке равен сумме потенциалов полей, созданных в этой точке зарядами $$ Q$$ и $$ -4Q$$. Для точек $$ A$$ и $$ C$$ :
$$ {\varphi }_{A}=k{\displaystyle \frac{Q}{R/2}}+k{\displaystyle \frac{-4Q}{R}}=-2k{\displaystyle \frac{Q}{R}}$$,
$$ {\varphi }_{C}=k{\displaystyle \frac{Q}{2R}}+k{\displaystyle \frac{-4Q}{2R}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}k{\displaystyle \frac{Q}{R}}$$.
Пусть имеется однородное электростатическое поле с напряжённостью $$ E$$ (рис. 7.1). Возьмём точки `1` и `2` на силовой линии на расстоянии $$ d$$ друг от друга так, чтобы направление `1-2` совпадало с направлением силовой линии. Можно показать, что разность потенциалов (напряжение) $$ {\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}$$ между точками `1` и `2`, напряжённость поля $$ E$$ и расстояние $$ d$$ связаны уравнением
| $$ {\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}=Ed$$. | (7.1) |
 |
 |
| Рис. 7.1 | Рис. 7.2 |
Зависимость (7.1) можно обобщить. Пусть в однородном поле есть произвольные точки `1` и `2` (рис. 7.2). Проведём через эти точки в направлении `1-2` ось $$ x$$. Можно показать, что
$$ {\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}={E}_{x}d$$,
где $$ {E}_{x}$$ – проекция напряжённости поля на ось $$ x$$.
Соотношение (7.2) можно применить и для неоднородного поля, если только $$ d$$ настолько мало, что поле в окрестности точек `1` и `2` можно считать однородным.
Проанализировав (7.1), можно заключить, что потенциал убывает в направлении силовой линии поля. Это утверждение справедливо и для неоднородного поля.
