ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
Многочленом с одной переменной называется выражение вида
`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)
Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом, `a_0` - свободным членом.
Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.
Например, степень многочлена `P = x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1` равна `4`; степень многочлена `25 + x^5 - 3x` равна `5`; степень многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена не определена.
Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.
Число `a` называется корнем многочлена `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.
Приведём основные сведения о многочленах.
Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.
Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 - 14x + 20`
на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.
Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)` на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.
Деление закончится тогда, когда степень делимого будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).
Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 - 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д.
Частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток равен `24x-10`.
Таким образом, `18x^5 + 27x^4 - 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x - 5)(9x^3 + 4x - 6) + (24x - 10)`.
Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).
1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.
2) Число `alpha` является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.
3) Если `alpha` и `beta` - различные корни многочлена `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.
4) Многочлен степени `n` не может иметь более `n` корней.
1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что
`F(x) = (x-alpha) G(x) +C` (9)
Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.
Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.
Тогда `F(alpha) = (alpha - alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.
Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим
`F(x) = (x - alpha) G (x) + F(alpha)`. (10)
Первая часть доказана.
2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x - alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.
3) `alpha` - корень `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для всех значений переменной `x`) `x= beta`. Тогда `F(beta) = (beta - alpha) G(beta)`.
`F(beta) = 0` (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta - alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0` (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`, т. е. `F(x)` делится на `(x- alpha)(x- beta)`.
4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.
Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.
Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.
По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.
Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:
`F(x) = (x^2 + 2x - 15)G(x) + r(x)`.
Степень остатка не превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,
`F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`. (11)
Подставим в равенство (11) `x=3` и `x=-5`:
`F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда $$ \left\{\begin{array}{l}3a+b=2,\\ -5a+b=-9.\end{array}\right.$$
Решая эту систему, нахоим, что `a=(11)/8`, `b=- (17)/8`.
Докажите, что
$$ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=4$$. (12)
Пусть $$ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=x$$. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:
$$ 26-15\sqrt{3}+3\sqrt[3]{{\left(26-15\sqrt{3}\right)}^{2}}\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+3\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\sqrt[3]{{\left(26+15\sqrt{3}\right)}^{2}}+26+15\sqrt{3}={x}^{3}$$;
$$ 52+3\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
$$ 52+3\sqrt[3]{{26}^{2}-{\left(15\sqrt{3}\right)}^{2}}\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
$$ 52+3\left(\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\right)={x}^{3}$$;
`52+3x=x^3`;
`x^3-3x-52=0`. (13)
Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)). Поскольку `x=4` является корнем, многочлен `x^3 - 3x-52` делится на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:
$$ {x}^{3}-3x-52=0\iff \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+13\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x-4=0,\\ {x}^{2}+4x+13=0.\end{array}\right.$$
У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13) имеет ровно один корень `x=4`.
При каких `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 - 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?
1-й способ. Выполним деление с остатком:
Приравниваем коэффициенты остатка к нулю
$$ \left\{\begin{array}{l}7a+28=0,\\ b-6a-10=0,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4,\\ b=-14.\end{array}\right.$$
2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.
Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями многочлена. То есть,
$$ \begin{array}{c}F\left(1\right)=1+a-2+19+b=0, \\ F\left(2\right)=16+8a-8+38+b=0,\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}18+a+b=0,\\ 46+8a+b=0,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4,\\ b=-14.\end{array}\right.\phantom{\rule{0ex}{0ex}}$$
`a=-4`, `b=-14`.
Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.
Решите уравнение: `x^3 +4x^2 - 2x-3=0`.
Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:
`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`
$$ \iff \left[\begin{array}{l}x-1=0,\\ {x}^{2}+5x+3=0,\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1,\\ x={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}}.\end{array}\right.$$
`x=1`; `x=(-5+- sqrt13)/2`.
Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравнения? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.
Если несократимая дробь `p//q` (`p` - целое, `q` - натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член делится на `p`, а старший коэффициент делится на `q`.
Пусть несократимая дробь `p//q` - корень многочлена (8). Это означает, что
`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ ...``+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.
Умножим обе части на `q^n`, получаем:
`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + ... + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.
Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:
`p(a_np^(n-1)+a_(n-1)p^(n-2)q+a_(n-2)p^(n-3)q^2+...+a_2pq^(n-2)+a_1q^(n-1))=-a_0q^n`. (14)
Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.
Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.
Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Решите уравнение
а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)
б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)
а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` - корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:
`539=7^2*11`.
Поэтому `p` может принимать значения:
`+-1,+-7,+-11,+-49,+-77,+-539`.
Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:
`(x+1)(x^3+3x^2-105x-539)=0`.
Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:
`(x+1)(x+7)(x+7)(x-11)=0`.
`x=-7`; `x=-1`; `x=11`.
1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.
2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.
б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in{+-1;+-2;+-5;+-10}`; `qin{1;2;3;6}`.Возможные варианты для `x_0`:
`+-1,+-2,+-5,+-10,+-1/2,+-5/2,+-1/3,+-2/3,+-5/3,+-10/3,+-1/6,``+-5/6`.
Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем
`(2x-5)(3x^2-10x^2-11x-2)=0`.
Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` - корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:
`(2x-5)(3x+2)(x^2-4x-1)=0`.
Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.
`x=5/2`; `x=-2/3`; `x=2+-sqrt5`.
К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.
Разложите на множители:
а) `x^4+4`;
б)* `x^3-3x^2-3x-1`;
в) `x^4-x^3+2x^2-2x+4`;
г)* `x^4-4x^3-20x^2+13x-2`.
а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`
`=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)`.
Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:
`a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=`
`=(a^2-sqrt2ab+b^2)(a^2+sqrt2ab+b^2)`.
б)* `x^3-3x^2-3x-1=2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)`$$ ={\left(\sqrt[3]{2}x\right)}^{3}-{\left(x+1\right)}^{3}=$$
$$ =\left(\sqrt[3]{2}x-x-1\right)\left(\sqrt[3]{4}{x}^{2}+\sqrt[3]{2}x\left(x+1\right)+{\left(x+1\right)}^{2}\right)$$.
в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:
`x^4-x^3+2x^2-2x+4=x^2(x^2-x+2-2/x+4/x^2)=``x^2((x^2+4/x^2)-(x+2/x)+2)`.
Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:
`t^2-4-t+2=t^2-t-2=(t+1)(t-2)=(x+2/x+1)(x+2/x-2)`.
В итоге получаем:
`x^2(x+2/x+1)(x+2/x-2)=(x^2+2+x)(x^2+2-2x)=(x^2+x+2)(x^2-2x+2)`.
Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).
г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению
`x^2(x^2-2/x^2_(4x-13/x)-20)`.
Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.
Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть
`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)`. (17)
Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:
`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=`
`=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd`. (18)
Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ b+ac+d=-20,\\ ad+bc=13,\\ bd=-2.\end{array}\right.$$ (19)
Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.
Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:
1) `b=1` и `d=-2`;
2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:
1) $$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ ac=-19,\\ -2a+c=13.\end{array}\right.$$
Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.
2) $$ \left\{\begin{array}{l}a+c=-4,\\ ac=-21,\\ -a+2c=13.\end{array}\right.$$
Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому
`x^4-4x^3-20+13x-2=(x^2-7x+2)(x^2+3x-1)`.
Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.
Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.
Решите уравнение:
а) `(x-4)^2+|x-4|-2=0`;
б) `(x-7)^4+(x+1)^4=706`;
в) `1/(x^2+2x-3)+18/(x^2+2x+2)=18/((x+1)^2)`;
г) `(x-2)(x-4)(x+5)(x+7)=360`;
д) `(4x)/(4x^2-8x+7)+(3x)/(4x^2-10x+7)=1`;
е) `25x^4-150x^3+94x^2+150x+25=0`.
а) Обозначим `|x-4|=t`. Тогда `(x-4)^2=t^2` и получаем `t^2+t-2=0`, откуда $$ \left[\begin{array}{l}t=1,\\ t=-2.\end{array}\right.$$
Если `t=-2`, то решений нет.
Если `t=1`, то `|x-4|=1 iff`$$ \left[\begin{array}{l}x=3,\\ x=5.\end{array}\right.$$
`x=3`; `x=5`.
б) Обозначим `x-3=t`. Тогда получим
`(t-4)^4+(t+4)^4=706 iff(t^4-16t^3+96t^2-256t+256)+`
`+(t^4+16t^3+96t^2+256+256)=706 iff2t^4+192t^2-194=0iff`
`ifft^4+96t^2-97=0 iff(t^2-1)(t^2+97)=0 ifft=+-1`.
Значит, `x_1=4`, `x_2=2`.
`x=2`, `x=4`.
Уравнения вида `(x-a)^4+(x-b)^4=c` с помощью замены `x-((a+b))/2=t` сводятся к биквадратным.
в) Обозначим `x^2+2x+1=t`. Тогда `1/(t-4)+18/(t+1)=18/tiff`
$$ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{2}+t+18\left({t}^{2}-4t\right)=18\left({t}^{2}-3t-4\right)\\ t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\ne 0\end{array}\right.\iff $$
$$ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-17t+72=0,\\ t\left(t+1\right)\left(t-4\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=8,\\ t=9.\end{array}\right.$$
Теперь найдём `x:`
$$ \left[\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^{2}=8,\\ {\left(x+1\right)}^{2}=9\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x+1=\pm 2\sqrt{2},\\ x+1=\pm 3\end{array}\right.\iff $$
$$ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1-2\sqrt{2},\\ x=-1+2\sqrt{2},\\ x=2,\\ x=-4.\end{array}\right.$$
`x=-1+-2sqrt2`; `x=2`; `x=-4`.
г) Перемножим первую скобку с третьей, а вторую с четвёртой (убедитесь сами, что только такая группировка сомножителей помогает свести уравнение к квадратному).
`((x-2)(x+5))*((x-4)(x+7))=360iff`
`iff(x^2+3x-10)(x^2+3x-28)=360`.
Обозначим `x^2+3x-19=t`. Тогда уравнение принимает вид:
`(t+9)(t-9)=360ifft^2=441ifft=+-21`,
откуда
$$ \left[\begin{array}{l}{x}^{2}+3x-19=21,\\ {x}^{2}+3x-19=-21\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^{2}+3x-40=0,\\ {x}^{2}+3x+2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=5,\\ x=-8,\\ x=-1,\\ x=-2.\end{array}\right.$$
`x=-8`; `x=-2`; `x=-1`; `x=5`.
д) Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на `x` (`x=0` не является решением уравнения):
`4/(4x-8+7/x)+3/(4x-10+7/x)=1`. Обозначим `4x+7/x-8=t`. Тогда
$$ {\displaystyle \frac{4}{t}}+{\displaystyle \frac{3}{t-2}}=1\iff \left\{\begin{array}{l}4\left(t-2\right)+3t={t}^{2}-2t,\\ t\left(t-2\right)\ne 0\end{array}\right.\iff $$
$$ \iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-9t+8=0,\\ t\left(t-2\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=1,\\ t=8.\end{array}\right.$$
Теперь найдём `x:` $$ \left[\begin{array}{l}4x+{\displaystyle \frac{7}{x}}-8=1,\\ 4x+{\displaystyle \frac{7}{x}}-8=8\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}4{x}^{2}-9x+7=0,\\ 4{x}^{2}-16x+7=0.\end{array}\right.$$
Уравнение `4x^2-9x+7=0` не имеет решений, а у уравнения `4x^2-16x+7=0` корнями являются числа `x=7/2` и `x=1/2`.
`x=1/2`; `x=7/2`.
е) `x!=0` (убеждаемся подстановкой), поэтому при делении обеих частей уравнения на `x^2` получим уравнение, равносильное исходному:
`25x^2-150x+94+150*1/x+25*1/x^2=0iff`
`iff(25x^2+25*1/x^2)-(150x-150*1/x)+94=0iff`
`iff25(x^2+1/x^2)-150(x-1/x)+94=0`.
Обозначим `x-1/x=t`. Тогда `t^2=(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2`, откуда `x^2+1/x^2=t^2+2`. Подставляем и решаем уравнение относительно `t:`
`25(t^2+2)-150t+94=0iff25t^2-150t+144=0iff5t^2-30t+144/5=0`.
Коэффициент при `t` чётный; по формуле четверти дискриминанта:
`D/4=15^2-5*(144)/5=225-144=81`; `t_1=(15+9)/5=24/5`; `t_2+(15-9)/5=6/5`.
Теперь найдём `x:`
$$ \left[\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{24}{5}},\\ x-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}5{x}^{2}-24x-5=0,\\ 5{x}^{2}-6x-5=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{1}{5}};\\ x=5;\\ x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{34}}{5}}.\end{array}\right.$$
`5`; `-1/5`; `(3+-sqrt(34))/5`.
1) Уравнения вида `ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0` называются возвратными. Для их решения делят обе части уравнения на `x^2` и вводят замену `x+-1/x=t`.
2) Некоторые другие уравнения четвёртой степени решаются с помощью замены `ax+b/x=t`. (См. пример 11в).
В каждом параграфе сгруппированы теоремы, которые в учебнике рассыпаны по разным главам. Здесь мы компактно напоминаем теорию, приводим примеры решения характерных задач, доказываем некоторые дополнительные утверждения, показываем определённые приёмы решений.
Прежде чем приступать к выполнению домашнего задания, рекомендуем проработать предложенный материал «с карандашом», параграф за параграфом: вспомнить одни и узнать другие теоремы, выписать и выучить формулы, прорешать приведённые примеры.
Контрольные вопросы составлены так, чтобы проверить, как Вы усвоили темы Задания, есть ли пробелы в знаниях, умеете ли Вы решать несложные задачи на доказательство, делать выводы из разобранных теорем, а также видеть «подводные камни» в вопросах и задачах.
Приступая к ответам на контрольные вопросы, сделайте рисунок (если надо) на черновике, уясните вопрос, подберите нужный пример или продумайте доказательство. Окончательные ответы должны быть достаточно подробные. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Примеры ответов приведены в конце задания.
Задачи могут Вам показаться сложнее решаемых в школе. Если задача не получается, найдите в тексте подобную ей задачу и разберите её решение. Либо подумайте, на какую тему – и повторите соответствующий параграф, а затем сделайте ещё одну попытку.
Может случиться, что не все задачи удалось решить. Печально, но не следует приходить в отчаяние. Ведь и не предполагается, что все поступившие в ЗФТШ уже все знают и умеют. Школа как раз и хочет научить Вас, поэтому высылайте то, что получилось. Обратно Вы получите проверенную Вашу тетрадь и, кроме того, подробные решения всех задач и ответы на все вопросы. Это даст Вам возможность разобрать «не поддавшиеся» задачи, узнать, как они решаются, и в другой раз, в следующем задании, в работе в школе, на олимпиаде, выступить успешнее.
Каждый ответ и решение каждой задачи оцениваются в очках. За полное правильное решение или верный ответ выставляется то число очков, которое указано в скобках после номера вопроса или задачи. За ошибки, недочёты снимается некоторое число очков. За неверный ответ на вопрос или неправильное решение задачи ставится ноль очков.
В решениях и доказательствах иногда делаем по 2 - 3 рисунка для того, чтобы легче было следить за ходом рассуждений.
Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).
Используем обычные обозначения:
`c` - гипотенуза `AB`;
`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески "kathetos - катет" означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);
`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;
`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;
`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;
`R` – радиус описанной окружности;
`r` – радиус вписанной окружности.
Напомним, что если `alpha` - величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то
`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `"tg"alpha = a/b`.
Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
`c^2 = a^2 + b^2`
Доказательство теоремы повторите по учебнику.
Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
`a^2 = c * a_c`
`b^2 = c * b_c`
Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ - alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.
Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c`. Аналогично доказывается второе равенство.
Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу
`h^2 = a_c * b_c`
Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `"tg"alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `"tg"alpha = (BD)/(CD)`.
Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.
Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу
`a * b = c * h`
Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.
Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.
`m_c = 1/2 c`
Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MK\Vert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`
.
Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MK\Vert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.
Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы
`R = m_c = 1/2 c`
Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.
Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей
`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`
Пусть `O` - центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` - точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` - квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC - FC`, `AN = AC - CN`, т. е. `BF = a - r` и `AN = b - r`.
Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` - общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b - r`.
Аналогично доказывается, что `BS = a - r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b - r) + (a - r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.
Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Приведём примеры применения доказанных метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.
Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны `9` и `16` . Найти радиус вписанной окружности.
1. Пусть `a_c = 9`, `b_c = 16` (рис. 4), тогда `c = a_c + b_c = 25`.
2. По Свойству 1: `a = sqrt(c * a_c) = 15`, `b = sqrt(c * b_c) = 20`.
3. По Свойству 6: находим радиус `r = 1/2 (a + b - c) = 5`.
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота (рис. 5), расстояние между их основаниями равно `1`. Найти катеты, если известно, что один из них в два раза больше другого.
1. Заметим, что `a_c = c/2 - 1`, a `b_c = c/2 + 1` (рис. 5), откуда `a^2 = c * a_c = c(c/2 - 1)` и `b^2 = c * b_c = c(c/2 + 1)`.
2. По условию `b = 2a`, значит `b^2 = 4a^2`, т. е. `c(c/2 + 1) = 4c(c/2 - 1)`.
Находим `c = (10)/3`, и `a = sqrt(c(c/2 - 1)) = 2/3 sqrt5` и `b = 2a = 4/3 sqrt5`.
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.
основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам (рис. 6).
В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.
По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что `C_1B = AC`, следовательно `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.
Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.
Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае (см. рис. 6) точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и каждая медиана делится точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.
Пусть `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC` (рис. 7а).
Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F` параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса `BK = KD` `(/_ABC`, $$ EK\Vert AD)$$ и `DL = LC` `(/_ACB`, $$ AD\Vert FL)$$. Но `BD = DC = a//2`, поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, $$ NK\Vert MD\Vert FL)$$, поэтому `BM = 2MF`.
Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.
Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны, иллюстрация на рисунке 7б.
Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.
Две стороны треугольника равны соответственно `6` и `8`. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.
1. Пусть `AC = 6`, `BC = 8` и медианы `AN` и `BM` пересекаются в точке `O` и перпендикулярны (рис. 8).
Положим `AN = n` и `BM = m`. Из доказанной теоремы следует, что `AO = 2/3 n` и `BO = 2/3 m`.
2. Медианы перпендикулярны, поэтому треугольники `AOM` и `BON` прямоугольные.
Применим теорему Пифагора (ещё учтём, что `AM = 1/2 AC = 3` и `BN = 1/2 BC = 4`),
получим: $$
\left\{
\begin{aligned}
16=\frac49 m^2+\frac19 n^2,\\
9=\frac19 m^2 + \frac49 n^2.\\
\end{aligned}
\right.
$$
Сложив эти равенства, найдём, что `m^2 + n^2 = 45`.
3. Длина стороны `AB` находится из прямоугольного треугольника `AOB:`
`x^2 = 4/9m^2 + 4/9n^2 = 4/9(m^2 + n^2) = 20`.
Итак, `AB = 2 sqrt5`.
Свойства высот и биссектрис будут далее рассмотрены в §3.
Две фигуры `F` и `F'` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F'` подобны, то пишется `F ~ F'`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC ~ Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` - в `B_1`, `C` - в `C_1`.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC ~ Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,
`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.
Два треугольника подобны, если:
1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.
В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.
Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.
Доказательство
Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.
И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.
Решение
1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MO\parallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому
`(MO)/(AD) = (BO)/(BD)` (1)
2. $$ AD\parallel BC$$, `Delta AOD ~ Delta COB` по двум углам (рис. 10б):
`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.
3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение
`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.
Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.
Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MN\parallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.
1. Пусть $$ BF\Vert CD$$ и $$ ME\Vert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME ~ Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.
2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` - параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x - a`; `AE = 5a - x`. Итак, имеем `(5a - x)/(x - a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.
Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.
Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.
Попытайтесь доказать это самостоятельно.
Прямоугольные треугольники подобны, если:
1. они имеют по равному острому углу;
2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;
3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.
Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.
Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.
СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС
Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` - его высоты, то `Delta A_1B_1C ~ Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).
Доказательство
Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).
В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` - прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.
В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` - прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.
В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.
Таким образом, `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` - тупоугольный (рис. 12б), угол `C` - острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.
Рассуждения аналогичны:
$$\left.\begin{array}{rcl}
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
\end{array}
\right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$
коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.
Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` - тупоугольный (рис. 12в), угол `C` - тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.
`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ - /_ C`, `cos varphi = - cos C = |cos C|`.
$$\left.\begin{array}{rcl}
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
\end{array}
\right\}\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$
с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.
В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).
Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).
Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).
Решение
По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C ~ Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.
Аналогично `Delta AB_1C_1 ~ Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.
Так как `BB_1` - высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.
Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ - /_B`, т. е. луч `B_1B` - биссектриса угла `A_1B_1C_1`.
Аналогично доказывается, что `A A_1` - биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` - биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.
Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.
Решение
`Delta AHB_1 ~ Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.
Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.
Решение
1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ - C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` - острый, `/_ C = 45^@`.
Ответ:
`/_ C = 45^@`.
Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` - биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.
Доказательство
Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` - её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).
Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` - биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ AD\Vert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.
Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.
Решение
Пусть `AD` - биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).
По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x < 3x + 8)`, `3x < 5x + 8` и `ul (8 < 3x + 5x)`. Получаем ограничения `x<4` и `x > 1`.
Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16 < P < 40)`.
Рассмотрим задачи, решения которых основаны на теореме о пресечении угла параллельными прямыми и подобии треугольников. Напомним теорему:
Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки, т. е. если $$ {l}_{1}\parallel {l}_{2}$$, то `(AC)/(AB) = (AC_1)/(AB_1) = (C C_1)/(BB_1)` или `m/x = (m + n)/(x + y) = n/y`.
Точка `N` лежит на стороне `AC` треугольника `ABC` причём `AN:NC = 2:3`. Найти, в каком отношении медиана `AM` делит отрезок `BN`.
1. Пусть `O` - точка пересечения медианы `AM` и отрезка `BN`. Требуется найти отношение `BO:ON`. Обозначим `AN = 2x`, тогда `NC = 3x`. Отметим, что `BM = MC` (рис. 18а).
Проведём прямую `NK` параллельно медиане `AM` (рис. 18б).
Параллельные прямые `AM` и `NK` пересекают стороны угла `MCA`, следовательно, `(MK)/(KC) = 2/3`. Полагаем `ul (MK = 2y)`, тогда `KC = 3y`, а т. к. `BM = MC`, то `ul (BM = 5y)`.
2. Те же прямые пересекают стороны угла `NBC` (см. рис. 18в), поэтому `(BO)/(ON) = (BM)/(MK) = (5y)/(2y)`, т. е. `(BO)/(ON) = 5/2`.
Точки `D` и `F` лежат на сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` (рис. 19), при этом `AD:DB = 1:2` и `BF:FC = 2:3`. Прямая `DF` пересекает прямую `AC` в точке `K`. Найти отношение `AK:AC`.
1. Пусть `AD = x`, `BF = 2y`, `KA = z`. Тогда `DB = 2x` и `FC = 3y`.
Проводим прямую `AE`, параллельную стороне `CB`.
`Delta ADE ~ Delta BDF| => AE:BF = AD:BD => ul(AE = y)`.
2. `Delta KAE ~ Delta KCF | => (KA)/(KC) = (AE)/(CF)`, т. е. `z/(a + z) = y/(3y)`. Находим `a = 2z`.
`AK:AC = 1:2`.
В треугольнике `ABC` точки `D` и `K` лежат соответственно на сторонах `AB` и `AC`, отрезки `BK` и `CD` пересекаются в точке `O` (рис. 20), при этом `BO:OK = 3:2` и `CO:OD = 2:1`. Найти в каком отношении точка `K` делит сторону `AC`, т. е. `AK:KC`.
1. Полагаем `OD = x`, `OK = 2y`, тогда `OC = 2x` и `BO = 3y`.
Проводим прямую $$ KF\parallel CD$$ (рис. 20б).
Из $$ KF\parallel OD$$ `(/_ ABK)` следует `BD:DF = 3:2`. Обозначаем `DF = 2p`, тогда `BD = 3p`.
2. `Delta FBK ~ Delta DBO`, `FK:DO = FB:DB`, откуда `FK = (5p)/(3p) * x = 5/3 x`.
3. `Delta AFK ~ Delta ADC`, `AF:AD = FK:DC`. Обозначаем `AF = z`, имеем `z/(z + 2p) = (5/3 x)/(3x)`,
откуда `z = 5/2 p`, т. е. `AF = 5/2 p`.
4. Рассматриваем `/_ BAC`, $$ FK\parallel DC$$, по теореме `AK:KC = AF:FP`, т. е. `AK:KC = 5:4`.
Все три рассмотренные задачи могут быть решены с применением теоремы Менелая.
Пусть в треугольнике `ABC` точка `A_1` лежит на стороне `BC`, точка `C_1` - на стороне `AB`, а точка `B_1` - на продолжении стороны `AC` за точку `C`.
Если точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой (рис. 21), то выполняется равенство
`(AC_1)/(C_1 B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`. `(**)`
Обратно, если выполняется равенство `(**)`, то точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. (Заметим, что можно считать `B_1C_1` секущей треугольника `ABC`, а можно считать `BC` секущей треугольника `AB_1C_1`).
а) Предположим, что точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой. Проведём $$ CK\parallel AB$$ (рис. 21). `Delta CKB_1 ~ Delta AC_1B_1`, поэтому `(CK)/(AC_1) = (CB_1)/(AB_1)`, откуда `CK = (CB_1)/(AB_1) * AC_1`.
Далее: `Delta CKA_1 ~ Delta BC_1A_1`, значит
`(CK)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`.
Подставляя сюда выражение для `CK`, получим `(CB_1)/(AB_1) * (AC_1)/(BC_1) = (CA_1)/(BA_1)`, т. е. `(AC_1)/(C_1B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`, ч. т. д.
б) Пусть выполнено равенство `(**)` для точек `A_1`, `B_1` и `C_1` (рис. 22), докажем, что эти точки лежат на одной прямой.
Через две точки `A_1` и `B_1` проведём прямую, пусть `C_2` - её точка пересечения с прямой `AB` (точка пересечения будет лежать на отрезке `AB`).
Три точки `A_1`, `B_1` и `C_2` лежат на одной прямой и по доказанному в пункте а) выполняется равенство
`(AC_2)/(C_2B) * (BA_1)/(A_1C) * (CB_1)/(B_1A) = 1`.
Сравнив это равенство с равенством `(**)`, придём к выводу, что `(AC_2)/(C_2B) = (AC_1)/(C_1B)`. Точки `C_2` и `C_1` лежат на отрезке `AB` и делят его в одном отношении, считая от конца `A`. Следовательно, точка `C_2` совпадает с точкой `C_1`, т. е. точки `A_1`, `B_1` и `C_1` лежат на одной прямой.
Стрелки на рисунке 21 (от точки `A`) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции `(**)`.
Например, применим теорему Менелая к задаче из примера 12. Полагаем `BO = m`, `ON = n` (см. рис. 23) и рассматриваем треугольник `CBN` и секущую `AM`.
Имеем:
`(CM)/(BM) * (BO)/(ON) * (NA)/(AC) = 1`, т. е. `1/1 * m/n * (2x)/(5x) = 1`, откуда `m/n = 5/2`.
Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.
Через точку `M` - середину стороны `AB` - проведём прямую, параллельную основанию (рис. 24).
Докажем, что она разделит пополам обе диагонали и другую боковую сторону. В треугольнике `BAC` $$ MP\parallel BC$$ и `AM = MB`. По теореме Фалеса `AP = PC`.
В треугольнике `ABD` точка `M` - середина стороны, $$ MQ\parallel AD$$. По теореме Фалеса `BQ = QD`. Наконец, в треугольнике `BDC` точка `Q` - середина `BD`, $$ QN\parallel BC$$. По теореме Фалеса `CN = ND`.
Итак, середины боковых сторон (точки `M` и `N`) и середины диагоналей (точки `P` и `Q`) лежат на одной прямой.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Пусть `AD = a`, `BC = b`. Из Свойства 1 следует, что `MQ` - средняя линия треугольника `ABD`, поэтому `MQ = a/2`; `MP` и `QN` - средние линии треугольников `BAC` и `BDC`, поэтому `MP = QN = b/2`.
Отсюда следует, что `MN = (a + b)/2` и `PQ = (a - b)/2`.
Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке `K`. Через точку `K` и точку `O` пересечения диагоналей проведём прямую `KO` (рис. 25).
Докажем, что эта прямая делит основания пополам.
Обозначим `BM = x`, `MC = y`, `AN = u`, `ND = v`.
Имеем:
, т. е. `x/u = y/v`.
Далее, `Delta BMO ~ Delta DNO => (BM)/(ND) = (MO)/(NO)`, `Delta CMO ~ Delta ANO => (MC)/(AN) = (MO)/(NO)`, поэтому `(BM)/(ND) = (MC)/(AN)`, т. е. `x/v = y/u`.
Перемножим полученные равенства, получим `x^2/(uv) = y^2/(uv)`, откуда следует `x = y`, но тогда и `u = v`.
В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Проведём $$ CF\parallel BA$$ (рис. 26).
`ABCF` - параллелограмм, `CF = BA`, тогда треугольник `FCD` равнобедренный, `/_ 1 = /_ 2`. Но `/_ 2 = /_ 3`, следовательно, `/_ 1 = /_ 3`.
В равнобокой трапеции высота, опущенная из конца меньшего основания на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.
Если `BM_|_ AD` и `CN _|_ AD`, то `Delta BAM = /_ CDN` (рис. 27).
`BMCN` - прямоугольник, `MN = b`, тогда `ND = (a - b)/2`, а `AN = a - (a - b)/2 = (a + b)/2`.
В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Пусть `K` - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции (рис. 28). Как следует из Свойства 2, середины оснований – точки `M` и `N` - и точка `K` лежат на одной прямой, а как следует из Свойства 4, углы `A` и `D` равны. Таким образом, треугольник `AKD` - равнобедренный, `KN` - его медиана, она является и высотой. Итак, `MN _|_ AD`.
Легко видеть, что при симметрии относительно прямой `MN` точки `A` и `B` переходят в точка `D` и `C` и наоборот. `MN` - ось симметрии трапеции.
В равнобокой трапеции диагонали равны.
Рассмотрим треугольники `ABD` и `DCA` (рис. 29): `AB = DC` (трапеция равнобокая), `AD` - общая сторона, `/_ BAD = /_ ADC` (следует из Свойства 4). По первому признаку равенства эти треугольники равны и `BD = AC`.
Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна `6`. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен `4,5` (рис. 30). Найти другую диагональ.
1. Треугольник `AOD` - прямоугольный, `ON` - медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, т. е.
`ON = 1/2 AD`.
Аналогично устанавливается, что `OM = 1/2 BC`. По Свойству 3 точки `M`, `O` и `N` лежат на одной прямой. Таким образом, `MN = OM + ON = 1/2 (AD + BC)`, поэтому `AD + BC = 2MN = 9`.
2. Проведём через точку `D` прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` - точка её пересечения с прямой `BC`, Угол `BDK` прямой, это угол между диагоналями трапеции. Кроме того, `ACKD` по построению параллелограмм, `CK = AD`, значит, `BK = BC + AD = 9`. Треугольник `BKD` - прямоугольный, один из катетов (пусть `DK`) равен `6`. По теореме Пифагора находим: `BD = sqrt(BK^2 - DK^2) = 3 sqrt5`.
В равнобокой трапеции с периметром `10` и высотой `2` диагонали, пересекаясь, делятся в отношении `4:1`. Найти основания.
1. Пусть `O` - точка пересечения диагоналей трапеции `ABCD` (рис. 31) и `AO:OC =BO:OD= 4:1`. Треугольники `AOD` и `COB` подобны, `AO:OC = AD:BC = 4`, т. е. `AD = 4BC`. Обозначим `BC = x`, тогда `AD = 4x`.
2. Пусть `CK _|_ AD`; `CK` - высота трапеции, по условию `CK = 2`, а как следует из Свойства 5,
`KD = 1/2 (AD - BC) = 3/2 x`.
Из прямоугольного треугольника `CKD` имеем `CD = sqrt(4 + 9/4 x^2)`. Выражаем периметр трапеции: `10 = (5x + 2 sqrt(4 + 9/4 x^2) )`.
Решаем уравнение `2 sqrt(4 + 9/4 x^2) = 10 - 5x`, оно имеет единственный корень `x = 1`.
Итак, `BC = 1`, `AD = 4`.
Прежде чем приступать к нему, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.
1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится `0` очков. Примеры ответов приведены далее.
2. Если в контрольном вопросе сначала требуется сформулировать или доказать некоторую теорему, то формулировать теорему полностью, а ответ на сопутствующий вопрос надо постараться дать на основе этой теоремы.
3. Если в решении длина какого-либо отрезка выразится иррациональным числом (например, `a = sqrt5`), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближённое.
4. Если в решении использовались тригонометрические функции и получилось, например, `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, то не следует определять величину угла `alpha` по таблице или на калькуляторе приближённо и затем тем же способом находить значение `cosalpha`, `sin 2 alpha`, `sin (alpha + 45^@)` и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам! Например
`cos alpha = - sqrt(1 - sin^2 alpha) = - 1/3`,
если угол `alpha` тупой и `sin alpha = (2 sqrt2)/3`, а
`sin (alpha + 45^@) = sin alpha * cos 45^@ + cos alpha * sin 45^@ = (sqrt2)/2 (sin alpha + cos alpha)`.
5. Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняю-щим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.
6. Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нём уместились все введённые Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 12 и рис. 15 Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение или проверить его).
7. Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1) … 2) … 3) … и то, что вычислено или выражено и важно для дальнейшего, выделять, например, так
`AD=3//2x`, `BC=1`.
Кроме того, вычисления разумно производить в кратких обозначениях (а математика – это здравый смысл), например
`x/y = u/v`, `x/v = y/v|=> x = y` и `u = v`
или `a = sqrt (c(c/2 - 1))`,
а не `BC = sqrt (AB((AB)/2 - MN))`.
Вопрос. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, можно ли утверждать, что этот четырёхугольник – ромб?
Ответ. Нет, нельзя. Например, четырёхугольник на рисунке 32, в котором `AC _|_ BD`, `BO = OD` и `AO = 3OC`ромбом не является, т. к. `AB != BC`. Верным будет следующее утверждение: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
Вопрос. Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?
Ответ. Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике `ABC` биссектриса `BM` является медианой: `AM = MC` (рис. 33). На продолжении биссектрисы `BM` отложим отрезок `MD`, равный `BM`. Треугольники `ABM` и `CDM` равны по первому признаку: у них углы при вершине `M` равны, как вертикальные, и `AM = CM`, `BM = DM`.
Из равенства треугольников следует
`CD = AB` (1)
и `/_ CDM = /_ ABM`. Но `/_ABM = /_ CBM`, поэтому `/_ CDM = /_ CBM`, т. е. в треугольнике `BCD` углы при основании `BD` равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: `BC = CD`. Отсюда и из (1) заключаем: `BC = AB`. Утверждение доказано.
Напомним определение модуля числа:
\[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right. \]
Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения.
.
.
.
.
.
.
. (здесь равенство достигается, когда числа `a` и `b` одного знака или одно из них равно нулю; если же числа `a` и `b` разных знаков, то выполняется строгое неравенство).
.
. - это расстояние от точки `a` на числовой оси до точки `0`.
. - это расстояние между точками `a` и `b` на числовой оси.
.
Докажем свойство . Остальные свойства проверьте самостоятельно. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возведение их в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем
\[|a+b|^2 \le (|a| + |b|)^2 \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 \le |a|^2 + 2|a| \cdot |b| + |b|^2 \Leftrightarrow ab \le |ab|.\]
Последнее неравенство верно (свойство ). Заметим, что оно обращается в равенство, когда числа и одного знака (или одно из них равно нулю).
Перейдём к уравнениям с модулем. В простейших случаях можно воспользоваться свойством модуля .
Решите уравнение:
a) б) в)
a) - это расстояние между точками `x` и `2` на число вой прямой (свойство ). Поэтому уравнение можно прочитать так: точка `x` удалена от точки `2` на расстояние `5`. Иначе говоря, мы ищем точки, удалённые от точки `2` на расстояние `5`. Ясно, что это точки `-3` и `7`. Записать решение короче всего так:
\[|x-2| = 5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x-2 &= 5, \\ x-2 &= -5 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x &= 7, \\ x &= -3 \end{aligned} \right. .\]
`x=-3`; `x=7`.
б) Левая часть уравнения неотрицательна (свойство ). Поэтому уравнение не имеет решений.
нет решений.
в) Задачу можно сформулировать так: расстояние от точки `x` до точки `2` равно расстоянию от точки `x` до точки `(– 6)`, то есть мы ищем точку на прямой, равноудалённую от точек `2` и `(– 6)`. Ясно, что это середина отрезка, соединяющего эти точки, т. е. `x = -2`.
Покажем ещё один способ решения:
\[|x-2| = |x+6|\Leftrightarrow (x-2)^2 = (x+6)^2\Leftrightarrow x = -2 \]
`x=-2`.
Если уравнение имеет более сложный вид, то, как правило, приходится раскрывать модуль по определению. Для этого отмечаем на числовой прямой точку (точки), в которых выражения, находящиеся под модулем, обращаются в ноль. Эти точки делят прямую на несколько промежутков, на каждом из которых знаки подмодульных выражений фиксированы, поэтому можно раскрыть модули. Рассмотрим пример.
Решите уравнение: .
Отметим на числовой прямой точки . Получаем `3` точки, которые разбивают числовую прямую на `4` интервала. Раскрываем модули на каждом из этих интервалов (см. рис. 1).
Рассмотрим 4 случая:
а) Тогда:
\[-(x+1) + 11 = -(2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -10.\]
Убеждаемся, что удовлетворяет условию , поэтому является решением данного уравнения.
б) . Тогда:
\[-(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow x = -1.\]
Однако не удовлетворяет условию , поэтому не подходит.
в) . Тогда:
\[(x+1) + 11 = (2x+11) + (1-x) \Leftrightarrow 12 = 12.\]
Получилось верное равенство, поэтому все `x`, удовлетворяющие условию являются решениями.
г) . Тогда:
\[(x+1) + 11 = (2x+11) - (1-x) \Leftrightarrow x = 1.\]
Условие не выполнено, поэтому данный корень не подходит.
Объединяем полученные решения и получаем .
.
1) При таком методе решения необходимо проверять принадлежат ли найденные корни рассматриваемому в данный момент промежутку – иначе можно получить неверный ответ.
2) Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль, можно включать в любой из двух промежутков, для которых они являются границами. Например, если бы в случае б) мы взяли то число попало бы в промежуток. В случае в) мы бы рассматривали и здесь корня мы бы не получили. При этом объединение всех решений было бы тем же самым.
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства называют рациональными. Для их решения применяют следующий алгоритм: все члены переносят в одну сторону, приводят их к общему знаменателю, а далее у полученной дроби числитель и знаменатель раскладывают на множители. После этого на числовой прямой отмечают точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, а затем на полученных промежутках расставляют знаки, которые принимает дробь - далее остаётся записать ответ.
Покажем, как работает метод интервалов на нескольких примерах.
Решите неравенства:
а) `((x^2+5x+6)(x-4))/(x^2-x)>=0`;
б) `(x-3)^2(x-4)^3(x-5)(x-6)^4<=0`;
в) `1/x<1/3`;
г) `((x^2-x-2)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(2x^2-x-6))<=0`;
д) `3/(x^3-3x^2+4)-10/(x^3-7x^2+4x+12)>1/(x^2-5x-6)`.
а) Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, получаем
`((x+2)(x+3)(x+4))/(x(x-1))>=0`. (1)
Точки, в которых числитель обращается в ноль (нули числителя), обозначаем на числовой прямой маленькими закрашенными кружочками – они будут включены в ответ, так как в них неравенство выполняется. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль (нули знаменателя), обозначаем на числовой прямой маленькими пустыми кружочками (такие точки называются выколотыми) – они не будут включены в ответ, так как в них левая часть не определена (рис. 2).
Отмеченные точки делят числовую прямую на шесть промежутков, на каждом из которых знак левой части неравенства (1) постоянен. Чтобы определить знаки, сначала определим знак левой части (1) на крайнем правом промежутке `(4; +oo)`. Для этого можно подставить какое-либо значение переменной `x` из этого промежутка в (1), например, `x=1000`. Несложно видеть, что при этом каждый из множителей в числителе и знаменателе положителен, поэтому дробь больше нуля, и на промежутке `(4; +oo)` можем поставить знак `«+»`.
Теперь переместимся в соседний промежуток `(1; 4)`. Заметим, что при переходе через точку `x=4` только один из множителей в (1) меняет знак (это `(x-4)`), а все остальные знаки остаются неизменными, поэтому дробь меняет знак, и на промежутке `(1; 4)` ставим знак `«-»`. При переходе к каждому следующему промежутку ровно один множитель в числителе или знаменателе (1) меняет знак, поэтому меняет знак и вся дробь, то есть знаки чередуются. Получаем такую расстановку знаков:
`x in [-3; -2]uu(0; 1)uu[4; +oo)`.
б) Здесь левая часть уже разложена на множители, и нам остаётся лишь расставить знаки. Для этого отмечаем на числовой прямой точки `x=3`, `x=4`, `x=5`, `x=6` (все они невыколотые и являются решениями неравенства) и приступаем к расстановке знаков. Принципиальное отличие этого примера от предыдущего в том, что некоторые из множителей возводятся в степень. На что это влияет? Если показатель степени чётный, то соответствующий множитель не меняет знак при переходе через ту точку, в которой он обращается в ноль (например, `(x-3)^2>=0` при любых `x`, поэтому с обеих сторон от точки `x=3` выражение `(x-3)^2` положительно). Если показатель степени нечётный, то множитель меняет знак при переходе через ту точку, в которой он равен нулю. В итоге получаем следующую расстановку знаков:
Не забываем также включить в ответ все точки, отмеченные на прямой жирными кружочками.
`x in {3}uu[4;5]uu{6}`.
в) Переносим `1/3` влево и приводим дроби к общему знаменателю: `(3-x)/(3x)<0`. Расставляем знаки левой части на числовой прямой (для строгого неравенства все точки на прямой выколотые, так как нули числителя решениями неравенства не являются (рис. 5)).
`x in (-oo; 0)uu(3;+oo)`.
При решении этой задачи часто допускают следующие ошибки.
1) Умножают обе части неравенства на `x`. Этого делать нельзя, так как если мы умножаем обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства надо поменять, если на положительное, то знак надо оставить таким, какой он и был. Поскольку знак `x` нам неизвестен, то мы не можем корректно выбрать знак нового неравенства.
2) В исходном неравенстве требуется сравнить две дроби с одинаковыми числителями. Значит больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так рассуждать нельзя, поскольку это свойство справедливо лишь для тех дробей, у которых числитель и знаменатель положительны. Если числитель или знаменатель отрицательны, то это свойство неверно (например, `-3<3` и `1/(-3)<1/3`).
г) Находим нули числителя и знаменателя. Получаем:
1. `x^2-x-2=0 iff x=2` или `x=-1` (поэтому `x^2-x-2=(x-2)(x+1)`);
2. `2x-3-x^2-x^2=0 iff O/` (т. к. дискриминант отрицателен). Следовательно, выражение `-x^2+2x-3` отрицательно при всех `x` (графиком функции `f(x)=-x^2+2x-3` является парабола с ветвями вниз, при этом она не пересекает ось абсцисс, так как у уравнения `f(x)=0` нет корней; значит, эта парабола целиком расположена ниже оси абсцисс, то есть `f(x)<0` при всех `x`).
3. `x^2+4x+5=0 iff O/`, поэтому `x^2+4x+5>0` при всех `x`.
4. `2x^2-x-6=0 iff x=2` или `x=-3/2`. Значит,
`2x^2-x-6=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.
Исходное неравенство равносильно следующему
`((x-2)(x+1)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(x-2)(2x+3))<=0`.
Отбросив множители `(2x-3-x^2)` и `(x^2+4x+5)`, знаки которых не зависят от `x` получаем
$$ {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(2x+3\right)}}\ge 0\iff \left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+1}{2x+3}}\ge 0,\\ x\ne 2.\end{array}\right.$$
Решая первое неравенство системы методом интервалов, получаем
С учётом второго неравенства `x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.
`x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.
д) Прежде всего, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Чтобы сделать это, раскладываем знаменатели дробей на множители.
Заметим, что `x=-1` является корнем каждого из знаменателей в левой части неравенства. Выполняя деление на `(x+1)`, получаем следующие разложения на множители:
`x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2`;
`x^3-7x^2+4x+12=(x+1)(x^2-8x+12)=(x+1)(x-2)(x-6)`;
`x^2-5x-6=(x+1)(x-6)`.
Преобразуем исходное неравенство:
`3/((x+1)(x-2)^2)-10/((x+1)(x-2)(x-6))>1/((x+1)(x-6)) iff`
`iff (3(x-6)-10(x-2)-(x-2)^2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`
`iff (-x^2-3x-2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`
`iff (-(x+1)(x+2))/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`
$$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2\left(x-6\right)}<0,\\x\neq-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x-6}<0,\\x\neq-1,\;x\neq2.\end{array}\right.$$
Решая первое неравенство системы методом интервалов, находим, что `x in (-2; 6)`. Исключая точки `x=-1` и `x=2`, получаем `x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.
`x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.
Заметим, что знаки следующих выражений совпадают:
`|a|-|b|` и `a^2-b^2`,
`a^(2n)-b^(2n)(n in NN)` и `a^2-b^2`, (2)
`a^(2n+1)-b^(2n+1)(n in NN)` и `a-b`.
Это свойство иногда оказывается полезным при решении неравенств. Когда мы решаем дробно-рациональное неравенство (возможно, содержащее знак модуля), мы приводим его к виду «дробь `>0`» (или «дробь `>=0`»), после чего числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители. Так как мы сравниваем дробь с нулём, то нас интересуют только знаки каждого из множителей в числителе и знаменателе. Следовательно, если мы некоторые из них заменим на выражения тех же самых знаков по формулам (2), то получим равносильное неравенство.
Решите неравенство
`((x^8-256)(|3x+4|-|2x-7|))/(243-x^5)>=0`.
Заменим множитель `x^8-256=x^8-2^8` на `x^2-x^2`;
множитель `|3x+4|-|2x-7|` на `(3x+4)^2-(2x-7)^2`;
множитель `243-x^5=3^5-x^5` на `3-x`. Получаем
`((x^2-2^2)((3x+4)^2-(2x-7)^2))/(3-x)>=0`.
Каждую из скобок в числителе раскладываем на множители по формуле разности квадратов.
`((x-2)(x+2)(3x+4+2x-7)(3x+4-2x+7))/(3-x)>=0 iff`
`iff ((x-2)(x+2)(5x-3)(x+11))/(x-3)<=0 iff x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.
`x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.
Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля.
Решите неравенство:
а) `|x-2|>=-1`;
б) `|x-4|<-2`;
в) `|1-x|<=4`;
г) `|3+x|>5`.
а) `|x-2|>=0>-1` - верно для всех `x`.
б) Решений нет, т. к. `|x-4|>=0` для всех `x`.
в) Воспользуемся снова свойством $$ {10}^{○}$$ (см. § 1). Тогда условие звучит так: расстояние от точки `x` до точки `1` не превосходит `4`. То есть, мы ищем все точки прямой, удалённые от точки `1` на расстояние, не большее `4` (см. рис. 7).
Запишем решение так:
`|1-x|<=4 iff -4<=1-x<=4 iff -3<=x<=5`.
г) `|x+3|=|x-(-3)|`. Поэтому `|x+3|` - это расстояние между точками и (`–3`). Ищем все точки на прямой, удалённые от точки (`–3`) на расстояние, большее `5` (см. рис. 8).
Запишем решение:
$$\left|3+x\right|>5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3+x>5,\\3+x<-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>2,\\x<-8.\end{array}\right.$$
`x in (-oo;-8)uu(2;oo)`.
При решении неравенств, содержащих знак модуля, часто бывают полезны следующие равносильные переходы.
$$ {12}^{○}$$. `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`.
$$ {13}^{○}$$. $$\left|f\left(x\right)\right|>g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right),\\f\left(x\right)<-g\left(x\right).\end{array}\right.$$
$$ {14}^{○}$$. $$\left|f\left(x\right)\right|< g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right),\\f\left(x\right)>-g\left(x\right).\end{array}\right.$$
Докажем некоторые из них.
$$ {12}^{○}$$. Если обе части неравенства неотрицательны, то его можно возвести в квадрат. Таким образом, `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`. Докажем в обратную сторону:
`f^2(x)>g^2(x) iff |f(x)|^2-|g(x)|^2>0 iff`
`iff (|f(x)|-|g(x)|)*(|f(x)|+(g(x)|)>0`.
Последнее условие означает, что числа `|f(x)|+|g(x)|` и `|f(x)|-|g(x)|` имеют один знак; `|f(x)|+|g(x)|` не может быть отрицательным, поэтому оба числа должны быть положительны `=> |f(x)|-|g(x)|>0=> |f(x)|>|g(x)|`. Утверждение доказано.
$$ {14}^{○}$$. Рассмотрим 2 случая.
(1) `g(x)<=0`. Тогда неравенство `|f(x)|<g(x)` не имеет решений;
не имеет решений и система, так как $$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right)\leq0,\\f\left(x\right)>-g\left(x\right)\geq0,\end{array}\right.$$ откуда следует, что `f(x)>0` и `f(x)<0`, что невозможно. Значит, если `g(x)<=0`, система и неравенство равносильны.
(2) `g(x)>0`. Тогда наше утверждение сводится к простейшему неравенству с модулем:
`|t|<a iff -a<t<a`.
Аналогично, `|f(x)|<g(x) iff -g(x)<f(x)<g(x)`.
Решите неравенство:
а) `|2x^2-3x+1|<=3x-2x^2-1`;
б) `|3x-7|>=|1-4x|`;
в) `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.
а) `|2x^2-3x-1|<=3x-2x^2-1 iff`
`iff |2x^2-3x+1|<=-(2x^2-3x+1) iff^**`
`iff 2x^2-3x+1<=0 iff (2x-1)(x-1)<=0 iff`
`iff 1/2 <=x<=1`.
`[1/2;1]`.
б) $$ \left|3x-7\right|\ge \left|1-4x\right|\stackrel{{12}^{○}}{\iff }{\left(3x-7\right)}^{2}\ge {\left(1-4x\right)}^{2}\iff $$
`iff (3-7)^2-(1-4x)^2>=0 iff`
`iff (3x-7-1+4x)(3x-7+1-4x)>=0 iff`
`iff (7x-8)(-6-x)>=0 iff -6<=x<=8/7`.
`[-6;8/7]`.
в) $$ \left|\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\right|\ge 2x+2\stackrel{{13}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\ge 2x+2\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|-{x}^{2}\le -2x-2\end{array}\right.\iff $$
$$ \left[\begin{array}{l}\left|{x}^{2}-8x+2\right|\ge {x}^{2}+2x+2,\\ \left|{x}^{2}-8x+2\right|\le {x}^{2}-2x-2\end{array}\right.\stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }$$
$$ \stackrel{{13}^{○},{14}^{○}}{\iff }\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\ge {x}^{2}+2x+2,\\ {x}^{2}-8x+2\le -{x}^{2}-2x-2,\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-8x+2\le {x}^{2}-2x-2,\\ {x}^{2}-8x+2\ge -{x}^{2}+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff $$
$$\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ {x}^{2}-3x+2\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l}6x\ge 4,\\ {x}^{2}-5x\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge 2/3,\\ \left[\begin{array}{l}x\ge 5,\\ x\le 0.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\iff$$
$$ \iff\left[\begin{array}{l}x\le 0,\\ 1\le x\le 2,\\ x\ge 5.\end{array}\right.$$
`x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.
В некоторых случаях применение выше рассмотренных свойств нецелесообразно, и проще раскрыть модули по определению (рассмотрев знаки выражений под модулями).
Решите неравенство `6|x^2-3x-4|+1>5|x+5|`.
Решение проводится по той же схеме, что и в примере 2. Отмечаем на числовой прямой точки `x=4`, `x=-1` и `x=-5`, в которых подмодульные выражения равны нулю (рис. 9).
а) `x<=-5`. Здесь `x^2-3x-4>0`, `x+5<=0`, поэтому получаем
`6x^2-18x-24+1> -5x-25 iff 6x^2-13x+2>0 iff`
`iff (x-2)(6x-1)>0 iff x in (-oo;1/6)uu(2;+oo)`.
С учётом ограничения `x<= -5 : x in (-oo;-5]`.
б) `x in (-5;-1]uu(4;+oo)`. На этих двух промежутках `x^2-3x-4>=0`, `x+5>0`, поэтому получаем `6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-23x-48>0 iff`
`iff (3x-16)(2x+3)>0 iff x in (-oo;-3/2)uu(16/3;+oo)`.
Учитывая рассматриваемые значения переменной, получаем
`x in (-5;-3/2)uu(16/3;+oo)`.
в) `x in (-1;4]`. Тогда `x^2-3x-4<=0`, `x+5>0` и неравенство принимает вид
`-6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-13x<0 iff`
`iff 6x(x-13/6)<0 iff 0<x<13/6`.
Объединяя результаты, получаем
`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.
`x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.
График квадратичной функции `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.
Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек - корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля - то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю - парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.
Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.
Выделим полный квадрат:
`y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=`
`=-2(x^2-4x+4-4)-5=-2(x-2)^2+8-5=`
`=-2(x-2)^2+3`.
График функции `y=-2(x-2)^2+3` - парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).
При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.
Решите неравенство:
а) `x^2-x-2>0`;
б) `4x^2+4x+1<=0`;
в) `3x^2-2x+1>0`.
а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2` (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства - объединение открытых лучей:
`(-oo;-1)uu(2;+oo)`.
`x in (-oo;-1)uu(2;+oo)`.
б) `4x^2+4x+1<=0 iff (2x+1)^2<=0 iff 2x+1=0 iff x=-0,5`.
`x=-0,5`.
в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`.
`x in RR`.
Заметим, что эти неравенства могли быть решены также с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).
Парабола `y=2016x^2-1941x-76` - пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).
Так как `a>0` и `c<0`, то `D>0` и данное уравнение имеет корни.
График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` - это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)<0` и вне этого промежутка, если `f(x)>0` (см. рис. 11).
`f(1)=-1<0=>1 in (x_1;x_2)`;
`f(-1)=2016+1941-76>0=>1!in (x_1;x_2)`;
`f(-5)=2016*25+1941*5-76>0=>5!in (x_1;x_2)`.
Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.
1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.
2) Ветви параболы направлены вниз `=>a<0`.
3) Ось симметрии параболы - это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.
`a<0`, `b>0`, `c>0`.
Найти все значения `l`, при которых неравенство
`lx^2-2(l-6)x+3(l-2)<0`
верно для всех значений `x`.
Коэффициент при `x^2` зависит от `l` и равен `0` при `l= 0`. В этом случае данное неравенство не квадратное, а линейное: `12x-6<0`. Это неравенство неверно, например, при `x=1`, значит, при `l=0` данное неравенство не является верным для всех значений `x`.
Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).
Получаем систему неравенств
$$\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\frac D4=\left(l-6\right)^2-3l\left(l-2\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\-2l^2-6l+36<0\end{array}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\left(-2l+6\right)\left(l+6\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\l\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left(3;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow l<-6.$$
Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.
Постройте график функции:
а) `y=|x+3|`;
б) `y=4-|x|`;
в) `y=|4-2x|-1`;
г) `y=2|x+4|+|x-3|+2x-3|x+1|`;
д) `y=|||x|-3|-1|`.
а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|` и `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число. Это означает, что если графику функции `y=f(x)` принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`, расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.
Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).
б) Рассмотрим функции `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх (рис. 14).
в) `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.
Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).
График функции `y=2|x|` получается из него «растяжением» в два раза (рис. 15б); график `y=2|x-2|` получается из предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо (рис. 15в);
график `y=2|x-2|-1` получается из последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).
График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.
1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a<0`, то график функции отражается относительно оси абсцисс.
2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).
3) График сдвигается на `|c|` вверх при `c>0` и на `|c|` вниз при `c<0`.
г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём на каждой из частей знаки выражений, стоящих под модулями, не меняются.
Возможны 4 случая.
1) `ul(x<=-4)`. Тогда `x+4<=0`, `x-3<0`, `x+1<0`, поэтому
`y=2*(-x-4)-(x-3)+2x+3(x+1)=2x-2`.
Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).
2) `ul(-4<x<=-1)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<0`, `x+1<=0`, поэтому
`y=2(x+4)-(x-3)+2x+3(x+1)=6x+14`.
Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми `x=-4` и `x=-1`).
3) `ul(-1<x<=3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<=0`, `x+1>0`, поэтому
`y=2(x+4)-(x-3)+2x-3(x+1)=8`.
Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).
4) `ul(x>3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому
`y=2(x+4)+(x-3)+2x-3(x+1)=2x+2`.
Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой `x=3`). График см. на рис. 16б.
Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения функции в точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:
`A(-4;-10)`, `B(-1;8)`, `C(3;8)`, `D(-5;-12)`, `E(4;10)`.
Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.
д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).
График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)<0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=-f_1(x)`. Таким образом, если при некотором `x` оказалось, что `f_1(x)>=0`, то точки на графике для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают. Если же `f_1(x)<0`, то для `y=f_2(x)` абсцисса точки не поменяется, а ордината сменит знак. График функции `f_3(x)=||x|-3|-1` получается из графика функции `f_2(x)` сдвигом на единицу вниз (рис. 17в).
График функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех точек, лежащих ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).
График функции `y=|f(x)|` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают в верхнюю полуплоскость.
Постройте график функции:
а) `y=x^2-4x+3`,
б) `y=|x^2-4x+3|`,
в) `y=x^2-4|x|+3`,
г) `y=|x^2-4|x|+3|`.
а) `x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1`.
График функции `y=x^2-4x+3` получается из графика функции `y=x^2` сдвигом на `2` вправо и на `1` вниз (рис. 18а).
б) Отразим все точки графика пункта а), лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси (рис. 18б).
в) Заметим, что функция `f(x)=x^2-4|x|+3` чётная (т. е. удовлетворяет условию `f(-x)=f(x)`), поэтому её график симметричен относительно оси ординат. Кроме того, при `x>=0` этот график совпадает с графиком функции `f(x)=x^2-4x+3`.
Отсюда вытекает следующий способ построения. От графика функции `y=x^2-4x+3` оставим точки, лежащие справа от оси `Oy`, отразим их симметрично относительно этой оси, а точки, лежащие слева от оси `Oy`, отбросим (рис. 18в).
График функции `y=f(|x|)` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом. Отбрасываем все точки, лежащие слева от оси `Oy`, а оставшиеся точки отражаем относительно оси `Oy`.
г) Есть 2 способа построения.
(1) Все точки графика из пункта (в), лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси.
(2) От графика пункта (б) отбрасываем точки, лежащие слева от оси ординат; все точки, находящиеся справа от оси ординат, отражаем относительно неё. Разумеется, в обоих случаях получается одинаковый результат (рис. 18г).
Теперь рассмотрим график функции `y=(ax+b)/(cx+d)`; при этом считаем, что
1) `c!=0` - т. к. иначе получится линейная функция – и
2) коэффициенты в числителе и в знаменателе не пропорциональны друг другу, т. е. `ad!=bc`. (Если `ad=bc`, то `b=(ad)/c` и получаем
`(ax+b)/(cx+d)=(ax+(ad)/c)/(cx+d)=(a/c(cx+d))/(cx+d)=a/c` при `cx+d!=0`).
Покажем на примере, как этот график может быть построен.
Постройте график функции:
а) `y=6/(2x+3)`;
б) `y=(6-3x)/(2x+1)`.
а) `y=3/(x+3//2)`. Это график получается из гиперболы `y=3/x` параллельным переносом на `3/2` влево (см. рис. 19). Асимптотами этой гиперболы являются прямые `x=-3/2` и `y=0`. (У каждой гиперболы есть две асимптоты. Горизонтальная асимптота `y=bbb"const"` - это та прямая, к которой график приближается при `x`, стремящемся к бесконечности. Вертикальная асимптота `x=bbb"const"` возникает при том значении `x`, где знаменатель дроби обращается в ноль. При `x`, приближающемся к данной точке, функция стремится к бесконечности).
б) Отношение коэффициентов при `x` в числителе и знаменателе дроби равно `(-3/2)`.
Преобразуем данную дробь, добавляя и вычитая `(-3/2)`:
`y=-3/2+((6-3x)/(2x+1)+3/2)`.
Дроби в скобках приводим к общему знаменателю:
`y=-3/2+(12-6x+6x+3)/(2(2x+1)) iff y=-3/2+15/(4x+2) iff`
`iff y=-3/2+(15//4)/(x+1//2)`.
Этот график получается из графика `y=(15//4)/x` параллельным переносом на `3/2` вниз и на `1/2` влево (рис. 20).
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx^2(ax^2+bx+c+-fracbx+fraca{x^2})=0hArr`
`a(x^2+frac1{x^2}+2-2)+b(x+-frac1x)+c=0`.
При этом,
`ax^4+bx^3+cx^2-bx+a=0hArra(x-frac1x)^2+b(x-frac1x)+(c+2a)=0`
`ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0hArra(x+frac1x)^2+b(x+frac1x)+(c-2a)=0`.
Решите уравнение `t^4+8t^3+6t^2-8t+1=0`.
Уравнение является возвратным. Вынесем за скобку `t^2`, а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведется к квадратному трёхчлену:
`t^2(t^2+8t+6-frac8t+frac1{t^2})=0hArrt^2+frac1{t^2}+8t-frac8t+6=0hArr`
` iff(t^2-2+frac1{t^2})+8(t-frac1t)+8=0hArr(t-frac1t)^2+8(t-frac1t)+8=0hArr`
`iff t-1/t=-4+-2sqrt2 iff`
.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение `t^2-6t-a+6=0` `t=|x|`, имело одно положительное решение. Это возможно, если
`1`. Или дискриминант `=0` и единственный корень положителен:
`2`. Или дискриминант положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит):
Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.
Теперь построим график функции `y=t(t-6)` - рис. 9. |
| Рис. 9 |
С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 10.
 |
| Рис. 10 |
Видно, что условию задачи удовлетворяют все положительные значения правой части, т. е.
`g(a)>0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
`x^2+f^2(a)x-g(a)=0`
имеет два отрицательных решения.
Перепишем уравнение в другом виде: `(x+f^2(a))x=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. `10`. Видно, что условию задачи удовлетворяют те значения `g(a)`, которые лежат между значениями левой части в вершине и числом `0`, т. е.
`y(-frac{f^2(a)}2)<g(a)<0hArr-(-frac{f^2(a)}2)^2<g(a)<0`.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых неравенство
`x^2-f^2(a)x-g(a)<=0`
имеет единственное положительное решение.
Перепишем неравенство в другом виде: `(x-f^2(a))x<=g(a)`. Построим эскиз левой части – рис. 11. Видно, что условие задачи выполнено только тогда, когда `g(a)` равно значению левой части в вершине, т. е.
`g(a)=y(frac{f^2(a)}2)=-(frac{f^2(a)}2)^2`.
 |
| Рис. 11 |
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.
Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
1. `sinx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=(-1)^n arcsin a+pi n, n in Z`.
Отметим, что последнюю формулу иногда удобнее расписать отдельно для чётных `(n=2k, k in Z)` и нечётных `(n=2k+1, k in Z)n`. А именно
$$ x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k,\\ \pi -\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k, k\in Z.\end{array}\right.$$
2. `cosx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то
`x=+- arccosa+2pin, n in Z`.
3. `"tg"x=a`. При любом `a` `x="arctg"a+pin, n in Z`.
4. `"ctg"x=a`. При любом `a` `x="arcctg"a+pin, n in Z`.
Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.
а) `sinx=1`. Тогда `x=pi/2+2pin,n in Z`.
б) `sinx=-1`. Тогда `x=-pi/2+2pin, n in Z`.
в) `cosx=0`. Тогда `x=pi/2+pin, n in Z`.
г) `cosx=-1`. Тогда `x=pi+2pin, n in Z`.
Рассмотрим несколько типовых способов решения тригонометрических уравнений.
I. Разложение на множители
Решить уравнение
`3sin2x-3cosx+2sinx-1=0`.
Используя формулу `sin2x=2sinxcosx`, преобразуем данное уравнение
`6sinxcosx-3cosx+2sinx-1=0`,
`3cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)=0`,
`(2sinx-1)(3cosx+1)=0`.
Уравнение распадается на два:
1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.
2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.
Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` и `m`), т. к. идёт перечисление решений.
Решить уравнение
`sin2x+cos(5x-pi/6)=0`.
Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.
Уравнение распадётся на два:
1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`3x+pi/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`.
2) `cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`; `(7x-(2pi)/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
`7x-(2pi)/3=pi+2pin,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
`x=(2pi)/9+(2pin)/3,ninZ`; `x=(5pi)/21+(2pin)/7,ninZ`.
II. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного
Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.
По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,
поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.
`sinx(4sin^2x-3)=0`$$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}x=0, x=\pi n,n\in Z.\\ \mathrm{sin}x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).
`x=pin,ninz`; `x=+-pi/3+pin,n inZ`.
Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.
Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.
Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.
`x=+-pi/4+pin,ninZ`. (1)
Это уравнение можно решить и пользуясь формулой `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду: `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или
`x=pi/4+(pin)/2, ninZ`. (2)
Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.
`x=pi/4+(pin)/2,ninZ`.
III. Однородные уравнения
(хотя формально эти уравнения можно отнестик предыдущему типу)
Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.
Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на `cos^2x`. Получим уравнение `5"tg"^2x-4"tg"x-1=0`. Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
`x=pi/4+pin,ninZ`; `x=-"arctg"1/5+pin,ninZ`.
Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем уравнение `5"tg"^2x-3"tg"x-2=0`.
Откуда `"tg"x=1` или `"tg"x=-2/5`. И значит, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
`x=pi/4+pin,ninZ`, `x=-"arctg"2/5+pin,ninZ`
Наконец рассмотрим уравнение, сводящееся к однородному третьего порядка.
Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.
Перепишем это уравнение так:
`sin^3x+13cos^3x-cosx(cos^2x+sin^2x)=0` или
`sin^3x+12cos^3x-cosxsin^2x=0`.
Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `"tg"x`
`"tg"^3x-"tg"^2x+12=0`.
Делаем замену: `t="tg"x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители
`(t+2)(t^2-3t+6)=0`.
Уравнение `t^2-3t+6=0` не имеет действительных корней, т. к. `D<0`. Итак, `"tg"x=-2` или `x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
`x=-"arctg"2+pin,ninZ`.
IV. Использование формулы дополнительного угла
Напомним эту формулу `asin alpha +bcos alpha=sqrt(a^2+b^2)sin(alpha+varphi)`, где `varphi` определяется (неоднозначно) из равенств
`cosvarphi=a/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))(a^2+b^2!=0)`.
Например, `sinalpha+cos alpha=sqrt2sin(alpha+pi/4)`. Формулу дополнительного угла можно записать и в другом виде, например,
`asinalpha+bcosalpha=sqrt(a^2+b^2)cos(alpha+varphi)`, где
`cosvarphi=b/(sqrt(a^2+b^2))`, `sinvarphi=-a/(sqrt(a^2+b^2))`.
Решить уравнение `4sinx-3cosx=5`.
1-ый способ. По формуле дополнительного угла преобразуем уравнение:
`sqrt(16+9)sin(x+varphi)=5`, `sin(x+varphi)=1`, `cosvarphi=4/5`, `sinvarphi=-3/5`.
Можно взять `varphi=-arcsin 3/5`. Решением уравнения будет: `x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`x=arcsin 3/5+pi/2+2pin,ninZ`.
2-й способ. Воспользуемся формулами:
`sinx=2sin x/2 cos x/2`, `cosx=cos^2 x/2 -sin^2 x/2`, `1=sin^2 x/2+cos^2 x/2`.
Тогда уравнение `4sinx-3cosx=5` запишется в виде
`8sin x/2 cos x/2-3(cos^2 x/2-sin^2 x/2)=5(sin^2 x/2+cos^2 x/2)` или
`2sinx^2 x/2-8sin x/2cos x/2+8cos^2 x/2=0`.
Это однородное уравнение второго порядка, деля которое на `2cos^2 x/2`, получим уравнение `"tg"^2 x/2-4"tg" x/2+4=0` или `("tg" x/2-2)^2=0`. Итак, `"tg" x/2=2`, значит `x/2="arctg"2+pin,ninZ`, или `x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
`x=2"arctg"2+2pin,ninZ`.
Отметим, что формы ответа при решении способами 1 и 2 различны, хотя, конечно, это одно и то же множество точек.
Решить уравнение `sin2x-2(sinx+cosx)-1=0`.
Сделаем замену: `t=sinx+cosx`. Тогда
`t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+sin2x`.
Откуда `sin2x=t^2-1`. Наше уравнение преобразуется в такое:
`t^2-2t-2=0`. `t_1=1+sqrt3`, `t_2=1-sqrt3`.
Так как `t=sinx+cosx=sqrt2sin(x+pi/4)<=sqrt2`, то `t_1=1+sqrt3>sqrt2` не даёт решений. Число `|1-sqrt3|<=sqrt2` и уравнение `sin(x+pi/4)=(1-sqrt3)/(sqrt2)` имеет решения:
`x+pi/4=(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
`x=-pi/4+(-1)^n arcsin (1-sqrt3)/(sqrt2) +pin,ninZ`.
Отметим, что подобным образом решаются уравнения вида: `F(sin2x, sinx+-cosx)=0`. Замена `t=sinx+-cosx`.
Рассмотрим ещё одно часто встречающееся приложение формулы дополнительного угла.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения `f(x)=8sin^2x+3sin2x-11`.
Преобразуем выражение, используя формулу `2sinx^2x=1-cos2x`. Получаем:
`f(x)=(4-4cos2x)+3sin2x-11=3sin2x-4cos2x-7=`
`=5sin(2x+varphi)-7`.
Здесь можно взять `varphi=-arcsin 4/5`. Так как `-1<=sin(2x+varphi)<=1`, то `-5<=sin(2x+varphi)<=5` и `-12<=5sin(2x+varphi)-7<= -2`. При этом значение `f(x)=-12` принимается при `2x+varphi=-pi/2+2pin,ninZ`, а значение `f(x)=-2` принимается при `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`max_Rf(x)=-2`, `min_R f(x)=-12`.
Рассмотрим теперь более сложные тригонометрические уравнения, в которых надо делать отбор корней.
V. Рациональные тригонометрические уравнения
Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.
ОДЗ `sinx!=-sqrt3/2`.
Не будем решать это неравенство, а изобразим на тригонометрическом круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.
Решаем уравнение `cos2x+cosx+1=0`.
Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`, `2cos^2x+cosx=0`,
`cosx(2cosx+1)=0 iff`$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}x=0, x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n,n\in Z,\\ \mathrm{cos}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}, x=\pm {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\pi n,n\in Z.\end{array}\right.$$
Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.
Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом круге (рис. 3в). Мы видим, что точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`, удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,
`x=pi/2+pin,ninZ`, `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.
ОДЗ $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}3x\ne 0\\ \mathrm{sin}x\ne 0\end{array}\right.\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi m}{3}},m\in Z.$$
Умножим уравнение на `sinx*sin3x`. Получим:
`sin^2x+sin3x*sin5x=8sinxcosx*sin3x*cos3x`.
Преобразуем это уравнение:
`(1-cos2x)/2+1/2(cos2x-cos8x)=2sin2x*sin6x`.
Ещё раз воспользуемся формулой
`sinalpha*sinbeta=1/2(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))`
в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим
`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)` или `1+cos8x-2cos4x=0`.
Далее: `1+(2cos^2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}4x=1.\\ \mathrm{cos}4x=0.\end{array}\right.$$
Если `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.
1. Изображаем точки
`x=(pin)/2,ninZ`, (3)
на тригонометрическом круге (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).
2. Изображаем точки
`x=(pim)/3,m inZ` (4)
которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).
Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки
`x=pi/2+pin,ninZ`.
С решениями уравнения
`cos4x=0`, `4x=pi/2+pin,ninZ`,
или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек - решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` – далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m` и `n` такие, что
`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`
`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.
Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.
Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m` и `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`. Видим, что `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т. е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.
`x=pi/2+pin,ninZ`; `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`.
Иногда отбор решений предлагается сделать в условии задачи.
а) Решить уравнение `2/("tg"^2x)-1/("tg"x)-3=0`.
б) Указать корни, принадлежащие отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) Сделаем замену `t=1/("tg"x)`. Получим уравнение `2t^2-t-3=0`. Его решение `t_1=-1` и `t_2=3/2`.
1) `"tg"x=-1`. Следовательно, `x=-pi/4+pin,ninZ`.
2) `"tg"x=2/3`. Тогда `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) Сделаем отбор корней, принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.
1) Решаем неравенство `-(3pi)/2<=-pi/4+pin<=-pi/2`. Оно равносильно неравенству `-5/4<=n<=-1/4`. Т. к. `ninZ`, то последнему неравенству удовлетворяет только `n=-1`. Итак, из серии решений `x=-pi/4+pin,ninZ`, только корень `x=-(5pi)/4 in [-(3pi)/2; -pi/2]`.
2) Аналогично решаем неравенство
`-(3pi)/2<="arctg"2/3+pin<=-pi/2`. (5)
Т. к. `ninZ`, то в силу правого неравенства `n<0`. Число `n=-1` подходит, т. к. неравенство (5) в этом случае преобразуется в неравенство `-pi/2<="arctg"2/3<=pi/2`, что верно, `n=-2` не удовлетворяет (5), т. к. в этом случае получим `pi/2<="arctg"2/3`, что неверно. Аналогично не подходит `n< -2`. Итак, из серии решений `x="arctg"2/3+pin,ninZ`, только корень `("arctg"2/3-pi)in[-(3pi)/2; -pi/2]`.
а) `x=-pi/4+pin,ninZ`; `x="arctg"2/3+pin,ninZ`.
б) `x=-(5pi)/4` и `x="arctg"2/3-pi`.
Найти наименьший корень уравнения `"ctg"6x-"tg"5x=1/(cos5x)`,
принадлежащий отрезку `[(8pi)/17; (40pi)/17]`.
Преобразуем данное уравнение
`(cos6x)/(sin6x)-(sin5x)/(cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos6x*cos5x-sin6x*sin5x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`,
`(cos11x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`.
Последнее уравнение равносильно `cos11x=sin6x` при условии `sin6x*cos5x!=0`.
Решаем уравнение `cos11x-sin6x=0`. Преобразуем его:
`cos11x-cos(6x-pi/2)=0` или `-2sin((17x)/2-pi/4)sin((5x)/2+pi/4)=0`.
1) Если `sin((5x)/2+pi/4)=0` то `(5x)/2+pi/4=pin,ninZ`, откуда `5x=-pi/2+2pin,ninZ`.
Эти числа не являются корнями исходного уравнения, т. к. нарушается условие `cos5x!=0`.
2) Если `sin((17x)/2-pi/4)=0`, то `x=(pi(1+4n))/(34),ninZ`. Находим, при каких `ninZ`, эти числа лежат на отрезке `[(8pi)/17;(40pi)/17]`. Решаем неравенства
`(8pi)/(17)<=(pi(1+4n))/34<=(40pi)/17 iff 15/4<=n<=79/4`.
Значит, `4<=n<=19,ninZ`. Итак, на отрезок `[(8pi)/17;(40pi)/17]` попадают числа `(17pi)/34, 21/34 pi, 25/34 pi,...`. Первое из них не удовлетворяет условию `cos5x!=0` `("т". "к". (17pi)/34=pi/2)` и, следовательно, не является решением уравнения. Число `(21pi)/34` удовлетворяет условию `sin6x*cos5x!=0`; значит, именно оно является минимальным корнем на данном отрезке.
`x=(21pi)/34`.
VI. Тригонометрические уравнения с корнем квадратным
Решить уравнение `sqrt(cos2x-5sinx)=-2cosx`.
Это уравнение равносильно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{cos}2x-5\mathrm{sin}x=4{\mathrm{cos}}^{2}x.\\ \mathrm{cos}x\le 0.\end{array}\right.$$
Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть уравнения равна корню квадратному, а он неотрицателен по определению. (Отметим, что в системе мы не пишем неравенство `cos2x-5sinx>=0`, т. е. подкоренное выражение неотрицательно, т. к. оно равно квадрату правой части). Решаем уравнение: `cos2x-5sinx=4cos^2x`. Преобразуем его:
`(1-2sin^2x)-5sinx=4(1-sin^2x)` или `2sin^2x-5sinx-3=0`.
Заменяя `sinx=t`, получим квадратное уравнение: `2t^2-5t-3=0`.
Откуда `t_1=3`, `t_2=-1/2`. Т. к. `|sinx|<=1`, то `t_1=3` не даёт решений.
Если же `sinx=-1/2`, то на тригонометрическом круге (рис. 5) имеем две точки. Но правая точка не подходит, т. к. должно быть `cosx<=0`. Итак,
`x=(7pi)/6+2pin,ninZ`.
Решить уравнение `sqrt(5-cos2x)=cosx-3sinx`.
Это уравнение эквивалентно системе
$$ \left\{\begin{array}{l}5-\mathrm{cos}2x={\left(\mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\right)}^{2},\\ \mathrm{cos}x-3\mathrm{sin}x\ge 0.\end{array}\right.$$
Решаем уравнение. Преобразуем его к однородному.
`5(sin^2x+cos^2x)-(cos^2x-sin^2x)=cos^2x-6sinxcosx+9sin^2x`
или `3sin^2x-6sinxcosx-3cos^2x=0`.
Далее `2sinxcosx+(cos^2x-sin^2x)=0` или `sin2x+cos2x=0`.
Это однородное уравнение 1-го порядка. Оно эквивалентно уравнению `"tg"2x=-1`.
Отсюда `2x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x=-pi/8+(pin)/2,ninZ`.
Изобразим решения на тригонометрическом круге (рис. 6). Это `4` точки (`n=0,1,2,3` - далее они повторяются).
Для этих точек надо проверить неравенство `cosx-3sinx>=0`. Ясно, что точка `x_1` удовлетворяет этому неравенству, т. к. `cosx_1>0` и `sinx_1<0`. Для точки `x_3`, диаметрально противоположной точке `x_1`, `sinx` и `cosx` меняют знак, меняет знак и выражение `(cosx-3sinx)`, и, следовательно, для `x_3` неравенство не выполняется. Точка `x_2` не удовлетворяет неравенству, т. к. `sinx_2>0`, `cosx_2>0`, но `sinx_2>cosx_2` в виду того, что `pi/4<x_2<pi/2`, так что выражение `cosx_2-3sinx_2<0`. Точка `x_4` диаметрально противоположна `x_2`. Следовательно,
`cosx_4-3sinx_4=-(cosx_2-3sinx_2)>0`,
и, значит, это решение. Учитывая, что решения имеют период `2pi`, получаем
`x=-pi/8+2pin,ninZ`; `x=11/8pi+2pin,ninZ`.
VII. Уравнения с модулем
Решить уравнение `sin3x+|sinx|=sin2x`.
Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.
1) $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x\ge 0,\\ \mathrm{sin}3x+\mathrm{sin}x=\mathrm{sin}2x.\end{array}\right.$$
2)
Решаем первую систему. Уравнение `sin3x+sinx=sin2x` преобразуем:
`2sin2xcosx=sin2x` или `sin2x(2cosx-1)=0`.
Значит,
$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}x=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$$
Изображаем решения уравнения `sin2x=0` на тригонометрическом круге: `x=(pin)/2,ninZ`, (рис. 7). В силу неравенства `sinx>=0` не подходит нижняя точка, т. е. в решения системы входят
`x=pin,ninZ`, и `x=pi/2+2pin,ninZ`.
Аналогично, изображаем на тригонометрическом круге (рис. 8) решения уравнения `cosx=1/2`. Нижняя точка не удовлетворяет неравенству `sinx>=0`. Значит, остаются в качестве решений системы
`x=pi/3+2pin,ninZ`.
Итак, решениями первой системы являются
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+2pin,ninZ`.
Решаем вторую систему. Уравнение `sin3x-sinx=sin2x` преобразуем:
`2cos2x*sinx=2sinxcosx`.
Т. к. в этой системе `sinx!=0`, то можно сократить уравнение на `2sinx`. Оно запишется:
`cos2x=cosx` или `2cos^2x-cosx-1=0`.
Отсюда `cosx=1` или `cosx=-1/2`. На тригонометрическом круге этим уравнениям удовлетворяют соответственно точки (рис. 9 и рис. 10). Неравенству `sinx<0` удовлетворяет только одна из этих трёх точек, находящаяся в нижней полуплоскости, а именно
`x=pi/3+pi+2pin,ninZ`.
В ответе две серии решений
`x=pi/3+2pin,ninZ` и `x=pi/3+pi+2pin,ninZ`,
соответствующие двум диаметрально противоположным точкам тригонометрического круга, можно задать одной формулой:
`x=pi/3+pin,ninZ` (но это не обязательно).
`x=pin`; `x=pi/2+2pin`; `x=pi/3+pin,ninZ`.
Сначала рассмотрим простейший пример. Решить систему
Здесь `x` и `y` находятся независимо друг от друга. В этих случаях параметры надо обозначать различными буквами. Обозначение их одной буквой будет в таких случаях ошибкой.
Решаем каждое уравнение
`(x;y)=n;m),n,m in Z`,
т. е. на плоскости решениями системы являются все точки с целочисленными координатами. Если же мы будем считать `m=n`, то точки `(n;n),ninZ`, - это целочисленные точки, лежащие только на биссектрисе I и III координатных углов. Они не представляют все решения рассмотренной системы.
Решить систему
Преобразуем второе уравнение системы:
`(1-2sin^2x)-(2cos^2y-1)=1`, т. е. `2sin^2x+2cos^2y=1`.
Обозначим `u=sinx`, `v=cosy`. Система перепишется:
Нетрудно проверить, что решением этой системы является пара
Переходя к (`x`; `y`), имеем:
Отсюда
Заметим, что ответ можно записать и в такой форме:
`((-1)^n pi/6+pin; +-pi/3+2pim),n,m inZ`.
Решить систему
Складывая первое и второе уравнения и вычитая из первого уравнения второе, получим систему, эквивалентную первоначальной:
Это система из простейших тригонометрических уравнений, решаемых независимо друг от друга.
Складывая уравнения последней системы и деля на `2`, а так же вычитая из второго уравнения последней системы первое и деля на `2`, получаем ответ.
(в формулах одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки).
Решить систему уравнений
Перепишем систему
Возведём оба уравнения последней системы в квадрат и сложим их. Мы получим
`1=25sin^2x+4-12cosx+9cos^2x` или `1=25(1-cos^2x)+4-12cosx+9cos^2x`.
Далее имеем: `16cos^2x+12cosx-28=0` или `4cos^2x+3cosx-7=0`.
Решением последнего уравнения является `cosx=1` или `x=2pin,ninZ`.
Подставляя `cosx=1` во второе уравнение первоначальной системы, находим, что
`cosy=-1` или `y=pi+2pi m,m in Z`.
Проверяем, что найденные `(x;y)` удовлетворяют и первому уравнению исходной системы (проверку делать нужно, т. к. исключая `y` мы переходили к следствию системы и могли получить лишние корни). Итак,
Тригонометрические неравенства надо сводить к простейшим, а простейшие легче решать на тригонометрическом круге.
Решить неравенство `sinx< -1/2`.
На тригонометрическом круге (рис. 11) отмечаем точки, в которых `sinx=-1/2` (точки `A` и `B`). Неравенству удовлетворяет дуга . Она записывается так `(pi+pi/6;2pi-pi/6)` или `((7pi)/6; (11pi)/6)`. Учитывая период `2pi` синуса, получаем серию дуг
`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.
`((7pi)/6+2pin;(11pi)/6+2pin),ninZ`.
Важно обратить внимание, чтобы при записи ответа левый конец интервала был меньше правого, и при увеличении угла в интервале пробегалась нужная дуга.
Решить неравенство `"tg"x<=2`.
Нарисуем тригонометрический круг и ось тангенса.
Отметим на правой единичной полуокружности (период тангенса равен `pi`, можно рассматривать полуокружность, а не всю окружность) точки, соответствующие углам, у которых тангенс меньше или равен `2` (рис.12). Это будет дуга (точка `B` включена, а `A` – нет). Запишем её `(-pi/2; "arctg"2]`. Теперь учтём период тангенса. Получаем
`(-pi/2+pin; "arctg"2+pin],ninZ`.
Решить неравенство
По аналогии с алгебраическими неравенствами с корнем квадратным мы должны решить две системы и объединить их решения.
1) (6)
и
2) (7)
В данном случае ОДЗ: `7-cos4x>=0` выполняется всегда, так что решение первой системы `cosx>0` (пока не будем находить `x`). Решаем вторую систему. Преобразуем неравенство (7):
`7-cos4x>32cos^4x`;
`7-(2cos^2 2x-1)>32cos^4x`,
`8-2cos^2 2x>32cos^4x`,
`4-(2cos^2x-1)^2>16cos^4x`,
`4-4cos^4x+4cos^2x-1>16cos^4x`,
`20cos^4x-4cos^2x-3<0`.
Обозначим `cos^2x=t`. Получим алгебраическое неравенство: `20t^2-4t-3<0`.
Откуда `-3/10<t<1/2`. Так как `t>=0,` то `t<1/2`. Далее `cos^2x<1/2 iff |cosx|<1/(sqrt2)`.
Учитывая (6): `cosx<=0`, получаем `-1/(sqrt2)<cosx<=0`.
Это решение системы 2). Объединяя решение 1) и 2) систем, получаем `-1/(sqrt2)<cosx`.
Решая это простейшее неравенство на тригонометрическом круге (рис. 13), имеем дугу .
`(-(3pi)/4+2pin;(3pi)/4+2pin),ninZ`.
