ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
сила механического сопротивления, возникающая в плоскости соприкосновения двух прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении.
Сила сопротивления, действующая на тело, направлена противоположно относительному перемещению данного тела.
Сила трения возникает по двум причинам:
1) первая и основная причина заключается в том, что в местах соприкосновения молекулы веществ притягиваются друг к другу, и для преодоления их притяжения требуется совершить работу. Соприкасающиеся поверхности касаются друг друга лишь в очень небольших по площади местах. Их суммарная площадь составляет `0,01-:0,001` от общей (кажущейся) площади соприкосновения. При скольжении площадь реального соприкосновения не остается неизменной. Сила трения (скольжения) будет изменяться в процессе движения. Если тело, которое скользит, прижать сильнее к телу, по которому происходит скольжение, то вследствие деформации тел площадь пятен соприкосновения (и сила трения) увеличится пропорционально прижимающей силе.
`F_"тр"~F_"приж"`
2) вторая причина возникновения силы трения – это наличие шероховатостей (неровностей) поверхностей, и деформация их при движении одного тела по поверхности другого. Глубина проникновения (зацепления) шероховатостей зависит от прижимающей силы, а от этого зависит и величина деформаций. Последние, в свою очередь, определяют величину силы трения: `F_"тр"~F_"приж"`.
При относительном скольжении обе причины имеют место, потому характер взаимодействия имеет вид простого соотношения:
`F_"тр"=muN` – сила трения скольжения (формула Кулона – Амонтона), где
`mu` – коэффициент трения скольжения,
`N` – сила реакции опоры, равная прижимающей силе.
Величина коэффициента трения различна для разных комбинаций трущихся веществ даже при одинаковой их обработке (силы притяжения и упругие свойства зависят от рода вещества).
Если между трущимися поверхностями будет находится смазка, то сила притяжения изменится заметным образом (будут притягиваться другие молекулы, и сила трения скольжения частично заменится силой вязкого трения, которую мы рассмотрим ниже).
Если на тело, лежащее на горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила `vecF`, то движение будет вызвано этой силой только в том случае, когда она станет больше некоторого значения `(muN)`. До начала движения внешняя сила скомпенсирована силой трения покоя. Сила трения покоя всегда равна внешней силе, параллельной поверхности, и возникает по причине притяжения между молекулами в областях пятен соприкосновения, и деформации шероховатостей.
 |
Сила трения покоя различна в разных участках поверхности, по которой будет происходить движение. Если тело долго лежит на поверхности, то вследствие вибраций (они всегда присутствуют на поверхности Земли) площадь пятен соприкосновения незначительно увеличится. Поэтому для начала движения придётся преодолеть немного большую силу трения, чем сила трения скольжения. Данное явление называется явлением застоя. С этим явлением мы сталкиваемся, например, передвигая мебель в комнате. (На рисунке 13 превосходство трения покоя над трением скольжения сильно преувеличено).
Силой трения покоя мы пользуемся для перемещения на лыжах или просто при ходьбе.
Рассмотренные виды силы трения относятся к сухому трению или внешнему. Но есть еще один вид силы трения – вязкое трение.
При движении тела в жидкости или газе происходят достаточно сложные процессы обмена молекулами между слоями обтекающей жидкости или газа. Эти процессы называют процессами переноса.
При небольших скоростях движения тела относительно газа или жидкости сила сопротивления будет определяться выражением:
`F_"тр"=6pietarv` – закон Стокса для шара, где
`eta` - вязкость вещества, в котором движется тело;
`r` - средний поперечный размер (радиус) тела;
`v` - относительная скорость тела;
`6pi` - коэффициент, соответствующий сферической форме тела.
Вывод о величине скорости (большая она или маленькая) можно сделать, определив безразмерный коэффициент, называемый числом Рейнольдса:
`Re=(rhorv)/eta` - число Рейнольдса, где
`rho` - плотность вещества, в которой движется тело.
Если `Re<1700`, то движение газа (жидкости) вокруг тела ламинарное (слоистое), и скорости можно считать малыми.
Если `Re>1700`, то движение газа (жидкости) вокруг тела турбулентное (с завихрениями), и скорости можно считать большими.
В последнем случае на образование вихрей тратится большая часть кинетической энергии тела, а значит, сила трения становится большей, а зависимость перестаёт быть линейной.
`F_"тр"=kv^2rhoS` - сила вязкого трения при больших скоростях, где
`S` - площадь поперечного сечения тела,
`k` - постоянная величина, зависящая от поперечных размеров тела.
Часто последнюю формулу можно видеть в виде:
`F_"тр"=betav^2`.
 |
Число Рейнольдса, выбранное равным `1700`, в действительности определяется конкретной задачей (условиями) и может принимать другие значения того же порядка. Объясняется это тем, что зависимость силы вязкого трения от скорости носит сложный характер: при некотором значении скорости `v_1` линейная зависимость начинает нарушаться, а при некотором значении скорости `v_2` эта зависимость становится квадратичной. В промежутке от `v_1` до `v_2` степень принимает дробные значения (рис. 14). Число Рейнольдса характеризует состояние динамической системы, при котором движение слоёв остаётся ламинарным, и сильно зависит от внешних условий. К примеру: стальной шар, двигаясь в воде вдали от границ жидкости (в океане, озере) сохраняет ламинарным движение слоёв при `Re=1700`, а тот же шар, движущийся в вертикальной трубе немного большего, чем шар, радиуса, заполненной водой, уже при `Re=2` вызовет появление завихрений воды вокруг шара. (Отметим, что число Рейнольдса не единственное, применяемое для описания подобного движения. Например, применяют ещё числа Фруда и Маха.)
Из-за такой сложной зависимости силы сопротивления от размеров, формы тела и его скорости рассчитать с необходимой точностью силу сопротивления невозможно. Потому приходится создавать макеты летательных аппаратов и измерять силу сопротивления опытным путём, продувая воздух в аэродинамических трубах.
Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению скорости на радиус капель: `F=krv`. Капли радиуса `0,1` мм, падая с большой высоты, у земли имеют скорость около `1` м/с. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? В десять раз меньше?
Капля падает с постоянной скоростью, т. к. сила тяжести скомпенсирована силой вязкого трения о воздух: `krv=mg` или `krv=rho 4/3 pir^3g`, откуда `v=(4rho pig)/(3k)r^2`.
Из полученного результата следует, что скорость капли прямо пропорциональна квадрату радиуса. Если радиус капли уменьшится в два раза, то скорость её падения уменьшится в четыре раза, и составит `v_1~~0,25` м/с; а если радиус окажется в десять раз меньше, то скорость будет в сто раз меньше, т. е. `v_2~~0,01` м/с.
Задача любопытна тем, что может объяснить почему облака не падают. Ведь облака – это туман, который не падает из-за наличия восходящих потоков воздуха. На нижней границе облака находятся наиболее крупные капли. Поднимаясь, скорость потока уменьшается, т. к. он совершает работу над встретившимся воздухом и увеличивает свою потенциальную энергию. Раз скорость потока в верхней части облака меньше, то и размер капель там тоже меньше. Капли «висят» над поверхностью земли на постоянной высоте.
Какие силы действуют на человека во время ходьбы? Какая сила приводит его в движение?
На человека всегда действует сила тяжести `(mvecg)`. Она приложена ко всем частям организма, но принято её изображать приложенной к центру масс (на рис. 15 это не так). Во время ходьбы человек мышечными усилиями толкает ногу назад, относительно центра масс (туловища). На рисунке эта сила обозначена как `vecF_"м"`. Нога бы начала такое движение, если бы не было сцепления протектора подошвы и поверхности асфальта (пола). Вдоль поверхности возникает сила трения покоя. Нога толкает этой силой асфальт влево `(vecF_"тр")`, а асфальт толкает ногу вправо `(vecF_"тр")`, приводя её в движение относительно асфальта. Человек оказывает на поверхность асфальта действие, называемое весом `(vecP)`, а на человека действует противоположная сила реакции опоры `(vecN)`.
С каким ускорением будет двигаться тело массой `3` кг по поверхности стола с коэффициентом трения `0,3`, если к нему приложить силу `10` Н под углом `30^@` к горизонту?
Расставим силы. При расстановке сил пользуются, преимущественно, двумя моделями: 1) все силы прикладывают к центру масс тела, который символизирует материальную точку, в качестве которой рассматривается тело; 2) точки приложения сил изображают там, где сила приложена. Во втором случае требуется применять ряд дополнительных правил, которые на первых порах излишне усложняют решение. На данном рисунке 16 применены правила первой модели.
Далее запишем 2-ой закон Ньютона в векторной форме:
`mvecg+vecF_"тр"+vecN+vecF=mveca`.
Теперь пишем проекции этого уравнения на оси `Ox` и `Oy`.
Отметим, что оси удобнее всего выбирать из принципа удобства, что чаще всего соответствует направлению одной из осей вдоль ускорения, а второй оси перпендикулярно первой. Ели движутся несколько тел, то для каждого тела можно выбирать свою удобную пару осей.
`Ox: -F_"тр"+Fcosalpha=ma`,
`Oy: -mg+N+Fsinalpha=0`.
Вспомогательное уравнение (формула Кулона – Амонтона)
`F_"тр"=mu*N`.
Решая скалярную тройку уравнений, получим:
`a=F/m(mu*sinalpha+cosalpha)-mug`.
Подставим числовые значения и получим: `a~~0,39 "м"/"с"^2`.
При достаточной тренировке в решении задач запись в векторном виде становится излишней, и пишем сразу проекции на оси. На начальном этапе обучения пропускать эту запись не следует.
По наклонной плоскости с углом наклона при основании `alpha=30^@` соскальзывает тело. Найти ускорение тела при коэффициенте трения поверхности и тела, равным `0,2`.
На рисунке 17 расставим силы и выберем оси координат из принципа удобства (одна из осей вдоль ускорения).
Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторном виде:
`mvecg+vecF_"тр"+vecN=mveca`.
Далее проецируем его на оси координат:
`Ox: -F_"тр"+mg*sinalpha=ma`,
`Oy: -mg*cosalpha+N=0`.
Добавим формулу Кулона – Амонтона:
`F_"тр"=muN`.
Решая систему уравнений, получим:
`a=g(sinalpha=mucosalpha)`.
Числовой ответ даёт значение `a~~3,27 "м"/"с"^2`.
Рассмотрим способ с другими направлениями осей (рис. 18) (неудобными):
`Ox: -F_"тр"*cosalpha+N*sinalpha=ma*cosalpha`,
`Oy: -mg+N*cosalpha=-a*sinalpha`.
Добавим формулу Кулона – Амонтона: `F_"тр"=muN`.
Решение этой системы уравнений так же приведёт к тому же ответу (проверьте самостоятельно), но путь достижения цели будет и длиннее, и сложнее.
Пример показывает рациональность предлагаемого принципа удобства.
 |
Коэффициент трения между резиной и асфальтом `0,7`. Какой должна быть ширина дороги, чтобы на ней смог развернуться мотоциклист без уменьшения скорости, если его скорость равна `54` км/ч?
Если мотоциклист планирует развернуться, не уменьшая скорости, то движение его будет равномерным по окружности. Сила, приводящая к изменению направления скорости, будет сообщать центростремительное (нормальное) ускорение (рис. 19). Этой силой будет сила трения.
 |
Выберем ось `Ox` вдоль ускорения (рис. 20). Запишем 2-й закон Ньютона в проекции на эту ось:
`F_"тр"=ma_n=mv^2/R`.
Так как `F_"тр"=muN`, а `N=mg`, то `mumg=mv^2/R`, откуда `R=v^2/(mug)`, тогда для разворота нужна ширина
`l=2R`; `l=(2v^2)/(mug)`; `l=64,3` м.
Из ответа видим, что для разворота на реальной дороге необходимо снизить скорость.
Два тела массами `m_1=2` кг `m_2=3` кг связаны нитью. Первое тело тянут вправо с силой `F=15` H по поверхности с коэффициентом трения `mu=0,1`. Определите силу натяжения нити, связывающей тела. С каким ускорением движутся тела? Оборвётся ли нить, если поместить тела на поверхность с коэффициентом трения `0,3`, а максимальная сила натяжения нити `10` Н?
Расставим силы, действующие на тела (рис. 21):
Выберем ось `Ox` вдоль силы `vecF` и ось `Oy` перпендикулярно ей.
Второй закон Ньютона для двух тел в проекции на ось `Ox`:
`F-F_("тр"1)-T+T-F_("тр"2)=(m_1+m_2)a`,
для первого тела на ось `Oy`:
`N_1-m_1g=0`, тогда `F_("тр"1)=mum_1g`;
для второго тела:
`N_2-m_2g=0`, тогда `F_("тр"2)=mum_2g`;
Выразим ускорение из проекции `Ox` подставляя силы трения:
`a=F/(m_1+m_2)-mug`,
`a=2"м"/"с"^2`.
Теперь запишем второй закон Ньютона для второго тела:
`Ox`: `T-F_("тр"2)=m_2a`,
откуда `T=F_("тр"2)=m_2a`,
`T=m_2(mug+a)`,
`T=m_2/(m_1+m_2)F=9`H.
Если `mu=0,3`, то `a=0`, тела движутся равномерно, а сила натяжения нити останется прежней, `T=9 "H"<10 "H"`. Нить не порвётся.
На вершине наклонной плоскости, с углом при основании `30^@` укреплён неподвижный блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К нити привязаны два тела: `m_1=3` кг со стороны плоскости и `m_2=4` кг с другой. Коэффициент трения при движении тела по поверхности равен `0,2`. Какова сила натяжения нити и ускорения тел?
Силы, действующие на тела, представлены на рисунке 22.
Запишем 2-й закон Ньютона для первого тела в проекциях:
`Ox:` `T_1-F_"тр"-m_1gsinalpha=m_1a_1`,
`Oy:` `N-m_1gcosalpha=0`.
С учётом, что `F_"тр"=muN`, получим `T_1=mum_1gcosalpha-m_1gsinalpha=m_1a_1`.
Для второго тела в проекции на `Oz:`
`m_2g-T_2=m_2a_2`.
Решая совместно два уравнения, получим (учитывая, что `a_1=a_2=a` и `T_1=T_2=T`)
`a=(m_2-m_1sinalpha-mum_1cosalpha)/(m_1+m_2)g`,
`a~~2,83 "м"//"с"^2`.
Из этих же уравнений получим силу натяжения нити:
`T=g (m_1m_2)/(m_1+m_2)(1+sinalpha+mucosalpha)`
`T~~28,7 "H"`.
 |
Какую горизонтальную силу `F` нужно приложить к тележке массой `M`, чтобы бруски массой `2m` и `3m` (рис. 23) относительно неё не двигались? Трением пренебречь.
На рисунке 24 изображены силы, действующие на тела.
Если трения нет и бруски неподвижны относительно тележки, то 2-й закон Ньютона в проекциях для тел примет вид:
1) для тележки:
`Ox:` `F-P_1-T_4=Ma_0`,
`Oy:` `N_1+N_2-Mg_P_2-T_3=0`;
2) для бруска `3m:`
`Ox:` `T_2=3ma_2`,
`Oy:` `N_3-3mg=0`,
`N_3=P_2`;
3) для бруска `2m:`
`Ox:` `N_4=2ma_1`,
`Oy:` `T_1-2mg=0`,
`N_4=P_1`;
4) `T_1=T_2=T_3=T_4` (неть невесома),
5) `a_1=a_2=a_0` (нить нерастяжима).
Решая совместно, получим `F=a_0(M+5m)`.
Рассматривая уравнения двух брусков совместно, получим
`3ma_0=2mg` или `a_0=2/3g`.
Тогда `F=2/3g(M+5m)`.
 |
Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью `omega=20` рад/с вокруг вертикальной оси `OO^'` (рис. 25). На поверхности диска в гладкой радиальной канавке находятся грузы `1` и `2` массами `m_1=0,2` кг и `m_2=0,1` кг радиусы их вращения `R_1=0,1` м, `R_2=0,2` м. Найти силы натяжения нитей.
Рассмотрим силы, действующие на тела, и ускорения тел (рис. 26).
Уравнение 2-го закона в проекциях имеет вид:
1) `T_1-T_2=m_1omega^2R_1`.
2) `T_2=m_2omega^2R_1`.
`T_1=T_2+m_1omega^2R_1=omega^2(m_1R_1+m_2R_1)`.
`T_1=16"H"`.
`T_2=8"H"`.
Два небольших по размерам груза с массами `3m` и `m` связаны нитью длиной `l_2` и прикреплены к оси `O O_1` нитью длиной `l_1`, составляющей угол `beta` с осью `O O_1` (см. рис. 27). Грузы находятся на горизонтальной платформе и вращаются вместе с ней вокруг вертикальной оси `O O_1`. При какой постоянной угловой скорости грузы будут давить на платформу с одной и той же силой? Трение между грузами и платформой пренебрежимо мало.
На рисунке 28 изображены силы, действующие на грузы.
Для первого груза уравнения 2-го Закона Ньютона в проекции имеют вид:
`Ox:` `T_1=momega^2(l_2+l_1sinbeta)`;
`Oy:` `N_1=mg`,
`N_1=P_1`;
Для второго груза:
`OX:` `T_3sinbeta-T_2=3momega^2l_1sinbeta`
`OY:` `T_3cosbeta+N_2=3mg`
`N_2=P_2`
`P_1=P_2` (по условию),
`T_1=T_2` (нить невесома).
Из равенства `P_1=P_2` следует `N_1=N_2`, поэтому `T_3=(2mg)/(cosbeta)`.
Тогда из проекции на `Ox` следует:
`2mg"tg"beta=momega^2 (l_2+l_1sinbeta+3l_1sinbeta)`
`omega=sqrt((2g"tg"beta)/(l_2+4l_1sinbeta))`.
 |
Найдите ускорения тел системы, изображённой на рисунке 29. Сила `F` приложена по направлению нити к одному из тел массы `m`. Участки нити по обе стороны от лёгкого блока, прикреплённого к телу массы `M`, параллельны.
Силы, действующие на тела, изображены на рисунке 30.
Для первого тела
`Ox:` `F-T=ma_1` (1)
Для второго тела:
`Ox:` `-T=-ma_2` (2)
Для третьего тела:
`Ox:` `2T=Ma_3` (3)
Т. к. нить нерастяжима, то смещение второго тела к блоку `(l_2)` равно смещению первого тела от блока `(l_1)`. Т. к. блок сам смещается с ускорением, то к смещению первого блока добавится смещение `2l_3`:
`a_1=a_2+2a_3`. (4)
Из (2) и (3) следует `a_2=a_3 M/(2m)`.
Тогда, решая совместно (1), (4) и (2), получим
`a_3=F/(M+2m)`,
тогда
`a_2=F/((M+2m))*M/(2m)` и `a_1=(F/(M+2m))((M+4m)/(2m))`.
Традиционно курс физики начинается с изучения механического движения, которое определяют как изменение положения тел или их частей в пространстве относительно друг друга с течением времени. Уже описание движения простейшего объекта - материальной точки (тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь) - требует введения векторных величин: радиус-вектора `vec r (t)` (характеризующего положение точки в пространстве в каждый момент времени `t`), вектора перемещения `Delta vec r` (рис. 1), скорости и др.
Что же такое векторная величина? Напомним, что некоторые физические величины полностью характеризуются единственным числом, которое выражает отношение этой величины к единице измерения. Такие величины называются скалярными. Простейшие примеры их - масса, плотность, температура. Так, температура в Москве `25^@ "C"` полностью задана одним числом (`25^@ "C"`); нельзя, например, сказать, что она направлена под каким-то углом к горизонту, температура никуда не направлена. То же самое относится к массе тела (но не к силе тяжести!), плотности вещества.
С другой стороны, для характеристики таких физических величин, как перемещение, скорость, сила, необходимо также знать и их направление. Такие величины называются векторными. Они являются предметом изучения специального раздела математики, называемого векторной алгеброй.
1. Основные определения
Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно - как с геометрическими объектами - геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).
Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.
Стрелка компаса - не вектор, т. к. для неё нет таких операций.
Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение - букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.
Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую - концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является началом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).
Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа - равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).
В физике точка приложения вектора иногда имеет принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке приписать эту скорость? Всем точкам движущейся системы!
2. Сложение двух векторов.
Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а).
Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б - это вектор `vec c`.
Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать
Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.
Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах, параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно - суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).
Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют правило треугольника. Поясним сказанное.
3. Сложение трёх и более векторов.
Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6).
Для этого по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим вектором `vec d`. Тогда полученный вектор `vec f = vec c + vec d` и будет представлять собой сумму трёх векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.
Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго - откладывают третий, из конца третьего - четвёртый и т. д.
Так, на рис. 7 вектор `vec g` представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`, найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.
Не всякая векторная сумма может иметь физический смысл. Не всякие величины вообще имеет смысл складывать. Так, например, бессмысленно говорить, что, если у меня температура `36,6^@` и у вас тоже `36,6^@`, то вместе у нас температура `73,2^@`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).
Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.
Сила есть аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т. д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ...` есть осмысленная и даже очень нужная величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ... = 0`, даже если силы приложены в разных точках тела. Причём это относится не только к твёрдым телам. Если нитка подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке перекинута еще через какие-нибудь гвозди, то сначала нужно найти силы со стороны каждого из гвоздей и силу со стороны Земли (силу тяжести) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; при этом говорят, что к нитке приложена сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ...`; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.
Не так со скоростями. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то это не означает, что в этот момент вся система обладает скоростью равной векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает складывать векторы скорости разных частиц; но с точки зрения физики вектор `vec(v_1) + vec(v_2)` ничему приписать нельзя. В этом смысле скорость - не аддитивная величина. Суммой скоростей (векторной суммой) интересуются, когда одно движение накладывается на другое (например, Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем движется вокруг центра Галактики). А вот сумма скоростей отдельных частиц системы (например, сумма скоростей звезд в Галактике) физического интереса не представляет.
Родственная скорости величина, с которой вы еще не раз встретитесь в курсе физики, импульс материальной точки, равный произведению массы на скорость, `vec p = m vec v` снова - величина аддитивная.
В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.
4. Умножение вектора на скаляр.
Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен
где `|k|` - абсолютная величина числа `k`.
Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только скалярным множителем, не равным нулю, то они коллинеарны.
В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой вектор, направление которого не определено.
Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8а).
При `k = - 1` получим `vec b = - vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону (рис. 8б).
Два вектора, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными.
Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `...`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом
`vec p = vec(p_1) + vec(p_2) + vec(p_3) + ... = m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) + m_3 vec(v_3) + ...`.
При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.
Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор `- vec b`:
`vec a - vec b = vec a + (- vec b)`
1. Проекция вектора на заданное направление.
Пусть заданы два вектора `vec a` и `vec b`. Приведём эти векторы к одному началу `O` (рис. 10). Угол, образованный лучами, исходящими из точки `O` и направленными вдоль векторов `vec a` и `vec b`, называют углом между векторами `vec a` и `vec b`. Обозначим этот угол через `alpha`.
Число `a_b = a cos alpha` называется проекцией вектора `vec a` на направление вектора `vecb`. Проекция вектора `vec a` получается, если из его конца опустить перпендикуляр на направление вектора `vec b` (рис. 10), тогда расстояние от общего начала векторов - точки `O` - до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямой, на которой лежит вектор `vecb`, будет равно модулю проекции вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.
Угол `alpha` может принимать различные значения, поэтому в зависимости от знака `cos alpha` проекция может принимать положительные, отрицательные значения или нуль. Например, если угол `alpha` тупой, т. е. больше, чем `90^@`, но меньше `180^@`, то косинус такого угла отрицателен (см. рис. 11).
Проекция равна нулю, если направления векторов `vec a` и `vec b` взаимно перпендикулярны (см. рис. 12).
Проекции равных векторов на любые направления равны друг другу. Проекции противоположных векторов отличаются знаком.
Легко показать, что проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций и что при умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.
2. Разложение вектора.
До сих пор мы говорили о сложении векторов. Для решения многих задач бывает необходимо произвести обратную процедуру - разложить вектор на составляющие, например, найти несколько сил, которые своим совместным действием могли бы заменить одну данную силу. Такая операция называется разложением сил.
Пусть на плоскости задан вектор `vec a` и две пересекающиеся в точке `O` прямые `AO` и `OB` (см. рис. 13).
Вектор `vec a` можно представить в виде суммы двух векторов, направленных вдоль заданных прямых. Для этого параллельным переносом совместим начало вектора `vec a` с точкой `O` пересечения прямых. Из конца вектора `vec a` проведём два отрезка прямых, параллельных `AO` и `OB`. В результате получится параллелограмм. По построению
Векторы `vec(a_1)` и `vec(a_2)` называются составляющими вектора `vec a` по заданным направлениям, а само представление вектора в виде суммы (*) - разложением вектора по двум направлениям.
В чём разница между проекцией вектора на ось и составляющей (компонентой) вектора вдоль этой оси?
Проекция вектора - скаляр; составляющая вектора вдоль этой оси - вектор, направленный вдоль этой оси.
Пусть `a = 1`, угол между прямыми `AO` и `OB` равен `varphi = 45^@`, а угол между векторами `vec a` и `vec(a_1)` равен `varphi = 15^@`. Определите модули векторов `vec a_1` и `vec a_2` в разложении (*), а также значения проекций вектора `vec a` на направления `vec(a_1)` и `vec(a_2)` (см. рис. 13).
`a_(a1) = a cos varphi_1 ~~ 0,97`, `a_(a2) = a cos varphi_2 = cos 30^@ ~~ 0,87`.
Далее по теореме синусов , `a_1/(sin varphi_2) = a/(sin (180^@ - varphi_1 - varphi_2))`,
откуда `a_1 = (sin varphi_2)/(sin (varphi_1 + varphi_2)) = (sin 30^@)/(sin 45^@) ~~ 0,71`
и аналогично `a_2 = (sin 15^@)/(sin 45^@) ~~ 0,37`.
3. Проектирование вектора на оси координат.
Особенно важен частный случай разложения вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат `xOy` и некоторый вектор `vec a`. Отложим из начала координат вдоль положительного направления осей `Ox` и `Oy` векторы `vec i` и `vec j` соответственно такие, что `|vec i| = 1` и `|vec j| = 1`. Векторы `vec i` и `vec j` назовём единичными векторами.
Перенесём вектор `vec a` так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть в этом положении он изображается направленным отрезком `AO` (рис. 14).
Опустим из точки `A` перпендикуляры на оси `Ox` и `Oy`. Тогда векторы `vec(a_x)` и `vec(a_y)` будут составляющими вектора `vec a` по координатным осям, причём вектор `vec(a_x)` будет коллинеарен вектору `vec i`, а вектор `vec(a_y)` - коллинеарен вектору `vecj`. Следовательно, существуют такие числа `a_x` и `a_y`, что `vec(a_x) = a_x vec i` и `vec(a_y) = a_y vec j`. Таким образом, вектор `vec a` может быть представлен в виде разложения по осям:
Числа `a_x` и `a_y` суть проекции вектора `vec a` на направления векторов `vec i` и `vec j` соответственно, то есть на оси `Ox` и `Oy`. Используется и иная, чем (3), форма записи векторов, а именно `vec a = (a_x ; a_y)`.
Иногда говорят о составляющей вектора вдоль одной единственной оси - без указания второй. Просто молчаливо предполагается, что вторая ось перпендикулярна первой (но почему-то не нарисована).
Пусть угол между положительным направлением оси `Ox` и вектором `vec a` равен `alpha` (рис.14). Тогда `a_x = a cos alpha`, `a_y = a sin alpha`.
В зависимости от значения угла `alpha` проекции вектора `vec a` на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Зная проекции вектора `vec a` на оси координат, можно найти его величину и направление по формулам:
и
`"tg" alpha = (a_y)/(a_x)` (5)причём знаки `a_x` и `a_y` будут указывать на то, какому квадранту принадлежит значение `alpha`.
4. Пусть теперь нам задано векторное равенство `vec a + vec b = vec c` (рис. 15).
Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства
`c_x = a_x + b_x`, `c_y = a_y + b_y`,
или
`c_x = a cos alpha + b cos beta`,
`c_y = a sin alpha + b sin beta`,
т. е. по проекциям векторов `vec a` и `vec b` легко находятся проекции суммарного вектора `vec c`.
1.
Скалярным произведением двух векторов `vec a` и `vec b` называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, и обозначается `vec a * vec b`.
Таким образом,
Иногда используют более сложные обозначения для скалярного произведения векторов: `(vec a vec b)` или даже `(vec a, vec b)`.
Если векторы `vec a` и `vec b` ортогональны `(vec a _|_ vec b)`, то `cos alpha = 0` и поэтому `vec a * vec b = 0`. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.
Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то `cos alpha = 1`, поэтому скалярное произведение векторов `vec a` и `vec b` равно произведению модулей векторов `vec a` и `vec b`. В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: `vec a * vec a = a^2`.
2. Имеется ещё одна важная форма записи скалярного произведения: через проекции векторов в прямоугольной системе координат `xOy`. Пусть в некоторой системе координат векторы `vec a` и `vec b` имеют координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Тогда для скалярного произведения векторов справедлива формула
Действительно, имеем `vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * (b_x vec i + b_y vec j)`, или после перемножения скобок
`vec a * vec b = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`.
Учитывая, что векторы `vec i` и `vec j` единичные и взаимно перпендикулярные,
(`vec i * vec i = vec j * vec j = 1` и `vec i * vec j = vec j * vec i = 0`), получим (7).
(написано по просьбе Володковича Н.А., преподавателя школы Смоленской обл.). Кажущееся привычным перемножение скобок
`vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * ( b_x vec i + b_y vec j) = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`
не так очевидно для векторов. Во всяком случае, нужно ещё доказать, что оно согласуется с определением (6) скалярного произведения. Докажем, что
`(vec a + vec b)(vec c + vec d) = vec a * vec c + vec a * vec d + vec b * vec c + vec b * vec d`. (*)
Для этого заметим, что скалярное произведение (6) можно переписать в виде
`vec a * vec b = a * b_a` (6'),
где `b_a` – проекция вектора `vec b` на направление вектора `vec a`.
(Можно было записать и иначе:
`vec a * vec b = a_b * b` (6"),
где `a_b` – проекция вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.)
Далее – цепочка простых выкладок:
`vec a * (vec c + vec d) = (vec c + vec d) * vec a = a (c_a + d_a) = a * c_a + a * d_a = vec a * vec c + vec a * vec d`,
`(vec a + vec b)(vec c + vec d) -= (vec a + vec b) * vec e = vec a * vec e + vec b * vec e = vec a * (vec c + vec d) + vec b * (vec c + vec d)`,
откуда следует равенство (*) (было введено обозначение `vec c + vec d -= vec e`).
При другом выборе системы координат векторы `vec a` и `vec b` имели бы другие координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Поэтому могло бы показаться, что в новой системе координат скалярное произведение векторов (7) будет иметь другое значение. На самом деле, согласно (6) величина скалярного произведения останется такой же: модули векторов и угол между ними не зависят от поворотов и сдвигов системы координат.
`vec a = (3; lambda)`, `a = 5`. Определите `lambda`.
Согласно формуле (4) имеем `3^2 + lambda ^2 = 5^2`, откуда `lambda = 16` и `lamda =+- 4`. Заметим, что условию задачи удовлетворяют два разных вектора (см. рис. 16).
Векторы `vec a = (0; 3)` и `vec b = (lambda ; 5)` коллинеарны друг другу. Определите `lambda`.
Вектор `vec a` параллелен оси `Oy` (перпендикулярен оси `Ox`: `a_x = 0`). Поэтому коллинеарный ему вектор `vec b` также должен быть перпендикулярен оси `Ox`, т. е. должно выполняться равенство `b_x = 0`, или `lambda = 0`.
Векторы `vec a = (- 1; 3)` и `vec b = (lambda; 5)` перпендикулярны друг другу. Определите `lambda`.
Векторы `vec a` и `vec b` перпендикулярны друг другу, поэтому равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу (6) и вывод после неё). Тогда по формуле (7) для скалярного произведения векторов имеем: `(- 1) * lambda + 3 * 5 = 0`, откуда `lambda = 15`.
`vec p = vec b (vec a vec c) - vec c (vec a vec b)`. Докажите, что `vec p _|_ vec a`.
Надо доказать, что скалярное произведение векторов `vec a` и `vec p` равно нулю. В самом деле, `vec a * vec p = (vec a vec b)(vec a vec c) - (vec a vec c)(vec a vec b) -= 0`.
Векторы `vec a`, `vec b`, `vec c` составляют треугольник (см. рис. 17).
Воспользовавшись свойствами скалярного произведения векторов, докажите теорему косинусов
`c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab cos varphi` (8)
По условию задачи имеем `vec c = - (vec a + vec b)`. Квадрат модуля вектора `vec c` можно представить как скалярное произведение его на самого себя: `c^2 = vec c * vec c`. Вычислим это скалярное произведение:
`vec c * vec c = + (vec a + vec b) * (vec a + vec b) = vec a * vec a + vec a * vec b + vec b * vec a + vec b * vec b = a^2 + b^2 + 2ab cos alpha`.
Угол `alpha` между векторами `vec a` и `vec b` и угол `varphi` (см. рис.17) - два смежных угла, т. е. `alpha = 180^@ - varphi` . Поэтому имеем `c^2 = a^2 + b^2 + 2 ab cos (180^2 - varphi)`.
Пользуясь известной из тригонометрии формулой приведения `cos (180^@ - varphi) =- cos varphi`, получаем формулу (8)
Найдите угол `alpha` между векторами `vec a = 3 vec i + 2 vec j` и `vec b = - 2 vec i - vec j`.
По определению скалярного произведения `vec a * vec b = a * b * cos alpha`, где `alpha` - искомый угол, `a` и `b` - модули векторов `vec a` и `vec b` соответственно. Отсюда `cos alpha = (vec a * vec b)/(a * b)`. В свою очередь,
`vec a * vec b = a_x b_x + a_y b_y = 3 * (- 2) + 2 * (- 1) = - 8`,
`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt13`,
`b = sqrt(b_x^2 + b_y^2) = sqrt((- 2)^2 + (- 1)^2) = sqrt5`.
Тогда `cos alpha = (- 8)/(sqrt13 * sqrt5) = (- 8)/sqrt(65) ~~ - 0,992`. Отсюда `alpha ~~ 173^@`.
Простейшие примеры векторов в физике - скорость и сила.
1. Всякое движение можно представить как результат сложения нескольких движений, его составляющих. Скорость результирующего движения изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составляющие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пример.
Рыбак переправляется на лодке `A` через реку, которая течёт в сторону, указанную стрелкой (рис. 18). Пусть скорость течения воды `vec(v_1)` изображается по величине и направлению отрезком `AB`, а скорость `vec(v_2)` движения лодки относительно воды под влиянием усилий гребца изображается отрезком `AC` (в стоячей воде лодка двигалась бы по направлению `AC` со скоростью `vec(v_2)`). Лодка будет двигаться относительно берега по направлению `AM` со скоростью `vec v`, изображаемой диагональю `AD` параллелограмма, построенного на векторах `vec(v_1)` и `vec(v_2)` (в данном случае параллелограмм `ABCD` является прямоугольником).
2. Сила - как векторная величина - всегда имеет определённое направление, модуль, а также точку приложения.
Часто встречаются случаи, когда на тело действуют несколько сил. Тогда бывает удобно заменить их одной силой, которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил. Такую силу (если она существует) называют равнодействующей. Нахождение равнодействующей нескольких сил осуществляется с помощью правил векторного сложения, при этом слагаемые силы называют составляющими.
Так, несколько сил, действующих на одну и ту же точку тела, всегда можно заменить одной равнодействующей, как бы ни были направлены силы и каковы бы ни были их величины. Пусть, например, на тело действуют четыре силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и `vec(F_4)`, приложенные к одной точке `O` и лежащие в одной плоскости (рис. 19). Тогда их равнодействующая `vec F` будет равна векторной сумме этих сил, найденной по правилу многоугольника (рис. 20).
Найти равнодействующую `vec R` трёх равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми силами равны между собой.
`F_1 = F_2 = F_3 = F`.
См. рис. 21. Углы между парами векторов `vec(F_1)` и `vec(F_2)`, `vec(F_2)` и `vec(F_3)`, а также между векторами `vec(F_1)` и `vec(F_3)`, равны друг другу и равны `120^@`. Сложим силы `vec(F_2)` и `vec(F_3)` по правилу параллелограмма. Вследствие равенства модулей сил `vec(F_2)` и `vec(F_3)` этот параллелограмм есть ромб. Сумма сил `vec(F_2) + vec(F_3)` есть диагональ ромба, поэтому углы между парами векторов `vec(F_2)` и `vec(F_2) + vec(F_3)`, а также `vec(F_3)` и `vec(F_2) + vec(F_3)` равны по `60^@`, т. е. векторы `vec(F_1)` и `vec(F_2) + vec(F_3)` направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны. Силовой параллелограмм, построенный на векторах `vec(F_2)` и `vec(F_3)`, состоит из двух равносторонних треугольников, поэтому модуль силы
`|vec(F_2) + vec(F_3)| = F_2 = F_3 = F = F_1`, т. е `vec F_1 = - (vec(F_2) + vec(F_3))`,
откуда следует `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) = 0`.
К телу приложено `6` сил, лежащих в одной плоскости и составляющих друг с другом углы в `60^@`. Силы последовательно равны `1`, `2`, `3`, `4`, `5` и `6 Н`. Найти равнодействующую `vec R` этих шести сил.
Сложение сил по правилу многоугольника здесь нецелесообразно. Поступим иначе. Сложим сначала попарно силы, направленные вдоль одной прямой (см. рис. 22 а, б, в).
Получим
`|vec(F_2) + vec(F_4)| = 4 - 1 = 3`,
аналогично `|vec(F_2) + vec(F_5)| = 5 - 2 = 3` и `|vec(F_3) + vec(F_6)| = 6 - 3 = 3`.
Сумма сил `vec(F_2) + vec(F_5)` направлена вдоль вектора `vec(F_5)`. Туда же направлена и сумма сил `vec(F_1) + vec(F_4) + vec(F_3) + vec(F_6)`, причём модуль этой силы равен `3`. В итоге получаем, что сумма всех шести сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)` направлена вдоль направления силы `vec(F_5)`, а модуль этой силы `|vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)| = 3 + 3 = 6 Н`.
Найти равнодействующую `vec R` пяти равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми соседними силами равны между собой (см. рис. 23). (Эти углы, разумеется, равны `360^@ //5 = 72^@`.)
В отличие от предыдущего примера здесь мы имеем нечётное число сил, поэтому невозможно образовать из них целое число пар. Поступим иначе. Возьмём какую-нибудь силу, например, `vec(F_1)`, а остальные сгруппируем в пары и попарно сложим их (см. рис. 24):
`vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`.
Почему удобна именно такая группировка сил в пары? Дело в том, что обе суммы сил (и `vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`) направлены вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Ясно, что равнодействующая всех сил будет направлена вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Модули сумм сил легко найти из геометрии. Например, в силовом параллелограмме, построенном на векторах `vec(F_2)` и `vec(F_5)`, который является ромбом, длина диагонали ромба (модуль силы `vec(F_2) + vec(F_5)`) равна удвоенной половинке диагонали, а та легко ищется из любого из четырёх прямоугольных треугольников, на которые ромб разбивается диагоналями. В результате
`|vec(F_2) + vec(F_5) | = 2F cos 72^@`,
где `F` - модуль любой из пяти исходных сил. Аналогично
`|vec(F_3) + vec(F_4)| = 2F cos 36^@`.
В итоге для модуля искомой силы получаем формулу
`R = F(1 + 2 cos 72^@ - 2 cos 36^@)` (*).
Для углов `72^@` и `36^@` нет таких простых формул, как для углов `30^@`, `45^@` или `60^@`. Пользуясь калькулятором, можно, однако, показать, что согласно формуле (*) `R = 0`.
Имеется и более красивое доказательство того, что результирующий вектор есть нулевой вектор. В самом деле, мы довольно произвольно взяли в качестве силы, которой не хватило пары, силу `vec(F_1)`. Если бы в качестве такой взять силу `vec(F_2)`, а в пары объединить `vec(F_1)` и `vec(F_3)` (одна пара) и `vec(F_4)` и `vec(F_5)`, то, повторив рассуждения, получим, что равнодействующая всех пяти сил `vec R` должна быть направлена вдоль линии действия силы `vec(F_2)`. Возможно ли, чтобы вектор был одновременно направлен вдоль двух несовпадающих друг с другом направлений (и `vec(F_1)`, и `vec(F_2)`; а на самом деле, как догадался читатель, ещё и вдоль направления действия сил `vec(F_3)`, `vec(F_4)` и `vec(F_5)`!)? Ненулевым вектор не может быть! Остаётся одна возможность: суммарный вектор – нулевой!
В примерах 10 и 11 мы искали по правилу параллелограмма суммы сил.
В примере 12 нас интересовала лишь проекция равнодействующей силы на направление (например, силы `vec(F_1)`).
В следующих примерах наш интерес будет также скорее не к равнодействующей силе, а только к каким-то её проекциям.
Электрический фонарь весом `Q = 16 Н` укреплён, как показано на рис. 25.
Определите отношение натяжений `T_1` и `T_2` в проволоках `BA` и `BC`, углы наклона которых даны на рисунке.
В условиях равновесия сумма всех сил, приложенных к точке `B`, равна нулю. Поэтому проекция равнодействующей всех сил на горизонтальное направление тоже равна нулю. Проекция силы со стороны проволоки, идущей к фонарю, на это направление равна нулю (эта сила вертикальна). Остаются вклады от двух натяжений со стороны проволок `BA` и `BC`. Горизонтальную ось направим слева направо. Тогда имеем: (см. рис. 26), т. е.
`T_1 * cos 60^@ - T_2 cos 45^@ = 0`
(или `T_1 * sin 30^@ - T_2 sin 45^@ = 0`), откуда получаем `T_1//T_2 = sqrt2`.
Однородная массивная верёвка подвешена за два конца на разных высотах (см. рис. 27). Масса верёвки `m`. Углы, которые составляет верёвка с вертикалью в точках закрепления, равны `30^@` и `60^@`.
Определите силы натяжения верёвки вблизи её точек крепления.
Задача кажется очень трудной, т. к. не ясно, какую роль играет неизвестная нам форма верёвки, которую она примет под действием сил тяжести всех частей верёвки. (В предыдущем примере мы не интересовались провисанием проволок под действием силы тяжести, молчаливо считая провисание малым.) И всё же задача в той постановке, в какой дана, имеет простое решение. Мысленно проведём горизонтальную ось слева направо. Поскольку верёвка находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на горизонтальное направление равна нулю. Сила тяжести верёвки имеет нулевую проекцию на это направление (эта сила направлена вертикально). Снова остаются вклады от двух натяжений (см. рис. 28):
, или `- T_1 * sin 30^@ + T_2 sin 60^@ = 0`.
Полагая `sin 30^@ = 1//2` и `sin 60^@ = sqrt3 //2`, находим `T_1 // T_2 = sqrt3`. Мысленно проведём ещё и вертикальную ось, направив её вниз. Сумма проекций всех сил на эту ось также равна нулю:
`mg - T_1 cos 30^@ - T_2 cos 60^@ = 0`.
Учитывая найденное ранее соотношение между `T_1` и `T_2` и значения `cos 60^@ = 1//2` и `cos 30^@ = sqrt3 //2`, получаем:
`mg - sqrt3 * T_2 * sqrt3 //2 - T_2 //2 = 0`,
откуда
`T_2 = mg//2` и `T_1 = sqrt3 mg//2`.
На гладкой наклонной плоскости с углом наклона `alpha` лежит брусок массой `m`. Какую горизонтальную силу нужно приложить к бруску, чтобы он находился в покое (рис. 29)?
Определите также модуль нормальной силы реакции на брусок со стороны наклонной плоскости.
Брусок по условию задачи покоится. Значит, сумма всех сил, приложенных к бруску, равна нулю. Равны нулю и суммы проекций сил на любые направления, в частности, на направление вдоль наклонной плоскости и перпендикулярное ему. Нормальная сила реакции `vec N` со стороны наклонной плоскости имеет равную нулю составляющую вдоль наклонной плоскости.
Проекция сила тяжести `m vec g` на ось `Ox` вдоль наклонной плоскости (рис. 30) равна `- mg sin alpha`, а проекция горизонтальной силы `F` на эту ось равна `F cos alpha`. Других сил вдоль наклонной плоскости не действует (плоскость, по условию задачи, гладкая, т. е. сила трения пренебрежимо мала). Приравнивая нулю сумму проекций на ось `Ox` всех сил, действующих на тело, получаем: `- mg sin alpha + F cos alpha = 0`, откуда находим
`F = mg (sin alpha)/(cos alpha) = mg * bbb"tg" alpha`.
Для отыскания `N` обратимся к проекциям сил на направление `Oy`. Приравняем нулю и сумму проекций на ось `Oy`:
`N - mg cos alpha - F sin alpha = 0`,
откуда `N = mg cos alpha + F sin alpha`, или с учётом найденного значения `F`:
`N = mg cos alpha + mg (sin^2 alpha)/(cos alpha) = mg (cos^2 alpha + sin^2 alpha)/(cos alpha)`,
тогда с учётом основного тригонометрического тождества, `sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`, получаем окончательно
`N = (mg)/(cos alpha)`.
На шероховатой поверхности доски лежит брусок массой `m`. К нему приложена сила, направленная под углом `alpha` к горизонту (см. рис. 31).
Определите модуль нормальной силы реакции со стороны поверхности.
Поскольку брусок не проваливается и не подскакивает вверх, то сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю:
`N + F * sin alpha - mg = 0`,
(см. рис. 32), откуда находим
`N = mg - F * sin alpha`.
Часто совершенно безосновательно приравнивают силу реакции `N` силе тяжести `mg`. Мы видим, что даже в случае горизонтальной поверхности это в общем случае не так. Для наклонной плоскости это тоже не так. В предыдущем примере нормальная сила реакции равнялась `mg//cos alpha`. Кстати, если бы удерживающая сила `F` действовала там не вдоль горизонтали, а вдоль наклонной плоскости, то для удержания бруска на наклонной плоскости потребовалась бы сила величиной `F = mg sin alpha`, а нормальная сила реакции была бы равна `N = mg cos alpha` (и снова не равнялась бы `mg`!)
Докажите это самостоятельно.
Самолёт взлетает с аэродрома со скоростью под углом `alpha = 20^@` к горизонту. Найдите модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости самолёта.
(См. рис. 33). В данном примере мы имеем дело с весьма простым случаем разложения скорости на два взаимно перпендикулярных направления:
`vec v = vec(v _sf"гор") + vec(v_sf"верт")`,
, .
В безветренную погоду самолёт летит на север со скоростью () относительно земли. С какой скоростью относительно земли будет лететь самолёт, если дует западный ветер со скоростью ?
(См. рис. 34). В данном случае мы имеем дело со сложением движений: `vec(v_sf"с") = vec(v_sf"св") + vec(v_sf"в")`, где `vec(v_sf"св")` - скорость самолёта относительно воздуха (модуль которой равен скорости самолёта относительно земли в безветренную погоду), а `vec(v_sf"в")` - скорость воздуха. Далее по теореме Пифагора получаем:
.
Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоростью . Скорость лодки в стоячей воде . Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить лодку, чтобы она двигалась поперек реки (без сноса)? Какой будет при этом модуль скорости лодки `v` относительно берега?
Как и в примере 9, мы также имеем дело со случаем сложения движений. Но там было проще: не требовалось выбирать никакой стратегии, рыбак лишь наблюдал, как снесёт его лодку течением воды в реке. Если бы вода в реке покоилась, то, направив корпус лодки под углом `alpha` к нормали, мы заставили бы её двигаться в направлении вектора `vec V` (см. рис. 35). В действительности, вода в реке не стоячая, а имеет скорость `vec u` Поэтому сносимая течением лодка будет двигаться в направлении вектора `vec v` таком, что `vec v = vec V + vec u`. Учитывая, что оба треугольника в параллелограмме на рис. 35 прямоугольные (по условию, лодка должна двигаться перпендикулярно берегам), находим
`sin alpha = u//V = 3//5`, `alpha ~~ 37^@`,
а по теореме Пифагора .
Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоростью . Скорость лодки в стоячей воде . Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить корпус лодки, чтобы её снесло как можно меньше? Под каким углом `beta` к нормали к берегу будет при этом плыть лодка?
В данном примере скорость лодки относительно воды меньше, чем скорость воды в реке, `V < u`, поэтому реализовать план из предыдущего примера (рис. 35) невозможно. Наша цель состоит в том, чтобы направить корпус лодки под таким углом `alpha` к нормали к берегу, чтобы сносимая течением лодка двигалась под углом `beta`, по возможности наименьшим (см. рис. 36 ф, б, в).
В данном примере складывать скорости (лодки относительно воды `vec V` и воды в реке `vec u`) удобно по правилу треугольника, а не параллелограмма: приставим начало вектора `vec V` к концу вектора `vec u`. Выбирая оптимальный план (с наименьшим углом сноса), будем мысленно поворачивать вектор `vec V`. При этом конец вектора будет описывать окружность с центром в конце вектора `vec u`. Из рисунков видно, что минимальному углу сноса лодки `beta` соответствует случай, когда вектор `vec v = vec V + vec u` направлен по касательной к этой окружности. При этом вектор `vec V _|_ vec v` т. е. треугольник скоростей на рис. 36 в прямоугольный. Отсюда получаем:
`sin alpha = V//u = 3//5`; `alpha ~~37^@`; `beta = 90^@ - alpha ~~53^@`.
Лодку вытягивают из воды, стоя на крутом берегу и выбирая верёвку, которая привязана к носу лодки, со скоростью `v` (см. рис. 37).
Какой будет скорость лодки `u` в момент, когда верёвка будет составлять угол `alpha` с горизонтом? Верёвка нерастяжима.
Традиционная ошибка решающих эту задачу состоит в том, что пытаются разложить движение лодки на два направления – горизонтальное и вертикальное, делая (неправильное!) построение, как показано на рис. 38а и получая неверный ответ `u = v * cos alpha`. Что здесь неправильно? В отличие от самолёта из примера 17, который двигался под отличным от нуля углом к горизонту (см. рис. 33), здесь лодка движется горизонтально! Сделаем другое разложение скорости лодки `vec u` по двум направлениям – вдоль верёвки (в данный момент времени!) и перпендикулярно ей (см. рис. 38б).
Проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v`, с которой выбирают верёвку: `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`.
Поясним ещё, почему проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v` с которой выбирают верёвку. Если мы имеем абсолютно твердое тело (АТТ), деформациями в котором можно пренебречь, или нерастяжимую нить (но уже максимально натянутую), то как бы ни двигались АТТ или нерастяжимая нить, они будут обладать следующим свойством. Возьмём две произвольные точки `A` и `B` нити или АТТ и мысленно соединим их прямой. Тогда составляющие скоростей выбранных точек вдоль этой прямой в любой момент времени будут равны друг другу: (см. рис. 39). В противном случае изменялось бы расстояние между точками `A` и `B`. Составляющие скорости, перпендикулярные отрезку прямой `AB`, могут быть при этом любыми.
Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов (см. рис. 40). В некоторый момент времени силы натяжения тросов, идущих от лодок 1 и 2, равны друг другу по модулю и равны `F`. Угол между тросами равен `2 alpha`. Какая равнодействующая сила приложена к буксируемой лодке со стороны тянущих её лодок? Чему будет равна эта сила в случае малого угла `alpha` (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?
Две силы нужно сложить по правилу параллелограмма, который в данном случае будет ещё и ромбом с перпендикулярными друг другу диагоналями, разбивающими его на четыре равных прямоугольных треугольника. Из геометрии рис. 41 видно, что модуль равнодействующей силы `R` равен удвоенной длине прилежащего катета: `R = 2F cos alpha`. При стремлении угла между направлениями тросов к нулю `R -> 2F` (`cos alpha -> 1` при `alpha -> 0`).
Хитрее оказывается похожая задача, когда заданы не силы, а скорости.
Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов (см. рис. 42). В некоторый момент времени модули скоростей лодок 1 и 2 равны друг другу и равны `v_1 = v_2 = v`. Найти модуль и направление скорости буксируемой лодки `u`. Тросы нерастяжимы. Чему будет равна эта скорость в случае малого угла `alpha` (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?
Ясно, что «решение» `u = 2v cos alpha` (как в предыдущем примере) не подходит, т. к. при `alpha -> 0` мы получили бы, что `u -> 2v`, чего не может быть. Если, например, две собаки в упряжке бегут с одинаковыми скоростями `v` в одном направлении, то и скорость упряжки будет равна этой же скорости `v` (если, конечно, упряжка не отцепилась или к ней не подключили дополнительно мотор).
Решение задачи такое же, как в примере 21. В данном примере важнейшими словами являются «Тросы нерастяжимы». Ясно, что правильное построение, учитывающее это условие, должно быть таким, как на рис. 43, откуда немедленно получаем `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`. Тогда в предельном случае, когда `alpha -> 0`, имеем `u -> v`, как и должно быть.
Заметим, что четырёхугольник на рис. 43 весьма мало похож на параллелограмм из предыдущего примера. Еще меньше будет похож на параллелограмм этот четырёхугольник, когда модули скоростей `v_1 != v_2` (см. рис. 44).
Две лодки буксируют третью с помощью двух тросов (рис. 45). В некоторый момент времени скорость 2-ой лодки в 2 раза больше, чем скорость 1-ой, `v_2 = 2v_1 = 2v`, а угол между тросами равен `90^@`. В каком направлении и с какой скоростью движется в этот момент буксируемая лодка? Тросы нерастяжимы.
В данном случае четырёхугольник на рис. 44 будет прямоугольником - см. рис. 46 (т. е. всё же параллелограммом).
По определению тангенса угла `"tg"varphi _1 = v_2 //v_1 = 2`, откуда, пользуясь калькулятором, находим `varphi _1 ~~63^@`; `varphi _2 = 90^@ - varphi _1 ~~ 27^@`.
Модуль скорости буксируемой лодки найдём по теореме Пифагора (раз уж у нас «случайно» появились прямоугольные треугольники):
`u = sqrt(v_1^2 + v_2^2) = sqrt(v^2 + (2v)^2) = sqrt5 * v ~~ 2,2 v`.
В предыдущем задании по физике механическое движение было определено как всякое изменение положения тел или их частей в пространстве относительно друг друга с течением времени. Следовательно, чтобы узнать, движется ли конкретное тело и как оно движется, необходимо указать, относительно каких тел (объектов) рассматривается это движение. Тела, относительно которых рассматривается изучаемое движение, называются телами отсчёта, а само движение при этом является относительным.
В то же время выбор одного лишь тела отсчёта не даёт возможности полностью описать изучаемое движение, поэтому с телом отсчёта связывают так называемую систему координат, а отсчёт времени ведут с помощью часов, наличие которых предполагается изначально. Выбор той или иной системы координат для решения конкретной задачи осуществляется по соображениям удобства. Наиболее привычной и распространённой для нас является декартова прямоугольная система координат, с которой мы и будем работать в дальнейшем. Тело отсчёта и связанная с ним система координат в совокупности с часами для отсчёта времени образуют систему отсчёта.
Реальные движения тел порой так сложны, что при их изучении необходимо постараться пренебречь несущественными для рассмотрения деталями. С этой целью в физике прибегают к моделированию, т. е. к составлению упрощённой схемы (модели) явления, позволяющей понять его основную суть, не отвлекаясь на второстепенные обстоятельства. Среди общепринятых физических моделей важную роль в механике играют модель материальной точки и модель абсолютно твёрдого тела.
Материальная точка – это тело, геометрическими размерами которого в условиях задачи можно пренебречь и считать, что вся масса тела сосредоточена в геометрической точке.
Абсолютно твёрдое тело (просто твёрдое тело) – это система, состоящая из совокупности материальных точек, расстояния между которыми в условиях задачи можно считать неизменными.
Модель материальной точки применима прежде всего в случаях, когда размеры тела много меньше других характерных размеров в условиях конкретной задачи. Например, можно пренебречь размерами искусственного спутника по сравнению с расстоянием до Земли и рассматривать спутник как материальную точку. Это – верно! Но вместе с тем не стоит ограничиваться лишь подобными случаями.
Дело в том, что сложное движение реального тела можно «разложить» на два простых вида движения: поступательное и вращательное (см. Задание №1). Если при сложном движении заменить тело материальной точкой, то мы исключим из рассмотрения вращение тела, т. к. говорить о вращении точки вокруг самой себя бессмысленно (точка не имеет геометрических размеров). Следовательно, заменив тело материальной точкой при сложном движении, мы допустим ошибку. Однако часто в случаях, когда тело движется поступательно, не вращаясь, его можно считать материальной точкой независимо от размеров, формы и пройденного им пути.
Модель абсолютно твёрдого тела можно применять, когда в условиях рассматриваемой задачи деформации реального тела пренебрежимо малы. Так, например, в задании, посвящённом вопросам статики (Задание №4), мы будем изучать условия равновесия твёрдого тела и при решении задач часто применять указанную модель. Вместе с тем, данная модель неуместна, если суть задачи состоит, например, в изучении деформаций тела в результате тех или иных воздействий в процессе его движения или в состоянии покоя.
Таким образом, мы будем изучать механическое движение не самих реальных тел, а упомянутых выше моделей. Из них основной и наиболее употребимой для нас станет модель материальной точки. В то же время там, где это необходимо, мы будем ради наглядности изображать на рисунках тела не в виде точек, а в виде объектов, геометрические размеры которых не равны нулю.
Изучая физику, часто приходится использовать понятие изменения физической величины. При этом следует иметь в виду, что изменение какой-либо физической величины можно характеризовать либо её приращением, либо убылью. Приращением называется разность конечного и начального значений этой величины, в то время как убыль, напротив, представляет собой разность начального и конечного её значений.
Иными словами, убыль и приращение отличаются знаком. Мы чаще будем пользоваться понятием приращения и обозначать его в соответствии со сложившейся традицией с помощью греческой буквы «дельта»: `Delta`.
Таким образом, если этот символ стоит перед обозначением какой-либо векторной или скалярной величины, то такое выражение означает приращение соответствующей величины.
Так, выражение `Deltavec A` означает приращение вектора , а выражение `Delta x` - приращение скалярной величины . Вместе с тем во избежание недоразумений следует проявлять известную осторожность при использовании символа `Delta`. Например, убедитесь самостоятельно, что, вообще говоря, `|DeltavecA|!=Delta|vecA|`, хотя в некоторых частных случаях возможно равенство.
Настоящее задание посвящено законам изменения и сохранения им-пульса и энергии для материальной точки и систем материальных точек в механике. Повторение этих разделов вызвано двумя причинами: первая обусловлена важностью этих законов в физике; вторая причина связана с тем, что часть учащихся в 10-ом классе начинает обучаться в ЗФТШ впервые.
Обращаем внимание читателя, что перед работой с Заданием ему следует изучить (повторить) соответствующие разделы школьного учебника и выполнить упражнения, представленные в учебнике.
Механика – наука, изучающая движение тел и способы описания движения и взаимодействия тел. Для описания механического движения следует выбрать систему отсчёта, представляющую собой тело отсчёта, с которым неподвижно связывают систему координат, и часы для регистрации положения точки в различные моменты времени.
В механике Ньютона, т. е. при рассмотрении движений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, показания неподвижных и движущихся часов считаются одинаковыми.
Выбор систем отсчёта диктуется соображениями удобства и простоты описания движения.
Для математически точного описания движения используются модели физических тел. Материальная точка – модель тела, применяемая в механике в тех случаях, когда размерами тела можно пренебречь по сравнению с характерными расстояниями, на которых рассматривается движение тела. В геометрии для описания таких тел используется понятие точки. Положение материальной точки в пространстве определяется положением изображающей её геометрической точки. Единственная механическая (негеометрическая) характеристика материальной точки – её масса.
В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.
Система отсчёта, в которой любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.
инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют
в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:
`Delta vec p = vec F * Delta t` (1)Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в данной системе отсчёта:
`vec p = m * vec v`.
`vec F` - сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) - vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:
в ИСО приращение импульса материальной точки равно импульсу силы.
Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:
в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:
`vec a = vec F/m` (2)Если масса тела остаётся неизменной, то `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v`, и соотношение (1) принимает вид `m Delta vec v = vec F Delta t`. С учётом `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности соотношений (1) и (2) в рассматриваемом случае.
В настоящем Задании представлены задачи, для решения которых привлекается второй закон Ньютона (см.(1)), устанавливающий равенство приращений импульса материальной точки и импульса силы.
при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:
`vecF_(12) = - vecF_(21)`.
1) силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,
2) эти силы равны по величине,
3) они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.
Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.
Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:
Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.
Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:
привести «моментальную фотографию» движущегося тела, указать приложенные к нему силы;
выбрать инерциальную систему отсчёта;
составить уравнение (3);
перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления;
решить полученную систему.
Рассмотрим характерные примеры.
К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени горизонтальную силу величиной . После прекращения действия силы тело движется до остановки . Определите величину $$ {F}_{\mathrm{тр}}$$ силы трения скольжения, считая её постоянной.
На рис. 1 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона
`(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_("тр") + vec F`.
Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона
$$ ∆{p}_{x}=\left(F-{F}_{\mathrm{тр}}\right)∆t$$
и в процессе торможения `(F = 0)`
$$ ∆{p}_{x}=-{F}_{\mathrm{тр}}∆t$$.
Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки:
`sum Delta p_x = sum_(0 <= t <= t_1) (F - F_sf"тр") Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (-F_sf"тр" ) Delta t`.
Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда
.
С учётом равенств , и независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:
.
Далее рассмотрим пример, в котором одна из сил зависит от времени.
На какое максимальное расстояние `L_max` улетит мяч, если в процессе удара футболист действует на мяч постоянной по направлению силой, величина которой изменяется по закону, представленному на рис. 2. Длительность удара , максимальная сила , масса мяча . Здесь и далее ускорение свободного падения . Сопротивление воздуха не учитывайте.
В процессе удара на мяч действуют две силы: - тяжести и сила `vec F`, с которой футболист действует на мяч,
.
Так как `mg < < F_max`, силой тяжести пренебрежём. Из кинематики известно, что максимальная дальность полёта наблюдается при старте под углом `alpha = pi/4`. Процесс удара показан на рис. 3.
По второму закону Ньютона приращение импульса равно импульсу силы `Delta vec p = vec F * Delta t`. Переходя к проекциям приращения импульса и силы на ось `Ox`, получаем
`Delta p_x = F Delta t`.
Просуммируем элементарные приращения импульса мяча за время удара
`sum Delta p_x = mv - 0 = sum_(0 <= t <= tau) F Delta t`.
Импульс силы `sum_(0 <= t <= tau) F(t) Delta t` за время удара численно равен площади под графиком зависимости этой силы от времени (каждое слагаемое `F(t) Delta t` в импульсе силы можно интерпретировать как площадь элементарного прямоугольника со сторонами `F(t)` и `Delta t` на графике зависимости `F(t)`). Тогда импульс силы `F` за время удара равен
`sum_(0 <= t <= tau) F Delta t = (F_max tau)/2`
и в рассматриваемом случае не зависит от того, в какой именно момент времени сила достигает максимального значения (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту!). Далее находим импульс мяча в момент окончания действия силы
`mv = 1/2 F_max * tau`.
Отсюда находим начальную скорость полёта мяча
`v = (F_max * tau)/(2m) = (3,5 * 10^3 * 8 * 10^-3)/(2 * 0,5) = 28 sf"м/с"`
и максимальную дальность (старт под углом `alpha = pi/4`) полёта
`L_max = (v^2)/g = (28^2)/(10) ~~ 78 sf"м"`.
В рассматриваемом модельном примере получен несколько завышенный по сравнению с наблюдениями результат.
На вступительных испытаниях и олимпиадах в вузах России регулярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с «традиционными» силами: силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело действует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.
Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v = 10 sf"м/с"`, упал на землю, имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине на `delta = 30 %` меньшую, чем при бросании. Найдите время полёта мяча. Считать, что сила сопротивления движению мяча пропорциональна его скорости.
Согласно второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы:
`m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`.
Переходя к проекциям сил и приращения скорости на вертикальную ось, получаем
`m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.
Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`, и перепишем последнее соотношение в виде:
`m * Delta v_y = - mg * Delta t - k * Delta y`.
Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`:
`m * (sum Delta v_y) = - mg * (sum Delta t) - k* (sum Delta y)`.
Переходя к конечным приращениям, получаем
`m (v_y (T) - v_y (0)) = - mg (T - 0) - k (y (T) - y (0))`.
Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое
`y (T) - y (0) = 0`.
Тогда `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha = - mgT`. Отсюда находим продолжительность полёта мяча:
`T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5 sf"с"`.
В следующем примере рассматривается удар, в ходе которого две очень большие силы, «согласованно» действуют во взаимно перпендикулярных направлениях.
Кубик, движущийся поступательно со скоростью `v` (рис. 4) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с шероховатой вертикальной стенкой.
Коэффициент трения `mu` скольжения кубика по стенке и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика в результате соударения не изменяется по величине.
Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 5.
По второму закону Ньютона
`Delta vec p = (m vec g + vecN_("г") + vecF_("тр") + vecN_("в") ) * Delta t`.
Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем
`Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t`, `Delta p_y = N_sf"в" Delta t`.
Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"в" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим:
`sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t`.
В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"в"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения
`sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"в" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.
Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для этого просуммируем приращения
`Delta p_x = - F_sf"тр" Delta t = - mu N_sf"в" Delta t`
по всему времени `tau` соударения, получим:
`sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha = - sum _(0 <= t<= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.
Отсюда `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`. Далее, считая `v_x (tau) > 0`, получаем
`bbb"tg" beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.
Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2 ...`, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vecv_1`, `vecv_2 ...`. Импульсом `vecP_sf"с"` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих систему: `vecP_sf"с" = vec p_1 + vec p_2 + ...`.
Найдём скорость `(Delta vec P_sf"с")/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку действуют суммарной силой `vec F_1` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vec f_(12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vec F_2` и внутренняя сила `vec f_(21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем
`(Delta vec P_("с"))/(Delta t) = (Delta vec p_1)/(Delta t) + (Delta vec p_2)/(Delta t) = (vec F_1 + vec f_(12)) + (vec F_2 + vec f_(21))`.
По третьему закону Ньютона `vec f_(12) + vec f_(21) = vec (0)`, и мы приходим к теореме об изменении импульса системы материальных точек:
`(Delta vec P_("с"))/(Delta t) = vec F_1 + vec F_2`,
т. е. скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Из приведённого доказательства следует, что третий закон Ньютона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы взаимодействующих тел, если нет никаких других внешних сил.
В этом - его более глубокое физическое содержание.
Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы (рис. 6), с которыми клин действует на опору.
По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vec(R_1) = - vecF_("тр")` и силой нормальной реакции `vec R_2 = - vecN_("г")`, действующими на клин со стороны опоры (рис. 7).
Силы `vec F_("тр")` и `vecN_("г")`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок» и определяют скорость изменения импульса этой системы.
Импульс `vecP_("с")` системы направлен по скорости бруска и по величине равен произведению массы бруска на его скорость `vecP_("с") = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона (рис. 8):
`(Delta vec p)/(Delta t) = m vec g + vec N + vecf_("тр")`.
Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf"тр" = mu N` получаем:
`(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N - mg cos alpha`, `(Delta p_x)/(Delta t) = mg (sin alpha - mu cos alpha)`.
По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»
`(Delta vec(P_sf"с"))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vec N_("г") + vecF_("тр")`.
Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное и вертикальное направления (рис. 7), с учётом
получаем
,
,
.
Отсюда находим искомые силы
`R_1 = F_sf"тр" = mg (sin alpha - mu cos alpha) cos alpha`,
`R_2 = N_sf"г" = (M + m) g - mg(sin alpha - mu cos alpha)sin alpha`.
К этим же результатам можно прийти, анализируя движение на «традиционном языке» сил и ускорений с использованием формулы (2).
Из теоремы об изменении импульса системы материальных точек
`(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = sum_i vecF_i`
следует сохранение импульса или его проекций в следующих случаях:
если `sum_i vecF_i = vec 0`, то `vecP_("c")` остаётся неизменным по величине и направлению;
если существует направление `x` такое, что `sum_i F_(i,x) = 0`, то `P_(sf"c",x) = bbb"const"`;
наконец, если на малом интервале времени внешние силы конечные и импульс этих сил за время действия во много раз меньше по величине импульса системы `|sum_i vecF_i| Delta t < < |vecP_("c") (t)|`, то из равенства
`Delta vecP_("c") = vecP_("c") (t + Delta t) - vecP_("c") (t) = (sum_i vecF_i) Delta t`
следует, что приращение `Delta vecP_("c")` импульса системы мало, т. е. на рассматриваемом интервале времени сохраняется импульс системы
`vecP_("c") (t + Delta t) = vecP_("c") (t)`.
Артиллерист стреляет ядром массы `m` так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетающее из пушки ядро очень быстро садится барон Мюнхгаузен, масса которого `5 m`. Какую часть пути до неприятельского лагеря ему придётся идти пешком?
Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстрирует последний из перечисленных случаев сохранения импульса системы. В процессе «посадки» барона на ядро на систему «ядро + барон» действуют внешние силы - это силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Но барон столь ловок и устраивается на ядро столь быстро, что импульс этих конечных сил за время «посадки» барона на ядро значительно меньше по величине импульса `mvecv_0` ядра непосредственно перед «посадкой». Тогда скорость `vecv_0` ядра за мгновение до встречи со сказочным персонажем и скорость `vecv_1` системы «барон на ядре» связаны законом сохранения импульса системы
`m vecv_0 = 6m vecv_1`,
так что скорость ядра сразу после того, как Мюнхгаузен устроится на нём поудобнее, уменьшится в `6` раз. Следовательно, в такое же число раз уменьшатся: длительность полёта (равная удвоенному частному от деления начальной вертикальной составляющей скорости на величину ускорения свободного падения)и горизонтальная составляющая скорости. Дальность полёта, равная произведению этих величин, уменьшится в `36` раз, тогда оставшиеся после благополучного приземления `(35)/(36)` расстояния до неприятельского лагеря барону предстоит пройти пешком!
На гладкой горизонтальной поверхности лежит соломинка массой `M` и длиной `L`. Жук массой `m` перемещается по соломинке с одного конца на другой. На какое расстояние `S` переместится соломинка?
Рассмотрим систему тел «жук + соломинка». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса этой системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: т. е. сил тяжести и силы нормальной реакции
`Delta vecP_("c") = M Delta vecv_1 + m Delta vecv_2 = ((M + m) vecg + vec N) Delta t`,
здесь `vecv_1` - скорость соломинки, `vecv_2` - скорость жука. Обе скорости определены в лабораторной системе отсчёта. Сумма сил тяжести и нормальной реакции равна нулю. Тогда импульс системы «жук + соломинка» в процессе движения остаётся постоянным, равным своему начальному значению:
`M vecv_1 + m vecv_2 = vec 0`.
Поскольку задано перемещение жука в системе отсчёта, связанной с соломинкой, обратимся к правилу сложения скоростей
`vecv_2 = vecv_1 + vec u`,
здесь `vec u` - скорость жука относительно соломинки. Перейдём в этом равенстве к проекциям на горизонтальную ось, получим
`v_(2,x) = v_(1,x) + u_(x^')`.
С учётом правила сложения скоростей закон сохранения импульса принимает вид `Mv_(1,x) + m (v_(1,x) + u_(x^')) = 0`, т. е. в любой момент времени `v_(1,x) =- m/(M + m) u_(x^')`. Тогда элементарные перемещения: `Delta x_1 = v_(1,x) Delta t` - соломинки относительно лабораторной системы отсчёта и `Delta x^' = u_(x^') Delta t` - жука относительно соломинки, связаны соотношением
`Delta x_1 =- m/(M + m) Delta x^'`.
Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи:
`S = m/(m + M) L`.
Клин массой `2m` и углом наклона к горизонту `alpha (cos alpha = 2//3)` находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис. 9). Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нить, связывающая грузы, массы которых равны `m` и `3m`. Груз массой `3m` может скользить вдоль вертикальной направляющей `AB`, закреплённой на клине. Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии `H = 27 sf"см"` от стола, а затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние `S` сместится клин к моменту удара груза массой `3m` о стол? Массы блока и направляющей `AB` считайте пренебрежимо малыми.
Рассмотрим систему тел «клин + грузы» (рис. 10). На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил (рис. 10): тяжести и нормальной реакции горизонтальной опоры
`Delta vecP_("c") = (6 m vec g + vec N) Delta t`.
Проекции сил тяжести и нормальной реакции на горизонтальную ось нулевые. Следовательно, в процессе движения горизонтальная составляющая импульса системы «клин + грузы» остаётся постоянной, равной своему начальному значению - нулю:
`(2m + 3m) v_(x,sf"к") + mv_(x,sf"г") = 0`;
здесь `v_(x,sf"к")` - проекция скорости клина и груза массой `3m` на горизонтальную ось, `v_(x,sf"г")` - проекция скорости груза массой `m` на эту же ось. В системе отсчёта, связанной с клином, модули любых элементарных перемещений грузов равны вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, в этой системе модуль перемещения лёгкого груза в проекции на горизонтальную ось за время движения равен `H cos alpha`. Тогда воспользуемся результатами предыдущей задачи. По правилу сложения скоростей `vecv_("г") = vecv_("к") + vec u`, здесь `vec u` - скорость лёгкого груза в системе отсчёта, связанной с клином. С учётом этого соотношения закон сохранения импульса принимает вид
`(2m + 3m) v_(x,"к") + m(v_(x,"к") + u_(x^')) = 0`.
Отсюда находим связь проекций скорости
`v_(x,"к") = - m/(6m) u_(x^') = - u_(x^')/6`
и элементарных перемещений:
`Delta x_sf"к" =- (Delta x^')/6`,
где `Delta x_sf"к"` - перемещение клина относительно лабораторной системы, `Delta x^'` - проекция перемещения лёгкого груза на горизонтальную ось в системе отсчёта, связанной с клином. Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи:
`S = (H cos alpha)/6 = (27*2)/(6*3) = 3 sf"см"`.
Рассмотренные примеры подчёркивают важную роль законов сохранения. Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории по заданным силам и начальным условиям, упрощается в тех случаях, когда удаётся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся математическим следствием уравнений Ньютона и связывающие скорости (импульсы) точек с их координатами, называют законами сохранения. Проиллюстрируем это на примере задач о столкновениях частиц.
В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном - как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы - тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы не известны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.
Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими - уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль - с такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.
Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.
Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.
Переходя к характерным примерам, отметим, что исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСО), т. е. в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, с которой Вы познакомитесь в следующих Заданиях. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб), называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.
Неупругие столкновения
Частица массой `m` с кинетической энергией `K` сталкивается с неподвижной частицей массой `M`. Найдите приращение `Q` внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения («слипания»).
Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `vec v`, кинетическая энергия частицы `K = (mv^2)/2`. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) частицы движутся с одинаковой скоростью `vec u`. По закону сохранения импульса
`mv = (m + M) u`.
По закону сохранения энергии
`(mv^2)/2 = ((m + M)u^2)/2 + Q`.
Из приведённых соотношений находим
`Q = M/(m + M) K`.
Отметим, что в предельных случаях
`Q = K`,
`m < < M`,
`Q = M/m K < < K`,
`m > > M`.
Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной (например, электрона с атомом) происходит почти полный переход её кинетической энергии во внутреннюю энергию массивной частицы.
При равенстве масс `(m = M)` `Q = K/2`.
Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых автомобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по направлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разрушение.
Упругие столкновения
На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий шар массой `M`. На него налетает гладкий шар того же радиуса массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шаров. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?
Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на шары в процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса
`m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.
Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем
`mv = mv_(1x) + Mv_2`,
здесь учтено, что направление скорости налетающего шара после соударения не известно. По закону сохранения энергии
`(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.
Полученные соотношения перепишем в виде
`m(v - v_(1x)) = Mv_2`,
`m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.
Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`, `m(v - v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид
`v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`,
`v_2 = (2m)/(m + M) v`.
Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`, т. е. если масса налетающего шара больше массы покоящегося шара.
Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности. Скорости `vecv_1` и `vecv_2` шайб непосредственно перед соударением известны и показаны на рис. 11. Найдите скорости `vecv_(1)^'` и `vecv_(2)^'` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.
Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось `Ox` направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис. 11).
В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется:
`vecp_1 + vecp_2 = vecp_(1)^' + vecp_(2)^'`,
здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_(1)^'= m_1 vecv_(1)^'`, `vecp_(2)^' = m_2 vecv_(2)^'` - импульсы шайб до и после соударения.
Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) = p_(2y)^'` находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения:
`v_(1y)^' = v_(1y)`, `v_(2y)^' = v_(2y)`,
т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.
Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия
`(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.
С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид:
`(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.
Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось `Ox`:
`m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.
Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разделить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линейному уравнению
`v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.
Решая систему из двух последних уравнений, находим
`v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,
`v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.
Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения
`v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`, `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`,
а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_(1)^'` и `vecv_(2)^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`,
`bbb"tg" alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`, `bbb"tg" alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.
Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём пример.
Гладкая круглая шайба массой `m_1` движется со скоростью `vec v` вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча равно `R//2` (рис. 12). Обруч массой `m_2` и радиусом `R` лежит на гладком горизонтальном столе. Через какое время `tau` после первого удара шайба окажется на минимальном расстоянии от центра движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.
Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем примере. В ЛСО, ось `Ox` которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скоростей шайбы и центра обруча на ось `Ox` после соударения равны соответственно
`v_(1x)^' = ((m_1 - m_2)v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2) = ((m_1 - m_2)v_(1x))/(m_1 + m_2)`,
`v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1)v_(2x))/(m_1 + m_2) = (2m_1 v_(1x))/(m_1 + m_2)`,
здесь `v_(1x) = vcos pi/6` - проекция скорости шайбы на ось `Ox` до соударения, `v_(2x) = 0` - обруч до соударения покоился.
Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с обручем, проекция скорости шайбы на линию центров после соударения
`v_(1xsf"отн") = v_(1x)^' - v_(2x)^' =- v_(1x) =- vcos pi/6`
просто изменила знак, а перпендикулярная линии центров составляющая, как было показано, в рассматриваемом соударении не изменяется. Следовательно, в системе, связанной с обручем, шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения», и минимальное расстояние от шайбы до центра обруча снова будет равно `R//2`. Искомое время
`tau = (R cos^(2) pi/6)/|v_(1xsf"отн")| = cos pi/6 R/v = sqrt3/2 R/v`.
Газообразное состояние вещества и протекающие в газах тепловые процессы могут быть описаны либо с использованием уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева – Клапейрона), газовых законов, либо в рамках молекулярно-кинетической теории (МКТ). Эти два подхода к изучаемым явлениям не противоречат друг другу, а взаимно дополняют.
Законы Бойля – Мариотта, Шарля и Гей-Люссака, найденные при экспериментальном изучении поведения газов в разных условиях, позволили получить уравнение состояния идеального газа – уравнение Менделеева – Клапейрона.
На основе законов молекулярно-кинетической теории газообразного состояния вещества в принципе можно дать описание любого теплового процесса или явления с участием газов. Упомянутые выше газовые законы находят довольно простое объяснение в МКТ.
2.1. Свойства газообразного состояния вещества
В основе молекулярно-кинетической теории строения вещества лежат три утверждения: все вещества состоят из отдельных атомов или молекул, разделённых промежутками; молекулы вещества находятся в состоянии непрерывного беспорядочного теплового движения; между молекулами вещества существует взаимное притяжение и отталкивание.
Из опыта известно, что в газообразном состоянии вещество не имеет собственной формы и постоянного объёма. Газы принимают форму сосуда и полностью заполняют объём, ограниченный непроницаемыми для газа стенками.
Такие свойства газов связаны с тем, что среднее расстояние между молекулами газа намного больше размеров самих молекул. В этом случае силы притяжения между молекулами значительно меньше сил притяжения между молекулами вещества в жидком или твёрдом состояниях. А это означает, что молекулы газа могут двигаться во всех направлениях, почти не притягиваясь друг к другу, и заполнять весь предоставленный им объём.
Стремясь расшириться, газ оказывает давление на стенки сосуда или любого другого тела, с которым он соприкасается. Давление газа, находящегося в состоянии равновесия в сосуде обычных размеров, практически одинаково по всему объёму сосуда. Изменение температуры газа или его объёма приводит к изменению его давления.
2.2. Массы атомов и молекул
В экспериментальной физике разработаны различные методы для определения масс атомов и молекул. Наибольшая точность таких измерений достигнута с использованием специального прибора – масс-спектрометра. Например, для массы одного атома углерода $$ \left({m}_{\mathrm{C}}\right)$$ и одной молекулы воды $$ \left({m}_{{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}}\right)$$ измерения дают значения:
$$ {m}_{\mathrm{C}} = \mathrm{1,995} ·{10}^{-26 } \mathrm{кг}$$ , $$ {m}_{{\mathrm{H}}_{2}\mathrm{O}} = \mathrm{2,990} ·{10}^{-26} \mathrm{кг}$$.
За атомную единицу массы ($$ 1$$ а. е. м.) принимается $$ 1/12$$ массы атома изотопа углерода $$ {}_{6}{}^{12}\mathrm{C}$$. Относительной атомной (или молекулярной) массой вещества называют отношение массы атома (или молекулы) к $$ 1$$ а. е. м. Значения относительных атомных масс химических элементов можно найти в таблице периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Например, относительная атомная масса аргона $$ \left(\mathrm{Ar}\right)$$ равна $$ 40$$.
2.3. Количество вещества
Для характеристики количества вещества используют относительное число молекул. В международной системе единиц СИ количество вещества измеряют в молях. $$ 1$$ моль – это количество вещества, в котором содержится столько же молекул или атомов, сколько их содержится в углероде массой $$ \mathrm{0,012} \mathrm{кг}$$.
Моль любого вещества содержит одно и то же число атомов или молекул. Это число обозначается $$ {N}_{\mathrm{A}}$$ и называется постоянной Авогадро. Значение постоянной Авогадро, полученное с использованием современных экспериментальных методов, составляет:
$$ {N}_{\mathrm{A}}=\mathrm{6,022}·{10}^{23}$$ моль$$ {}^{-1}$$.
Количество вещества $$ \nu $$, т. е. число молей, равно отношению числа молекул $$ N$$ в данном теле к постоянной Авогадро $$ {N}_{\mathrm{A}}:\nu ={\displaystyle \frac{N}{{N}_{\mathrm{A}}}}$$.
2.4. Молярная масса
Важной характеристикой конкретного вещества является его молярная масса $$ М$$. Молярной массой называют массу данного вещества, взятого в количестве одного моля. Молярная масса равна произведению массы $$ {m}_{0}$$ одной молекулы данного вещества на постоянную Авогадро:
$$ M={m}_{0}{N}_{\mathrm{A}}$$.
Масса `m` тела, состоящего из $$ N$$ одинаковых молекул, равна $$ m={m}_{0}N$$ . Тогда, используя выражения для $$ m$$ и молярной массы $$ M$$ для количества вещества $$ \nu $$ в теле можно записать:
$$ \nu ={\displaystyle \dfrac{N}{{N}_{\mathrm{A}}}}=\dfrac{m}{M}$$.
Для определения молярных масс можно воспользоваться таблицей периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Например, для кремния $$ 28$$ а. е. м. соответствует молярной массе $$ {M}_{\mathrm{Si}}=\mathrm{0,028} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.
Молярная масса газа, молекулы которого состоят из разных атомов, может быть определена по его химической формуле путём сложения относительных атомных масс элементов, входящих в состав молекулы. Например, молярная масса $$ {M}_{\mathrm{аммиак}}$$ аммиака $$ \left({\mathrm{NH}}_{3}\right)$$ равна:
$$ {M}_{\mathrm{аммиак}}={M}_{\mathrm{N}}+3{M}_{\mathrm{H}}=$$
$$ \mathrm{0,014} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}+3·\mathrm{0,001} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}=\mathrm{0,017} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$.
Здесь $$ {M}_{\mathrm{N}} =\mathrm{0,014} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$ и $$ {M}_{\mathrm{H}}= \mathrm{0,001} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь} -$$ молярные массы углерода и водорода соответственно.
2.5. Размеры атомов и молекул
Оценим размер молекулы (атома). В веществе, находящемся в жидком или твёрдом состоянии, атомы или молекулы расположены «вплотную» друг к другу. Тогда характерный размер молекулы (или атома) можно оценить, определив объём, в котором находится одна молекула.
Пусть имеется сплошное тело массой $$ m$$ и плотностью $$ \rho $$, изготовленное из вещества с молярной массой $$ M$$. Число молекул $$ N$$ данного вещества в этом объёме равно:
$$ N={\displaystyle \frac{m{N}_{\mathrm{A}}}{M}}$$.
Объём тела $$ V$$ равен $$ m/\rho $$. Тогда занимаемый одной молекулой объём $$ {V}_{0}$$ можно определить следующим образом:
$$ {V}_{0}=\frac{V}{N}={\displaystyle \frac{mM}{\rho {N}_{\mathrm{A}}m}}={\displaystyle \frac{M}{\rho {N}_{\mathrm{A}}}}$$.
Линейный размер `r` молекулы оценим из приближённого соотношения $$ {V}_{0}\approx {r}^{3}$$ (для молекулы в форме «шарика» $$ {V}_{0}=4\pi {r}^{3}/3$$):
$$ r\approx \sqrt[3]{{V}_{0}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{M}{\rho {N}_{\mathrm{A}}}}}$$.
Оценим, например, размер атома кальция ($$ \rho =1550 {\mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}}^{3}, M=\mathrm{0,040} \mathrm{к}\mathrm{г}\mathrm{/}\mathrm{м}\mathrm{о}\mathrm{л}\mathrm{ь}$$). Подставляя данные в приведённую выше формулу, находим: $$ r\approx \mathrm{3,5}·{10}^{-10} \mathrm{м}$$ (справочное значение $$ \mathrm{3,84}·{10}^{-10} \mathrm{м}$$). Размеры того же порядка $$ ({10}^{-10} \mathrm{м})$$ имеют атомы и молекулы других веществ.
Пусть в сосуде объёма находится некоторое количество газа, состоящего из нейтральных молекул. Допустим также, что нам известен химический состав данного газа (например, азот или углекислый газ ).
Равновесное состояние любого тела в термодинамике определяется некоторым (небольшим) количеством физических величин, полностью характеризующих это состояние. Эти величины принято называть параметрами состояния, или просто параметрами. Например, для описания состояния газа в сосуде используют давление газа, занимаемый им объём и его температуру.
Состоянием термодинамического равновесия системы (в том числе и газа) называется состояние, характеризуемое тем, что в нём все макроскопические процессы прекращаются, а давление и температура принимают значения, постоянные по всему объёму системы.
Если давление газа в любой точке сосуда принимает одно и то же значение, то в сосуде не происходит движения отдельных частей газа, т. е. имеет место механическое равновесие. Это верно для сосудов обычных размеров, если пренебречь незначительным изменением давления с высотой, возникающим под действием силы тяжести.
Если температура газа во всём объёме одинакова, то не происходит теплопередачи от одной части газа к другой, т. е. наступает тепловое равновесие.
Как показывает опыт, в состоянии теплового равновесия три параметра состояния газа (давление, температура и объём) не являются независимыми друг от друга. Если некоторое количество газа заключено в сосуде определённого объёма при определённой температуре, то газ имеет и вполне определённое давление. При изменении температуры газа или его объёма давление газа также изменяется, принимая новое, вполне определённое значение. Эта связь между тремя параметрами (объёмом , давлением , и температурой ) не зависит от того, каким способом были достигнуты два параметра. Такую связь между параметрами газа в самом общем виде для постоянной массы газа называют уравнением состояния газа. Конкретный вид уравнения состояния получают на основании данных опытов, в которых устанавливаются закономерности поведения газа при изменении какого-либо параметра состояния.
4.1. Квазистатические процессы
Всякое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из её параметров состояния, называется термодинамическим процессом.
Пусть в сосуде с поршнем находится некоторая порция газа. Тогда примером термодинамического процесса может служить процесс, в котором при перемещении поршня происходит изменение объёма $$ V$$ газа в сосуде. При этом каждому значению объёма $$ V$$ в состоянии теплового равновесия будет соответствовать определённое значение давления газа $$ p$$. Следовательно, между объёмом газа и его давлением будет существовать некоторая зависимость $$ p\left(V\right)$$, которую можно представить графически, т. е. построить её график в координатах $$ p,V$$.
Каждое равновесное состояние газа изображается на таком графике соответствующей точкой, а сам график изображает изменение параметров газа, т. е. даёт графическое описание теплового процесса.
Но всякое изменение одного из параметров означает, что система вышла из состояния теплового равновесия и ей уже нельзя приписать в целом ни определённого давления, ни определённой температуры.
Например, при быстром опускании поршня (т. е. при сжатии газа) параметры состояния газа (например, давление, плотность и температура) вблизи поршня изменятся довольно существенно. В то же время вдали от поршня изменение состояния газа произойдёт несколько позже. Поэтому газ в целом имеет разные давления и температуры в различных точках, и такое состояние газа нельзя изобразить графически. Возникает естественный вопрос: каким же образом необходимо изменять параметры системы, чтобы можно было в процессе их изменения характеризовать газ тем же числом параметров и использовать уравнение состояния, справедливое, строго говоря, только для состояния теплового равновесия?
Как показывает опыт, любая система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, переходит по прошествии некоторого времени в состояние теплового равновесия. Процесс перехода к равновесному состоянию называется релаксацией, а время, необходимое для этого, временем релаксации. Это время и определяет скорость изменения параметров системы. Если время перехода из одного равновесного состояния в другое много больше времени релаксации, то все отклонения от равновесного состояния будут успевать исчезать и система будет проходить через ряд равновесных состояний, переходящих одно в другое. Такие процессы называются квазистатическими, потому что при этом в каждый данный момент состояние системы мало отличается от равновесного.
Таким образом, если в рассматриваемом нами примере процесс изменения объёма идёт достаточно медленно, то давление и температура газа во всем объёме успевают сравняться и принимают в каждый момент времени одинаковые по всему объёму значения. Это означает, что в таком процессе газ проходит через последовательность равновесных (почти равновесных) состояний. Так как в равновесном процессе давление $$ p$$, температура $$ T$$ и объём $$ V$$ в каждый момент времени имеют вполне определённые значения, то существуют зависимости между $$ p$$ и $$ T$$, $$ V$$ и $$ T$$, $$ p$$ и $$ V$$. Следовательно, квазистатические процессы можно изображать в виде графиков этих зависимостей, например, $$ p\left(V\right)$$ или $$ V\left(T\right)$$. Неравновесный процесс невозможно изобразить графически.
Ясно, что с помощью уравнения состояния можно изучать только квазистатические процессы. Времена релаксаций, определяющие степень медленности квазистатического процесса, для разных систем и различных тепловых процессов сильно отличаются друг от друга, и для их определения нужно проводить очень трудный и сложный дополнительный анализ. В дальнейшем рассматриваются только квазистатические процессы.
Процессы, протекающие при постоянной массе газа и неизменном значении одного из параметров состояния газа (давление, объём или температура), принято называть изопроцессами. Например, процесс, происходящий при постоянной температуре, называется изотермическим, при постоянном объёме – изохорическим (или изохорным), при постоянном давлении – изобарическим (или изобарным).
4.2. Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта
В XVII веке независимо друг от друга английский физик Бойль и французский физик Мариотт экспериментально установили закон изменения объёма газа при изменении давления: для данной массы любого газа при постоянной температуре его объём обратно пропорционален давлению.
Закон носит название закона Бойля – Мариотта и обычно записывается в виде:
$$ pV=\mathrm{const}$$,
где значение константы определяется температурой, при которой происходит данный процесс.
График этого процесса (изотерма) в координатах $$ p$$ и $$ V$$ изобразится кривой, определяемой уравнением:
$$ p={\displaystyle \frac{\mathrm{const}}{V}}$$.
Эта кривая, как известно из математики, называется гиперболой. На рисунке $$ 1$$ изображены изотермы одной и той массы газа для двух разных температур $$ {T}_{1}$$ и $$ {T}_{2}$$ $$ ({T}_{2}>{T}_{1})$$. Изотерма, соответствующая бóльшей температуре, проходит выше, так как при одинаковых объёмах бóльшей температуре соответствует и бóльшее давление.
 |
4.3. Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака
Поместим газ в сосуд с вертикальными стенками и подвижным поршнем, имеющим массу $$ {m}_{\mathrm{п}}g$$ и площадь сечения $$ S$$ который может перемещаться без трения (рис. $$ 2$$). Пусть на поршень сверху действует атмосферное давление $$ {p}_{0}$$. Рассмотрим равновесное состояние газа, характеризуемое давлением $$ p$$. Величину этого давления найдём из условия механического равновесия для поршня.
 |
На поршень действуют две силы, направленные вертикально вниз (сила тяжести $$ {m}_{\mathrm{п}}$$ и сила давления атмосферы $$ {p}_{0}S$$), и направленная вертикально вверх сила давления со стороны газа под поршнем, значение которой равно $$ pS$$. Условие равновесия поршня $$ -$$ равенство нулю равнодействующей этих сил. Отсюда для давления $$ p$$ газа находим:
$$ p={p}_{0}+{\displaystyle \frac{{m}_{\mathrm{п}}g}{S}}$$
Внешнее давление на газ также равно $$ p$$. Как показывает опыт, при квазистатическом (медленном) нагревании газа под поршнем при постоянном внешнем давлении, объём всех без исключения газов увеличивается, а при охлаждении уменьшается.
Исследуя на опыте тепловое расширение газов при постоянном давлении, французский учёный Гей-Люссак открыл, что объём $$ V$$ газа данной массы при изменении температуры $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ изменяется по линейному закону:
$$ V={V}_{0}(1+\alpha t)$$.
Здесь $$ {V}_{0} -$$ объём газа при температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C}$$, $$ \alpha -$$ коэффициент объёмного расширения при постоянном давлении. Оказалось, что для всех газов $$ \alpha $$ принимает одно и то же значение, равное $$ 1/273{}^{\circ }\mathrm{C}$$.
4.4. Изохорический процесс. Закон Шарля
Рассмотрим теперь процесс нагревания газа при постоянном объёме, или, как говорят, процесс изохорического нагревания газа. Поместим для этого газ в герметический сосуд, например, в металлический котёл с плотно завинчивающейся крышкой. Будем нагревать газ в котле, измеряя его температуру и давление. Как показывает опыт, давление газа внутри котла увеличивается с ростом температуры.
Зависимость давления газа от температуры при неизменном объёме была экспериментально установлена французским физиком Шарлем. Согласно закону Шарля, давление $$ p$$ газа данной массы при изменении температуры $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ изменяется по линейному закону:
$$ p={p}_{0}(1+\gamma t)$$.
Здесь $$ {p}_{0} -$$ давление газа при температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C}$$, $$ \gamma -$$ термический коэффициент давления. Оказалось, что для всех газов $$ \gamma $$ принимает одно и то же значение, равное $$ 1/273{}^{\circ }\mathrm{C}$$. Заметим, что коэффициент $$ \gamma $$ равен коэффициенту $$ \alpha $$ в законе Гей-Люссака.
4.5. Абсолютная шкала температур
Законы Гей-Люссака и Шарля выглядят гораздо проще, если вместо температурной шкалы Цельсия $$ t\left({}^{\circ }\mathrm{C}\right)$$ ввести шкалу, предложенную английским физиком Кельвином. Связь между температурой $$ T$$ по шкале Кельвина и температурой $$ t$$ по шкале Цельсия даётся формулой:
$$ T=t+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=t+\frac{1}\gamma =t+273$$.
Шкалу Кельвина называют абсолютной шкалой температур. На новой температурной шкале нулю градусов Цельсия соответствует температура $$ {T}_{0}=273$$ градуса (точнее, $$ \mathrm{273,15}$$). Единица измерения температуры называется кельвином и обозначается буквой $$ \mathrm{К}$$. Изменению температуры на $$ 1$$ градус Цельсия соответствует её изменению на $$ 1$$ кельвин. Комнатной температуре $$ t=20{}^{\circ }\mathrm{C}$$ по шкале Цельсия соответствует температура $$ T=293 \mathrm{К}$$ по шкале Кельвина.
Законы Гей-Люссака и Шарля при этом примут вид:
$$ V={V}_{0}\alpha ·\left({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+t\right)=\alpha {V}_{0}T$$ (закон Гей-Люссака),
$$ p={p}_{0}\gamma \left({\displaystyle \frac{1}{\gamma }}+t\right)=\gamma {p}_{0}T$$ (закон Шарля),
где $$ {V}_{0}$$ и $$ {p}_{0} -$$ объём и давление газа при температуре $$ {T}_{0}$$.
Как видно из уравнения для закона Гей-Люссака, график изобарического процесса (изобара) в координатах $$ V$$ и $$ T$$ представляет собой отрезок, лежащий на прямой линии, проходящей через начало координат. На рисунке 3 показаны две изобары при различных давлениях $$ {p}_{1}$$ и $$ {p}_{2} ({p}_{2}>{p}_{1})$$. Давление, при котором проходит процесс, можно изменять, используя поршни разной массы. Вторая изобара проходит ниже первой, так как при одной и той же температуре бóльшему давлению соответствует меньший объём.
 |
В координатах $$ p$$ и $$ T$$ графики изобарических процессов представляют собой прямые линии, параллельные оси $$ T$$ (рис. 4).
График изохорического процесса (изохора, закон Шарля) в координатах $$ p$$ и $$ T$$ представляет собой отрезок, лежащий на прямой линии, проходящей через начало координат. На рисунке 5 показаны две изохоры при различных объёмах $$ {V}_{1}$$ и $$ {V}_{2} ({V}_{2}>{V}_{1})$$. Вторая изохора проходит ниже первой, так как при одной и той же температуре бóльшему давлению соответствует меньший объём.
5.1. Уравнение состояния идеального газа
Равенство коэффициента теплового расширения газа при постоянном давлении термическому коэффициенту давления при постоянном объёме является свойством, присущим только идеальным газам. Оно позволяет найти уравнение состояния газов.
Пусть газ совершает тепловой процесс, в котором его сначала нагревают при постоянном объёме, а затем при постоянном давлении. График процесса изохорического нагревания в координатах $$ p,V$$ изобразится прямой `1-2^'`, параллельной оси ординат $$ p$$ (рис. 6).
 |
Процесс изобарического нагревания изобразится на этом графике прямой `2^'-2`, параллельной оси абсцисс $$ V$$.
Обозначим давление, объём и температуру газа в начале теплового процесса (точка $$ 1$$ на графике) как $$ {p}_{1},{V}_{1},{T}_{1}$$ соответственно; в конце процесса изохорического нагревания `p_2^'`, `V_2^'`, `T_2^'` (точка `2^'`) и в конце изобарического процесса $$ - {p}_{2},{V}_{2},{T}_{2}$$ (точка $$ 2$$).
Из закона Шарля следует, что отношение давления к абсолютной температуре есть величина постоянная: $$ p/T=\alpha {p}_{0}(\gamma =\alpha )$$. Поэтому давление и температура газа в точке `2^'` связаны с давлением и температурой газа в точке `1` соотношением `p_2^'//T_2^'=p_1//T_1`, из которого находим температуру `T_2^'` в конце изохорического нагревания:
`T_2^'=(p_2^')/p_1*T_1`.
Аналогично, используя закон Гей-Люссака, можно показать, что температура `T_2^'` и объём газа `V_2^'` в точке `2^'` в процессе изобарического нагревания связаны с температурой $$ {T}_{2}$$ и объёмом газа $$ {V}_{2}$$ в точке $$ 2$$ соотношением `V_2^'//T_2^'=V_2//T_2`. Подставляя в это уравнение температуру `T_2^'` и учитывая равенства `V_2^'=V_1`, `p_2^'=p_2`, получаем:
$$ {\displaystyle \frac{{V}_{1}{p}_{1}}{{p}_{2}{T}_{1}}}={\displaystyle \frac{{V}_{2}}{{T}_{2}}}$$.
Откуда следует:
$$ {\displaystyle \frac{{p}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}}={\displaystyle \frac{{p}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}}$$. (1)
Начальное и конечное состояния газа (точки $$ 1$$ и $$ 2$$) были выбраны совершенно произвольно. Можно было бы взять в качестве начального и конечного состояний другие точки. Процесс перевода газа из состояния $$ 1$$ в состояние $$ 2$$ также можно было бы совершить по-иному, нагревая, например, газ сначала изобарически, а затем изохорически. Однако в любом случае можно показать, что параметры начального (точка $$ 1$$) и конечного (точка $$ 2$$) состояний газа всегда связаны между собой соотношением (1), или, по-другому, что в состоянии теплового равновесия для данной массы газа справедливо соотношение:
$$ {\displaystyle \frac{pV}{T}}=\mathrm{const}$$. (2)
Неизвестную постоянную удалось вычислить после того, как итальянским физиком Авогадро был экспериментально установлен закон, согласно которому один моль любого газа при нормальных условиях, т. е. при нормальном атмосферном давлении $$ 1$$ атм $$ (101325 \mathrm{Па})$$ и температуре $$ 0{}^{\circ }\mathrm{C} (\mathrm{273,15} \mathrm{K})$$ занимает объём $$ \mathrm{22,4} \mathrm{л}$$. Подставляя эти данные в найденное соотношение (2), для моля газа получим значение постоянной $$ R$$:
$$ {\displaystyle \frac{pV}{T}}=R=8,31{\displaystyle \frac{\mathrm{Дж}}{\mathrm{моль}·\mathrm{K}}}$$.
Величину $$ R$$ называют универсальной газовой постоянной.
С учётом этого соотношения уравнение состояния для одного моля газа можно записать в виде:
$$ pV=RT$$. (3)
Используя уравнение (3), нетрудно получить уравнение состояния для произвольного количества газа. Так как в состоянии теплового равновесия масса газа распределена равномерно по объёму сосуда, то $$ \nu $$ молей газа при тех же условиях занимают в $$ \nu $$ раз больший объём, чем объём одного моля. Таким образом, уравнение состояния для $$ \nu $$ молей газа может быть записано в виде:
$$ pV=\nu RT={\displaystyle \frac{m}{M}}RT$$. (4)
Здесь $$ m$$ и $$ M -$$ масса и молярная масса газа. Уравнение называют уравнением состояния идеального газа.
Уравнение состояния в форме (2) было впервые записано Клапейроном, а в форме (4) – Менделеевым. Поэтому часто уравнение газового состояния называют уравнением (или законом) Менделеева – Клапейрона.
Следует отметить, что в реальных условиях ни один из газов не подчиняется строго уравнению Менделеева – Клапейрона. Правда, отклонения от закона Менделеева – Клапейрона фактически исчезают для достаточно разреженных газов. Однако при низких температурах и больших плотностях начинаются заметные отклонения от этого закона. Этот факт учитывается при графическом описании тепловых процессов с участием идеального газа. На рисунках 3-5 графики процессов изображаются сплошными линиями, которые нельзя продолжать в область низких температур. Пунктирная линия используется только в качестве вспомогательной.
Отклонения от закона Менделеева – Клапейрона наблюдаются и при достаточно высоких температурах (порядка тысячи или нескольких тысяч градусов) для газов из многоатомных молекул. При этих температурах начинается распад молекул на атомы (диссоциация). При ещё более высоких температурах начинается распад атомов на электроны и ионы, и любой газ перестаёт подчиняться уравнению Менделеева–Клапейрона, даже при сколь угодно малых плотностях.
В термодинамике идеальным называют газ, строго подчиняющийся уравнению Менделеева – Клапейрона (о том, что такое идеальный газ с точки зрения молекулярно-кинетической теории, см. в разделе 9 настоящего задания).
Из уравнения Менделеева – Клапейрона нетрудно получить зависимость между давлением $$ p$$, плотностью $$ \rho $$ и температурой $$ T$$ идеального газа:
`rho=m/V`, `rho=(pM)/(RT)`, `p=rho/MRT`. (5)
