ЗФТШ
- Обучение
- Поступление в ЗФТШ
- О ЗФТШ
- Учителям
- Лекторий
-
Курсы
- Заочное отделение
- Очное отделение
- Факультативы
Если вольтметр рассчитан на максимальное напряжение `U_max`, а с его помощью необходимо измерять напряжение, в `n` раз большее, то, подключив последовательно с вольтметром добавочное сопротивление `R_2` (рис. 10), разделим напряжение `n*U_max` на два слагаемых: одно из них – это напряжение $$ {U}_{\mathrm{max}}$$ на вольтметре, второе – напряжение $$ \left(n-1\right){U}_{\mathrm{max}}$$ на добавочном сопротивлении.
Поскольку добавочное сопротивление включено последовательно с вольтметром, то через вольтметр и добавочное сопротивление течёт одинаковый ток, т. е. справедливо равенство
`(U_max)/(R_"в")=((n-1)U_max)/(R_"д")`.
Отсюда
`R_"д"=(n-1)R_"в"`. (16)
Шкала гальванометра имеет `N=100` делений, цена деления $$ \delta =1\mathrm{мкА}.$$. Внутреннее сопротивление гальванометра $$ {R}_{G}=\mathrm{1,0} \mathrm{кОм}.$$. Как из этого прибора сделать вольтметр для измерения напряжений до $$ U=100 \mathrm{В}$$ или амперметр для измерения токов силой до $$ I=1\mathrm{A}$$?
Максимально допустимый ток `I_max` через гальванометр равен цене деления, умноженной на число делений: `I_max=delta*N=1*100=100` мкА. При максимальном токе напряжение на приборе максимально и по закону Ома (8) равно
`U_max=I_max*R_G=10^(-4)*10^3=0,1` В.
Для использования этого гальванометра в качестве амперметра для измерения токов силой до `I=1` А необходимо параллельно с ним включить шунт, сопротивление которого найдём по формуле (15):
$$ {R}_{\mathrm{ш}}={\displaystyle \frac{{R}_{\mathrm{G}}}{n-1}}={\displaystyle \frac{{R}_{\mathrm{G}}}{{\displaystyle \frac{I}{{I}_{\mathrm{max}}}}-1}}={\displaystyle \frac{{10}^{3}}{{\displaystyle \frac{1}{{10}^{-4}}}-1}}\approx \mathrm{0,1} \mathrm{Ом}.$$
В этом случае максимальному отклонению стрелки на шкале гальванометра соответствует ток в цепи силой `I=1` А.
Для использования этого гальванометра в качестве вольтметра для измерения напряжений до `U=100` В необходимо последовательно с ним включить добавочное сопротивление, величину которого найдём из (16):
`R_"д"=(U/U_max -1)R_G=((100)/(0,1)-1)*10^3=999` кОм.
В этом случае максимальному отклонению стрелки на шкале гальванометра соответствует напряжение между точками подключения `U=100` В.
Для измерения сопротивления `R` проводника собрана электрическая цепь, показанная на рис. 11. Вольтметр `V` показывает напряжение `U_V=5` В. Показание амперметра `A` равно `I_A=25` мА. Найдите величину `R` сопротивления проводника. Внутренне сопротивление вольтметра `R_V=1,0` кОм. Внутреннее сопротивление амперметра `R_A=2,0` Ом.
Ток `I_A`, протекающий через амперметр, равен сумме токов `I_V` и `I_R`, протекающих через вольтметр и амперметр соответственно. Напряжения на резисторе `U_R=I_R*R` и вольтметре `U_V=I_V*R_V` одинаковы и равны показанию `U_V` вольтметра. Таким образом, приходим к системе уравнений
$$ \left\{\begin{array}{l}{I}_{A}={I}_{V}+{I}_{R},\\ {U}_{V}={I}_{V}·{R}_{V}={I}_{R}·R,\end{array}\right.$$
решение которой
$$ R={\displaystyle \frac{{U}_{V}}{{I}_{A}-{\displaystyle \frac{{U}_{V}}{{R}_{V}}}}}={\displaystyle \frac{5}{25·{10}^{-3}-{\displaystyle \frac{5}{{10}^{3}}}}}=250 \mathrm{Ом}.$$
определяет величину `R` сопротивления проводника по результатам измерений. Заметим, что для приведённой схемы величина внутреннего сопротивления амперметра оказалась несущественной: `R_A` не входит в ответ.
Жидкости и газы отличаются от твёрдых тел прежде всего тем, что обладают таким свойством, как текучесть. Текучесть проявляется в способности жидкости и газа принимать форму сосуда. Из-за чего появляется и чем объясняется текучесть, по наличию которой и устанавливают, что данное тело не является твёрдым?
Многочисленные опытные факты подтверждают наличие в природе веществ (тел), у которых отсутствуют силы, препятствующие сдвигу с бесконечно малыми скоростями одних слоёв этих веществ относительно других, т. е. отсутствуют силы трения покоя, действующие вдоль поверхности соприкасающихся слоёв. Если при этом такое вещество принимает форму сосуда и его объём практически не зависит от формы и вида сосуда, то мы имеем дело с жидкостью. Если же это вещество занимает весь предоставленный ему в любом сосуде объём, то это - газ.
У твёрдого тела сдвинуть один слой (часть) тела относительно другого без приложения значительных усилий невозможно. У жидкости и газа одни слои (части) могут скользить по другим слоям под действием ничтожно малых сил. Этим и объясняется текучесть.
Если подуть вдоль поверхности воды, то верхние слои воды придут в движение относительно нижних, причём силы трения между слоями будут тем меньше, чем меньше относительная скорость движения слоёв. Другой пример текучести. Даже очень осторожное, медленное и малое наклонение сосуда с жидкостью приводит к перемещению верхних слоёв жидкости относительно нижних и в результате поверхность жидкости становится снова горизонтальной.
Сила трения покоя между стенкой сосуда и соприкасающейся с ней неподвижной жидкостью тоже равна нулю.
Мы здесь не будем рассматривать проявление так называемых сил поверхностного натяжения, возникающих из-за того, что поверхностный слой жидкости ведёт себя подобно тонкой упругой оболочке. Силами поверхностного натяжения объясняется существование капель жидкости, возможность каплям удерживаться на наклонной поверхности твёрдого тела, капиллярность и другое.
Из всего сказанного выше следует, что в неподвижной жидкости (или газе) слои (части) жидкости действуют друг на друга и на стенки сосуда с силами, направленными перпендикулярно к поверхности их соприкосновения. На рисунке показан сосуд с жидкостью.
Выделим мысленно из всей жидкости её части в объёмах `1` и `2`. Жидкость в объёме `1` давит на жидкость в объёме `2` с силой `F_1` направленной перпендикулярно к поверхности `AB` их соприкосновения. С такой же по модулю силой `F_2` давит и жидкость `2` на `1`. Это следует из так называемого третьего закона Ньютона, согласно которому тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Жидкость в сосуде давит на часть `MN` стенки сосуда с силой `F_3`, направленной перпендикулярно стенке. Часть `MN` стенки давит на жидкость с такой же силой `F_4`.
Величиной, характеризующей взаимодействие частей жидкости или газа друг с другом и со стенками сосуда, служит давление.
Давлением называется величина, равная отношению модуля силы `F` давления, действующей по нормали (перпендикулярно) к плоской поверхности, к площади `S` этой поверхности: `P=F/S`.
В системе СИ давление измеряется в $$ \mathrm{Н}/{\mathrm{м}}^{2}$$. Эта единица давления носит название паскаль (Па):
Уточним, что следует понимать под давлением в жидкости или газе.
Поместим в жидкость или газ небольшую плоскую пластину. Одну из сторон этой пластины назовём площадкой. Жидкость (газ) давит на площадку с некоторой силой `F`. Если площадь площадки `S`, то давление жидкости на площадку `P = F/S`. Из условия равновесия вырезанной мысленно из жидкости (газа) призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника, находящейся в месте расположения площадки, можно вывести, что давление на площадку в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки. Вывод приводить не будем. Теперь можно дать определение давления в жидкости или газе.
Давлением в некоторой точке жидкости называется давление жидкости на небольшую площадку, произвольно ориентированную и помещённую вблизи этой точки. Аналогично и для газа.
Рассмотрим связь между давлениями в различных точках жидкости. Будем рассматривать покоящуюся жидкость в неподвижном сосуде. Дополнительное давление в жидкости, возникающее из-за силы тяжести, учитывать не будем.
Пусть жидкость заключена в замкнутый сосуд произвольной формы (см. рисунок).
Будем давить на поршень. Покажем, что давление `P_A` в точке `A` равно давлению `P_B` в точке `B`. Для этого выделим мысленно внутри жидкости тонкий цилиндр, ось которого проходит через точки `A` и `B`, а основания площадью `S` каждое перпендикулярны оси. На части боковой поверхности цилиндра из жидкости со стороны окружающей жидкости действуют силы давления, перпендикулярные оси цилиндра. На основания цилиндра жидкость действует с силами `F_A = P_A S` и `F_B = P_B S`, направленными вдоль оси `AB`. Поскольку цилиндр находится в покое, то `F_A = F_B`, т. е. `P_A S = P_B S`. Отсюда `P_A = P_B`. Значит, давление в точках `A` и `B` одно и то же. Аналогично доказывается равенство давлений в точках `B` и `C` и в точках `C` и `K`. Таким образом, приходим к выводу, что давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Поршень давит на жидкость на её границе в одном месте, но это давление ощущается во всей жидкости. Мы получили
давление, оказываемое на жидкость в каком-либо одном месте на её границе, передаётся без изменения во все точки жидкости.
Этот закон был установлен экспериментально французским физиком и математиком Блэзом Паскалем (1623 - 1662) и носит его имя.
Всё сказанное в этом параграфе справедливо и для газов. Справедлив для газов и закон Паскаля.
Отметим, что закон Паскаля выведен и сформулирован здесь при условии отсутствия силы тяжести. Наличие силы тяжести не изменяет сути закона и вносит дополнительную связь между давлениями в различных точках жидкости или газа.
Закон Паскаля лежит в основе устройства гидравлических машин. Принцип устройства и действия такой машины следующий. Два цилиндрических сосуда разного диаметра с поршнями соединены трубкой и заполнены жидкостью (см. рис.).
Пусть на малый поршень площадью `S_1` действует сила `F_1`. Тогда в жидкости создаётся давление `P = F_1 //S_1`. На большой поршень площадью `S_2` со стороны жидкости действует сила `F_2 = PS_2 = F_1 S_2 //S_1`. С этой же силой большой поршень может действовать на какое-нибудь тело, препятствующее его перемещению. Во сколько раз `S_2` больше `S_1`, во столько раз и развиваемая поршнем сила `F_2` больше приложенной силы `F_1`. Это используется в гидравлическом прессе, гидравлическом тормозе, гидравлическом домкрате.
Площадь большого поршня гидравлического домкрата , а малого . Груз какой максимальной массы можно поднять этим домкратом, если на малый поршень давить с силой не более `200Н`? Силой трения поршней о стенки цилиндров пренебречь.
Пусть , , . Так как давление во всех точках жидкости одинаково, то
`F_1 /S_1 =F_2 /S_2`.
Здесь `F_2` - сила давления жидкости на большой поршень. Отсюда
.
Поднять можно тело с максимальным весом `F_2 = 8000 Н`, что соответствует массе `m = F_2 //g`, где . Итак, .
На Земле на все тела действует сила тяжести. Под действием силы тяжести верхние слои жидкости действуют на нижние. Следовательно, в жидкости существует дополнительное давление, обусловленное силой тяжести, называемое гидростатическим давлением.
Можно показать, что в жидкости, на глубине `H`, считая от поверхности жидкости в сосуде, гидростатическое давление вычисляется по формуле `P_sf"г" = rho gH`.
Здесь `rho` - плотность жидкости. В системе единиц СИ `g = 9,8 sf"м/с"^2`, а давление `P_sf"г"`, плотность `rho` и высота `H` измеряются в Па, `sf"кг/м"^3` и `sf"м"` соответственно.
Полное давление `P` в жидкости, налитой в сосуд, складывается из давления у поверхности жидкости и гидростатического давления. Давление у поверхности жидкости часто равно атмосферному давлению `P_"атм"`, о котором будет сказано в дальнейшем. В этом случае `P = P_sf"г" + P_sf"атм"`.
Для ответа на некоторые вопросы полезно знать, что на одном горизонтальном уровне давление в жидкости постоянно, а разность давлений `Delta P` на двух уровнях жидкости `AB` и `MN`, отстоящих друг от друга по высоте на расстояние `H` (см. рисунок), вычисляется по формуле `Delta P = rho g H`, которая аналогична формуле для гидростатического давления.
Греческая буква `Delta` (дельта), стоящая перед любой величиной, обычно используется для обозначения изменения этой величины.
Сообщающимися называются сосуды, которые имеют связывающие их каналы, заполненные жидкостью (см. рис.).
Можно показать, что справедлив закон сообщающихся сосудов.
в сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, давление во всех точках жидкости, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково, независимо от формы сосудов, а поверхности жидкости в сообщающихся сосудах (открытых вверху) устанавливаются на одном уровне (см. рис.).
Земля окружена воздушной оболочкой, состоящей из смеси газов. Эта оболочка называется атмосферой. Каждый горизонтальный слой атмосферы сжат весом более верхних слоёв. Поэтому давление в нижних слоях атмосферы больше, чем в верхних. При этом и плотность воздуха в нижних слоях значительно больше, чем в верхних. Это связано с тем, что газы под воздействием давления могут сильно уменьшить свой объём. Жидкости же обладают очень малой сжимаемостью и практически не изменяют своей плотности даже при больших давлениях. Атмосферное давление на уровне моря равно примерно , т. е. . Это желательно помнить. С увеличением высоты над уровнем моря атмосферное давление уменьшается. На высоте примерно в оно уменьшается вдвое.
Значение атмосферного давления впервые определил экспериментально в 1634 г. итальянский учёный Торричелли, создав простейший ртутный барометр. Опыт Торричелли состоит в следующем. Стеклянная трубка длиной около метра, запаянная с одного конца, заполняется полностью ртутью. Затем, закрыв отверстие трубки, её переворачивают и погружают открытым концом в чашу со ртутью (см. рис.).
Часть ртути из трубки выливается, и в ней остаётся столб ртути высотой `H`. Давление в трубке над ртутью равно нулю (если пренебречь ничтожным давлением паров ртути), так как там - пустота (вакуум): `P_C = 0`. Давление `P_B` в точке `B` равно давлению `P_A` в точке `A`, поскольку в сообщающихся сосудах - чаше и трубке - точки `A` и `B` находятся на одном уровне. Давление `P_A` равно атмосферному давлению $$ {P}_{\mathrm{атм}}$$. Поэтому $$ {P}_{B}={P}_{\mathrm{атм}}$$. Разность давлений `P_B - P_C = rho gH`, где `rho` - плотность ртути. Так как $$ {P}_{B}={P}_{\mathrm{атм}}$$ и `P_C = 0`, то $$ {P}_{\mathrm{атм}} =\rho gH$$. Измерив `H` и зная `rho`, можно определить атмосферное давление в условиях опыта. Торричелли нашёл, что для уровня моря .
В опыте Торричелли каждому значению `H` соответствует определённое значение $$ {P}_{\mathrm{атм}}$$. Следовательно, атмосферное давление можно измерять в миллиметрах ртутного столба. Эта единица давления получила специальное название «Торр»: `1`Торр `= 1` мм. рт.ст. При этом высота столба ртути берётся той, которую он имел бы при `0^@"C"`. Атмосферное давление в `760` Торр называется нормальным атмосферным давлением. Значение этого давления называется нормальной (физической) атмосферой и обозначается . Зная плотность ртути , находим по формуле $$ {P}_{\mathrm{атм}}=\rho gH$$:
.
Умножим равенство $$ {P}_{\mathrm{атм}}=\rho gH$$ на площадь `S` внутреннего сечения трубки: $$ {P}_{\mathrm{атм}}S=\rho gHS$$. Заметим, что последнее равенство можно получить и непосредственно, записав условие равновесия столба `BC` ртути (рис. 6). Произведение $$ {P}_{\mathrm{атм}}S$$ равно силе давления `F` на столб ртути `BC` снизу, вызванное наличием атмосферного давления, а `rho gHS` есть вес столба `BC` ртути в трубке. Поэтому говорят, что в опыте Торричелли давление, создаваемое весом столба ртути, уравновешивается атмосферным давлением.
Замена ртути водой в опыте Торричелли требует высоты трубки более `10` м. Действительно, при нормальном атмосферном давлении для значения плотности воды из формулы $$ {P}_{\mathrm{атм}}=\rho gH$$ следует, что . Это означает, что нормальное атмосферное давление уравновешивается столбом воды высотой `10,3` м.
Несколько замечаний для решения задач. Полезно помнить, что плотность воды равна и гидростатическое давление в создаётся в воде на глубине приблизительно . Проверьте это, используя формулу для гидростатического давления.
Поскольку плотность воздуха намного меньше плотности воды, изменением атмосферного давления, связанным с перепадом высоты в несколько метров, можно в ряде случаев пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением воды, вызванным таким же перепадом высоты.
В сосуд налита вода (см. рис.).
Расстояние от поверхности воды до дна . Площадь дна . Найти гидростатическое давление `P_1` и полное давление `P_2` вблизи дна. Найти силу давления воды на дно.
Плотность воды . Гидростатическое давление
$$ {P}_{1}=\rho gH={10}^{3} \mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^{3}·\mathrm{9,8} \mathrm{м}/{\mathrm{с}}^{2}·\mathrm{0,5} \mathrm{м}\approx 5·{10}^{3} \mathrm{Па}=5000 \mathrm{Па}$$.
Полное давление складывается из атмосферного $$ {P}_{\mathrm{атм}}={10}^{5}\mathrm{Па}$$ и гидростатического:
$$ {P}_{2}={P}_{\mathrm{атм}}+{P}_{1}=100000 \mathrm{Па}+5000 \mathrm{Па}=105000 \mathrm{Па}$$.
Интересно, что полное давление мало отличается от атмосферного, так как толщина слоя воды достаточно мала. Сила давления воды на дно $$ F={P}_{2}·S=105000 \mathrm{Па}·\mathrm{0,1} {\mathrm{м}}^{2}=10500 H$$.
На лёгкий поршень площадью `S`, касающийся поверхности воды, поставили гирю массой `m` (см. рис.).
Высота слоя воды в сосуде с вертикальными стенками `H`. Определить давление в жидкости вблизи дна. Плотность воды `rho`.
На поршень снизу со стороны воды действует направленная вверх сила `F_1 = P_1 S`, где `P_1` давление вблизи поршня. Сверху на поршень действует гиря и атмосферный воздух с силой `F_2 = mg + P_"атм" S`, где , $$ {P}_{\mathrm{атм}}={10}^{5} \mathrm{Па}$$ - атмосферное давление. Поршень находится в равновесии. Поэтому `F_1 = F_2`. Итак, `P_1 S = mg + P_"атм" S`. Отсюда `P_1 = P_"атм" + (mg)/S`.
Этот результат можно писать и сразу, говоря, что давление под поршнем равно атмосферному `P_"атм"` и добавочному давлению `mg//S`, создаваемому гирей.
Разность давлений в воде у дна и вблизи поршня: `P_2 - P_1 = rho gH`.
Отсюда `P_2 = P_1 + rho gH`.
Окончательно, давление у дна `P_2 = P_"атм" + (mg)/S + rho gH`.
На поверхности твёрдого тела, погружённого в жидкость (газ), действуют силы давления. Эти силы увеличиваются с глубиной погружения (см. рис.), и на нижнюю часть тела будет действовать со стороны жидкости большая сила, чем на верхнюю.
Равнодействующая всех сил давления, действующих на поверхность тела со стороны жидкости, называется выталкивающей силой. Другое название этой силы - сила Архимеда. Истинная причина появления выталкивающей силы - это наличие различного гидростатического давления в разных точках жидкости.
выталкивающая сила, действующая на тело, погружённое в жидкость, равна по модулю весу вытесненной жидкости и противоположно ему направлена.
Закон открыт величайшим механиком и математиком Древней Греции Архимедом (287 - 212 г.г. до н. э.).
Приведённая формулировка закона Архимеда справедлива, если вся поверхность тела соприкасается с жидкостью или если тело плавает в жидкости, или если тело частично погружено в жидкость через свободную (не соприкасающуюся со стенками) поверхность жидкости.
Если же часть поверхности тела плотно прилегает к стенке или дну сосуда так, что между ними нет прослойки жидкости, то закон Архимеда неприменим!
Иллюстрацией к сказанному служит опыт, когда ровную нижнюю поверхность деревянного кубика натирают парафином и плотно приставляют ко дну сосуда (см. рис.).
Затем осторожно наливают воду. Кубик не всплывает, т. к. со стороны воды на него действует сила, прижимающая его ко дну, а не выталкивающая вверх. Известно, что это представляет опасность для подводной лодки, лёгшей на грунт.
Закон Архимеда применим и в случае погружения тела в газ.
Строго говоря, в законе Архимеда вес вытесненной жидкости надо брать в вакууме, а не в воздухе, так как вес жидкости в воздухе меньше веса этой жидкости в вакууме на величину веса воздуха, вытесненного этой жидкостью. Но это различие обычно мало, и им пренебрегают.
Если тело погружено в жидкость частично, то результирующая выталкивающая сила со стороны жидкости и воздуха равна сумме веса вытесненной жидкости и вытесненного этим телом воздуха. Здесь оба веса берутся в вакууме.
Железный предмет, полностью погружённый в воду, весит меньше, чем в воздухе на . Определить вес предмета в воздухе. Плотность железа .
Выталкивающей силой в воздухе можно пренебречь. Пусть вес тела в воздухе `Q`. Тогда его вес в воде `Q - rho_в Vg`. Здесь `V` - объём тела, - плотность воды, . Разность этих весов равна `F`. Поэтому `Q - (Q - rho_в Vg) = F`.
Отсюда `V = F/(rho_в g)`. Вес тела в воздухе
.
Лодка из железа, спущенная на воду, плывёт, а эта же лодка, полностью погружённая в воду (затопленная), тонет. Из этого примера видно, что одно и тоже тело может плавать, а может и тонуть. Всё зависит от того, как тело приведено в контакт с жидкостью. Поэтому имеет смысл рассмотреть два случая взаимодействия тела с жидкостью.
Тело плавает в жидкости, т. е. находится в покое, частично погрузившись в жидкость. Это может быть любое тело, например, кусок дерева или катер. Важен сам факт плавания. При этом тело соприкасается только с жидкостью и воздухом, плавая предоставленным самому себе, свободно. На начальном этапе рассмотрения вопроса о плавании не будем учитывать вес вытесненного воздуха. На тело действует направленная вниз сила тяжести `F_sf"Т"` и направленная вверх сила Архимеда `F_sf"А"`. Поскольку сила тяжести `F_sf"Т"` равна весу тела (в вакууме), а сила Архимеда `F_sf"А"` – весу (в вакууме) вытесненной жидкости, то можно сказать, что вес тела равен весу вытесненной жидкости. При более строгом рассмотрении вопроса с учётом веса вытесненного воздуха можно показать, что вес тела в воздухе равен весу (тоже в воздухе) вытесненной жидкости.
Итак, если тело плавает в жидкости, то вес тела в воздухе равен весу в воздухе вытесненной им жидкости.
При решении задач, когда ситуация реальна, различием в весе в воздухе и вакууме обычно пренебрегают, приравнивая вес любого тела силе тяжести, действующей на тело.
Кусок льда объёмом плавает в воде. Найти объём `V_1` надводной части льда. Плотность воды , плотность льда .
Вес льдины `rho_2 Vg`, вес вытесненной воды `rho_1 (V - V_1)g`. По закону Архимеда `rho_2 Vg = rho_1 (V - V_1)g`. Отсюда
.
Тело полностью погружено в жидкость и отпущено. Возьмём в руки какое-нибудь тело (кусочек дерева, стальной болт), погрузим его полностью в жидкость (например, воду) и будем удерживать неподвижно. На тело со стороны Земли действует вниз сила тяжести , а со стороны жидкости - вверх выталкивающая сила по закону Архимеда . Здесь `V` - объём тела, и - плотность тела и жидкости. Отпустим тело. Если окажется, что $$F_\mathrm Т\;>\;F_\mathrm А$$, то тело начнёт двигаться вниз, т. е. тонуть. Если будет $$F_\mathrm Т\ <\ F_\mathrm А$$, то тело станет двигаться вверх, т. е. всплывать. После всплытия, когда тело будет плавать, объём погружённой в жидкость части тела окажется таким, что будет обеспечено равенство силы Архимеда (уже меньшей, чем величина $$ {F}_{\mathrm{А}}$$) и силы тяжести $$ {F}_{\mathrm{Т}}$$. Итак, тело будет плавать, если $$\rho_\mathrm ТVg\;<\;\rho_\mathrm ЖVg$$, т. е. $$\rho_\mathrm Т\;<\;\rho_\mathrm Ж$$.
Мы получили условие плавания тела: тело, предварительно полностью погружённое в жидкость, плавает в жидкости, если плотность тела меньше плотности жидкости.
Если плотности тела и жидкости равны, то полностью погружённое в жидкость тело может находиться в равновесии (покое) в любом месте жидкости, т. е. тело плавает внутри жидкости. Реально такая ситуация трудно осуществима, так как добиться строгого равенства плотностей нелегко.
Условие плавания сформулировано для тела, предварительно полностью погружённого в жидкость. Предварительное полное погружение важно, так как, например, металлическая миска, не полностью погружённая в воду, может плавать, а полностью погружённая утонет.
Условие плавания сформулировано для однородного тела, т. е. тела, плотность которого одинакова во всех точках тела. Это условие плавания справедливо и для неоднородного тела, например, куска льда с полостью внутри или стеклянной бутылки, заполненной частично водой и закрытой пробкой. В таком случае под плотностью тела надо понимать его среднюю плотность, т. е. отношение массы тела к его объёму.
На тело, удерживаемое неподвижно в воздухе, действует выталкивающая сила, равная по закону Архимеда весу вытесненного этим телом воздуха. Если вес тела (в вакууме) больше веса вытесненного телом воздуха, то отпущенное тело падает вниз. Если вес тела меньше веса вытесненного воздуха, то отпущенное тело поднимается вверх. Это и есть условие воздухоплавания.
Для осуществления воздухоплавания надо использовать газ, который легче воздуха. Это может быть нагретый воздух. Если суммарный вес оболочки воздушного шара, наполняющего его газа и полезного груза меньше веса вытесненного шаром воздуха, то шар будет подниматься.
Какой груз может поднять воздушный шар объёмом , наполненный гелием? Плотность гелия , плотность воздуха . Масса оболочки шара .
Объёмом груза по сравнению с объёмом шара пренебрегаем. Вес вытесненного воздуха , вес гелия . Максимальная масса груза найдётся из условия: . Отсюда
.
Часть механики, изучающая условия, при которых тело находится в покое под действием нескольких сил, называется статикой.
В гидростатике рассматриваются силы, возникающие в системе, состоящей из покоящейся жидкости и помещённых в эту жидкость неподвижных тел.
Силы, появляющиеся в системе из неподвижного газа и помещённых в него покоящихся тел, изучает наука аэростатика.
В гидростатике и аэростатике используются многие понятия и законы механики и её составной части – статики. Поэтому перед чтением этого задания полезно повторить материал, касающийся понятий массы, плотности, силы, силы тяжести, веса тела, равнодействующей нескольких сил. Напомним кое-что из этого.
Масса тела `m`, его объём `V` и плотность `rho` тела связаны формулой `m=Vrho`. Сила тяжести, действующая на тело массой `m`, приложена к телу и находится по формуле `F=mg`, где `g~~9,8 "Н"//"кг"=9,8 "м"//"с"^2` – ускорение свободного падения. Вес тела массой `m` во многих случаях выражается тоже аналогичной формулой `Q=mg`, но вес `Q` приложен к подставке, на которой находится тело.
Сила, которая оказывает на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил, называется равнодействующей этих сил. Если тело находится в покое, то равнодействующая сила равна нулю. В частности, если на тело действуют две силы и тело находится при этом в покое, то эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.
Несколько слов о контрольных вопросах и задачах, предлагаемых в конце задания. Часть вопросов и задач простые, часть сложные. Не смущайтесь, если некоторые из них Вам не удастся решить. У Вас будет возможность вернуться к этому заданию, когда Вы получите назад свою проверенную работу и официальное решение этого задания.
Желаем удачи!
В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.
1. Векторный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` задаётся с помощью так называемого радиус-вектора `vecr`, который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени `vecr=vecr(t)`.
Геометрическое место концов радиус-вектора `vecr(t)` называют траекторией точки `A`.
В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.
Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения `1` с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение `2` с радиус-вектором `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно: `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.
Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.
Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_"cp"` тела за время `Delta t`:
`vecv_"cp"=(Deltavecr)/(Delta t)` (1)
Вектор `vecv_"cp"` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1//Delta t`.
Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`. Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r//Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.
Величина, к которой стремится отношение `Deltavec r//Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`:
`vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.
Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.
В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).
Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.
Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:
`vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0` (2)
При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!
Таким образом, зная зависимость `vec r(t)`, можно найти скорость `vec v` и ускорение $$ \overrightarrow{a}$$ тела в каждый момент времени. В этой связи возникает и обратная задача о нахождении скорости `vec v (t)` и радиус-вектора `vec t (t)` по известной зависимости от времени ускорения `vec a`. Для однозначного решения этой задачи необходимо знать начальные условия, т. е. скорость `vec v_0` и радиус-вектор `vec r_0` тела в начальный момент времени $$ t=0$$.
Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`"м"//"с"`) и метр на секунду в квадрате ( `"м"//"с"^2`).
2. Координатный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора $$ \overrightarrow{r}$$тела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: $$ x=x\left(t\right)$$ и $$ y=y\left(t\right)$$. Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости $$ \overrightarrow{v}$$ можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости $$ {v}_{x}$$ и $$ {x}_{y}$$ изменения координат тела (рис. 4). В самом деле $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.
Аналогично с помощью проецирования вектора $$ \overrightarrow{a}$$ определяются ускорения $$ {a}_{x}$$ и $$ {a}_{y}$$ тела по направлениям координатных осей.
Таким образом, зная зависимости $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$ ,можно найти не только положение тела, но и проекции его скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов $$ \overrightarrow{v}$$ и $$ \overrightarrow{a}$$в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости будет равен `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`, а его направление может быть задано углом между этим вектором и любой осью координат. Так, угол $$ \alpha $$ между вектором $$ \overrightarrow{v}$$ и осью `Ox` определяется отношением `"tg"alpha=v_y//v_x`. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора $$ \overrightarrow{a}$$.
Обратная задача – нахождение скорости и зависимостей $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$ по заданному ускорению – будет иметь однозначное решение, если кроме ускорения заданы ещё и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент времени $$ t=0$$.
3. Естественный (или траекторный) способ.
Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рис. 5.
Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость $$ l\left(t\right)$$.
Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
По определению, путь `Delta S` - это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.
Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
|Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.
Средней путевой скоростью `v_"cp"` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t`, в течение которого этот путь был пройден:
`v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)` (3)
Определённая ранее средняя скорость `v_"cp"` (см. формулу (1)) и средняя путевая скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.
Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_"cp"` и средняя путевая скорость `v_"cp"` троллейбуса?
Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_"ср"=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_"ср"|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:
`v_"cp"=(Delta S)/(Delta t)=(72 "км")/(8 "ч")=9 "км"//"ч"`.
В рамках классической механики скорость и ускорение тела преобразуются по определённым правилам при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Пусть имеются две произвольные системы отсчёта `K` и `K^'` (рис. 6). Известны скорость `vecv^'` и ускорение `veca^'` тела (точки `A`) в `K^'` - системе.
Рассмотрим случай, когда `K^'`- система движется поступательно по отношению к `K` - системе, и определим значения скорости `vecv` и ускорения `veca` тела в `K`-системе.
Если за малый промежуток времени `Deltat` тело (точка `A`) переместилось относительно `K^'` - системы на величинy `Deltavecr^'`, а `K^'` - система переместилась относительно `K` - системы на `Deltavecr_0`, то из правила векторного сложения следует, что перемещение `Deltavecr` тела относительно `K` - системы будет равно `Deltavecr=Deltavecr_0+Deltavecr^'`. Разделив обе части этого равенства на $$ ∆t$$ и обозначив через скорость `K^'` - системы относительно `K` - системы, получим:
`vec v =vec v_o +vec v^'` (4)
Рассуждая аналогично,найдем формулу преобразования ускорения :
`vec a =vec a_o + vec a^'` (5)
Из формулы (5) вытекает важное следствие: при ускорения и `vec a^'` равны. Иными словами, если система отсчёта `K^'` движется поступательно без ускорения относительно системы отсчёта `K`, то ускорения тела в обеих системах отсчёта будут одинаковы.
Переход из одной системы отсчёта в другую довольно часто применяется на практике и порой существенно облегчает решение некоторых физических задач, поэтому к данному приёму желательно привыкнуть и научиться умело его использовать.
Часто встречаются задачи, в которых два тела движутся независимо друг от друга в некоторой системе отсчёта, и требуется определить какие-либо величины (перемещение, скорость), характеризующие движение одного тела относительно другого. В таких случаях, как правило, удобно перейти в систему отсчёта, связанную с тем телом, относительно которого рассматривается движение другого тела, и применить полученные выше формулы преобразований. Относительные перемещение и скорость двух тел определяются векторной разностью их перемещений и скоростей, заданных по отношению к одной и той же (чаще всего – неподвижной) системе отсчёта. Рассмотрим следующий пример.
Два корабля движутся с постоянными скоростями $$ {\overrightarrow{v}}_{1}$$ и $$ {\overrightarrow{v}}_{2}$$ под углом $$ \alpha $$ друг к другу (рис. 7). Найти скорость первого корабля относительно второго.
Перейдём в систему отсчёта, связанную со вторым кораблём, движущимся со скоростью $$ {\overrightarrow{v}}_{2}$$. В этой системе отсчёта относительная скорость `vec v^'` первого корабля согласно (4) будет равна `vec v^'= vec v_1 -vec v_2`. Вектор $$ \overrightarrow{v}\text{'}$$ определим геометрически, используя правило построения векторной разности (рис. 8). Из треугольника `BDE` с помощью теоремы косинусов найдём модуль искомого вектора:
`v^' =sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha)`.
Направление вектора `vec v^'` зададим, например, углом `beta` (рис. 8), который определим из `DeltaBDE` по теореме синусов:
`(v_1)/(sinbeta)=(v^')/(sinalpha)`.
Отсюда
`sinbeta=(v_1)/(v^')sinalpha=(v_1 sinalpha)/(sqrt(v_1^2 +v_2^2-2v_1v_2cosalpha))`.
Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.
1.Равномерное прямолинейное движение тела.
При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta vecr` за одинаковые промежутки времени `Delta t`. Иными словами, скорость `vec v` тела не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:
`vec v= "const"`. (6)
При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:
`vec r(t)=vec r_0+vec v t`, (7)
где `vec r_0` - радиус-вектор тела в начальный момент времени $$ t=0$$ . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4. Вектор $$ {\overrightarrow{r}}_{0}$$ здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор $$ \overrightarrow{r}$$ тела в любой момент времени в процессе движения.
Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени $$ t $$ координат $$ x$$ и $$ y$$ движущегося тела:
| $$ \left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)={x}_{0}+{v}_{x}\left(t\right),\\ y\left(t\right)={y}_{0}+{v}_{y}\left(t\right)·\end{array}\right.$$ | (8) |
 |
где $$ {x}_{0}$$ и $$ {y}_{0}$$ - начальные координаты тела в момент времени $$ t=0$$, а $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.
Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: $$ \mathrm{tg}\alpha ={v}_{y}/{v}_{x}$$. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость $$ y\left(x\right)$$, легко получить, исключив параметр $$ t$$ из системы уравнений (8):
`y(x)=(v_y)/(v_x)(x-x_0)+y_0`. (9)
Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости $$ xOy$$ описывается уравнениями: $$ x\left(t\right)=6+3t$$, $$ y\left(t\right)=4t$$ (величины измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени $$ v\left(t\right)$$. Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.
Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:
$$ {x}_{0}=6$$ м, $$ {y}_{0}=0$$ , $$ {v}_{x} =3$$ м/c, $$ {v}_{y} =4$$ м/c.
Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):
`y(x) =4/3(x - 6)`, или `y(x) = 4/3 x - 8`.
Модуль $$ v$$ скорости тела определим, зная $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:
`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.
 |
График зависимости $$ v\left(t\right)$$ представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7): `Deltavec r = vec r (t) - vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный телом в течение времени `t`, определяется по формуле `Delta S = vt`, т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости $$ v\left(t\right)$$ . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.
В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:
`Delta S = vt = 5 "м"/"c"*5 "c" = 25 "м"`.
Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.
Координаты тела при равномерном прямолинейном движении на плоскости $$ xOy $$ за время $$ t=2$$ c изменились от начальных значений $$ {x}_{0}=5$$ м, $$ {y}_{0}=7$$ м до значений $$ x=-3$$ м и $$ y=1$$ м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.
Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:
`v_x=(x-x_0)/t=(-3-5)/2=-4` м/с, `v_y=(y-y_0)/t=(1-7)/2=-3` м/с.
Тогда модуль скорости `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.
Уравнение траектории $$ y\left(x\right)$$ с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:
$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}(x-5)+7$$, или $$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{13}{4}}$$.
Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ в общие уравнения движения (8):
$$ x\left(t\right)=5-4t,y\left(t\right)=7-3t$$.
Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.
Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при $$ t$$ в соответствующих уравнениях $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$, т. е. значениям $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:
`"tg"alpha=-4`, `"tg"beta=-3`.
(Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)
2. Неравномерное движение тела.
Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.
Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью $$ {v}_{1}=10$$ км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью $$ {v}_{2}=8$$ км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью $$ {v}_{3}=4$$ км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.
Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идёт о средней путевой скорости. Разобьём весь путь `Delta S` на три участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:
`v_"cp"= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.
По условию задачи `Delta S_1 =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3 = Delta S //2`. Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:
`Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,
`Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,
`Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.
Подставляя эти значения в выражение для `v_"ср"`, получим:
`v_"cp"=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3))) =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.
Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_"ср"= (v_1 + v_2 + ... + v_n)//n`, где `v_i` - скорость движения на `i`-м участке, `n` - число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_"ср"`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.
Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.
3. Равнопеременное движение.
Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки времени `Delta t` изменяется на одинаковую величину `Deltavecv`. В этом случае ускорение `veca` тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:
`vec a="const"` (10)
(при этом `vec v != "const"`, и траектория движения не обязательно прямолинейная).
При равнопеременном движении скорость $$ \overrightarrow{v}$$ тела изменяется с течением времени по закону
`vec v (t)=vec v_0 +vec at`, (11)
где `vecv_0` - скорость тела в начальный момент времени `t=0`.
В свою очередь, зависимость `vecr(t)` имеет вид:
`vec r(t)=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`, (12)
где `vecr_0` - начальный радиус-вектор тела при `t=0`. Вновь заметим, что величины `vecv_0` и `vecr_0` представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы `vecv` и `vecr`.
При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}\left(t\right)={v}_{0x}+{a}_{x}t,\\ {v}_{y}\left(t\right)={v}_{0y}+{a}_{y}t.\end{array}\right.$$ | (13) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)={x}_{0}+{v}_{0x}t+{\displaystyle \frac{{a}_{x}{t}^{2}}{2}},\\ y\left(t\right)={y}_{0}+{v}_{0y}t+{\displaystyle \frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}},\end{array}\right.$$ | (14) |
где $$ {x}_{0}$$ и $$ {y}_{0}$$ - начальные абсцисса и ордината тела (при $$ t=0$$), $$ {v}_{0x}$$ и $$ {v}_{0y}$$ - проекции начальной скорости `vecv_0` тела на координатные оси, $$ {a}_{x}$$ и $$ {a}_{y}$$ - проекции вектора ускорения на оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.
В принципе формулы (11) и (12), или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением.
В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось $$ Ox$$, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:
$$ {v}_{x}={v}_{0x}+{a}_{x}t$$, $$ x={x}_{0}+{v}_{0x}t+{\displaystyle \frac{{a}_{x}{t}^{2}}{2}}$$.
Если на промежутке времени от $$ 0$$ до $$ t$$ направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность $$ x-{x}_{0}$$текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём $$ S$$, следовательно,
`S=v_(0x)t+(a_xt^2)/2`.
Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время $$ t$$, выраженное из уравнения $$ {v}_{x}={v}_{0x}+{a}_{x}t$$ . Это время будет
`t=(v_x-v_(0x))/a_x`.
Тогда для пути $$ S$$ после несложных преобразований получим
`S=(v_x^2-v_(0x)^2)/(2a_x)`.
Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени $$ t$$ в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.
За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )
Пусть за время $$ t=2$$ с скорость тела изменилась от $$ {v}_{0}$$ до $$ v$$. Направим координатную ось $$ Ox$$ вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать `v=v_0+at`, `a` - модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`.
За время $$ t$$ тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь
`S=(v^2-v_0^2)/(2a)`.
С учётом выражений для $$ {v}_{0}$$ и $$ a$$ получим `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.
Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор $$ \overrightarrow{a}$$ на ускорение свободного падения $$ \overrightarrow{g}$$, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.
Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй; время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени $$ t$$ вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.
Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси $$ Oy$$. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: $$ {y}_{0}=0,{v}_{0y}={v}_{0}$$.
Проекция ускорения тела на ось $$ Oy$$ в отсутствие сопротивления воздуха равна $$ {a}_{y}=-g$$ , т. к. вектор $$ \overrightarrow{g}$$ направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом начальных условий имеют вид:
`v_y=v_0-g t`, (15)
`y=v_0t-(g t^2)/2`. (16)
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. В этот момент $$ y=0$$ и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для $$ \tau $$ получаем: $$ \tau =0$$ или `tau=(2v_0)/g`. Значение $$ \tau =0$$ соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.
Согласно (15), при $$ t=\tau $$ имеем: $$ {v}_{y}={v}_{0}-gt$$. Тогда с учётом найденного значения $$ \tau $$ получим $$ {v}_{y}={v}_{0}-2{v}_{0}=-{v}_{0}$$. Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости $$ {v}_{0}$$, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось $$ Oy$$ отрицательна.
Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что $$ y=H,{v}_{y}=0$$. С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:
`0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.
Из первого уравнения определяем время подъёма тела `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя $$ {\tau }_{1}$$ во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
Заметим, что время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени $$ \tau $$ полёта тела: $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.
Путь $$ S$$, пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, $$ S=2H$$. Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.
Зависимость $$ y\left(t\right)$$ в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
Зависимость $$ {v}_{y}\left(t\right)$$ является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при $$ t$$ в формуле (15):
`"tg"alpha=-g`.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Тело бросили с высоты $$ H$$ над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю, дальность $$ l$$ полёта тела, скорость `vecv` тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени $$ t$$ координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.
Начало отсчёта $$ O$$ поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:
`a_x=0`, `a_y=-g`.
Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}={v}_{0},\\ {v}_{y}=-gt·\end{array}\right.$$ | (17) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x={v}_{0}t,\\ y=H-{\displaystyle \frac{g{t}^{2}}{2}}·\end{array}\right.$$ | (18) |
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. Это означает, что $$ y=0$$, $$ x=l$$, и уравнения системы (18) принимают вид:
$$ l={v}_{0}\tau $$, `0=H-(g tau^2)/2`.
Решая их ,находим:
`tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.
В свою очередь, система уравнений (17) даёт: $$ {v}_{x}={v}_{0},{v}_{y}=-g\tau $$. С учётом значения $$ \tau $$ получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:
`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=sqrt(v_0^2+2gH)`.
Направление вектора `vecv` определим с помощью угла $$ \alpha $$ (рис. 16):
`"tg"alpha=v_y//v_x=(-sqrt(2gH))//v_0`.
Уравнение $$ y\left(x\right)$$ траектории движения тела получим, исключив параметр $$ t$$ из системы (18):
`y(x)=-g/(2v_0^2)x^2+H`.
Так как $$ y\left(x\right)$$ представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью $$ {v}_{0}$$ направленной под углом $$ \alpha $$ к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю,дальность $$ l$$ полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй, время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.
Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=g$$ С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:
| $$ \left\{\begin{array}{l}{v}_{x}={v}_{0}\mathrm{cos}\alpha ,\\ {v}_{y}={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -gt·\end{array}\right.$$ | (19) |
| $$ \left\{\begin{array}{l}x=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)t,\\ y=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)t-{\displaystyle \frac{g{t}^{2}}{2}}·\end{array}\right.$$ | (20) |
Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю, тогда: $$ y=0,x=l$$. Уравнения системы (20) дают:
$$ l=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)\tau $$, $$ 0=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)\tau -{\displaystyle \frac{g{\tau }^{2}}{2}}$$.
Откуда находим
$$ \tau ={\displaystyle \frac{2{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$, $$ l={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{g}}$$.
(Здесь использовано равенство $$ 2\mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\alpha =\mathrm{sin}2\alpha .$$ )
Из полученного выражения для $$ l$$ легко определить угол $$ \alpha $$, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина $$ l$$ как функция от $$ \alpha $$ принимает максимальное значение в том случае, когда $$ \mathrm{sin}2\alpha =1$$. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.
Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора: `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при $$ t=\tau $$ ) имеем: $$ {v}_{x}={v}_{0}\mathrm{cos}\alpha $$, $$ {v}_{y}={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g\tau =-{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha $$.
Следовательно, $$ v=\sqrt{{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }={v}_{0}$$, (так как $$ {\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{\mathrm{sin}}^{2}\alpha =1$$).
Направление скорости тела в момент падения составляет угол $$ \alpha $$ с направлением оси $$ Ox$$. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси $$ Ox$$.
Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело достигло максимальной высоты. В этот момент $$ {v}_{y}=0$$, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:
$$ 0={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g{\tau }_{1}$$, $$ H=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right){\tau }_{1}-{\displaystyle \frac{g{\tau }_{1}^{2}}{2}}$$.
Отсюда последовательно находим:
$$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$, $$ H={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }{2g}}$$.
Видим,что $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.
Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время $$ t$$ :
$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{g}{2{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha }}{x}^{2}+\mathrm{tg}\alpha x$$.
График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.
Два маленьких стальных шарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями $$ {v}_{01}=5\mathrm{м}/\mathrm{c},{v}_{02}=8\mathrm{м}/\mathrm{c}$$, направленными под углами к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между шариками, спустя время `t=1/3` с после броска?
Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Шарики движутся в поле тяжести Земли с постоянным ускорением (сопротивлением воздуха пренебрегаем).
Выберем систему координат так, как показано на рис. 20, начало отсчёта поместим в точку бросания. Для радиус-векторов шариков $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)$$ и $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)$$ имеем: $$ {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{01}+{\overrightarrow{v}}_{01}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$, $$ {\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}_{02}+{\overrightarrow{v}}_{02}t+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{g}{t}^{2}}{2}}$$.
Искомое расстояние $$ l$$ равно модулю разности радиус-векторов шариков в момент времени `t=1/3` с. Так как шарики были брошены из одной и той же точки, то $$ {\overrightarrow{r}}_{01}={\overrightarrow{r}}_{02}$$ , следовательно:
$$ l=\mid {\overrightarrow{r}}_{1}\left(t\right)-{\overrightarrow{r}}_{2}\left(t\right)\mid =\mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid t$$.
(Остальные слагаемые при вычитании радиус-векторов уничтожились.) В свою очередь, по теореме косинусов (см. рис. 20):
`|vecv_(01)-vecv_(02)|=sqrt(v_(01)^2+v_(02)^2-2v_(01)v_(02)cos(alpha_1-alpha_2))`.
Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него величин, получим $$ \mid {\overrightarrow{v}}_{01}-{\overrightarrow{v}}_{02}\mid =7$$ м/с.
Тогда искомое расстояние между шариками в момент времени `t=1/3` с будет равно
$$ l=7{\displaystyle \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}}·{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{c}={\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{м}\approx \mathrm{2,3} \mathrm{м}$$.
Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени $$ \tau $$, с одинаковыми начальными скоростями $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»? Прокомментируйте решение для `v_0<g tau/2`.
Направим ось `Oy` вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку бросания. Отсчёт времени будем вести, начиная с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел:
1) $$ {t}_{0}=0,{y}_{01}=0,{v}_{y01}={v}_{0}$$ ;
2) $$ {t}_{0}=\tau ,{y}_{02}=0,{v}_{y02}={v}_{0}$$.
Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны $$ {a}_{y1}={a}_{y2}=-g$$. Уравнения движения тел в проекциях на ось $$ Oy$$ с учётом начальных условий имеют вид:
`y_1(t)= v_0t-(g t^2)/2`, `y_2(t)=v_0(t-tau)-(g(t-tau)^2)/2`.
(Заметим, что `y_2=0` при `0<t<=tau`)
$$ {v}_{0}{t}_{x}-{\displaystyle \frac{g{t}_{x}^{2}}{2}}={v}_{0}({t}_{x}-\tau )-{\displaystyle \frac{g({t}_{x}-\tau {)}^{2}}{2}}$$.
Решая это уравнение относительно `t_x`, находим: $$ {t}_{x}={\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}+{\displaystyle \frac{\tau }{2}}$$.
Проанализируем полученное выражение при `v_0<g tau//2`. Известно (см. Пример 7), что время полёта тела, брошенного вертикально, равно $$ 2{v}_{0}/g$$. Поэтому, если `v_0<g tau//2`, то $$ \tau >2{v}_{0}/g$$. Это означает, что сначала упадёт на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания.
Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом наклона `varphi=30^@`, бросает камень в сторону подъёма горы, сообщив ему начальную скорость $$ {v}_{0}$$, направленную под углом `beta=60^@` к горизонту. На каком расстоянии от мальчика упадёт камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчёта `O` в точку бросания. В этой системе отсчёта начальная скорость камня составляет с осью `Ox` угол `alpha=beta-varphi=30^@`. Начальные условия: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0 cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`.
Проекции ускорения камня в отсутствие сопротивления воздуха равны (см. рис. 22): $$ {a}_{x}={g}_{x}=-g\mathrm{sin}\phi $$, $$ {a}_{y}={g}_{y}=-g\mathrm{cos}\phi $$. Здесь мы учли, что угол между вектором и перпендикуляром к поверхности горы равен углу наклона горы `varphi=30^@`, кроме того, по условию задачи $$ \phi =\alpha $$
Запишем уравнения системы (14) с учётом начальных условий:
$$ x\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{sin}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$, $$ y\left(t\right)=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)t-\left(g\mathrm{cos}\phi \right){\displaystyle \frac{{t}^{2}}{2}}$$.
Время полёта $$ \tau $$ камня найдём из последнего уравнения, зная, что
$$ y\left(\tau \right)=0$$, $$ \mathrm{cos}\phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$, $$ \mathrm{sin}\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$.
А именно $$ \tau ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}}{g}}$$ . (Значение $$ \tau =0$$ мы отбросили, т. к. оно не связано с вопросом задачи).
Подставляя найденное значение $$ \tau $$ в уравнение для $$ x\left(t\right)$$ определим искомое расстояние (иными словами, дальность полёта):
$$ l=x\left(\tau \right)= {\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}}{g}}$$.
Массивная платформа движется с постоянной скоростью `vecV_0` по горизонтальному полу. С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен $$ u=2{V}_{0}$$ причём вектор $$ \overrightarrow{u}$$составляет угол `alpha=60^@` с горизонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент приземления. Высотой платформы и сопротивлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)
Для описания движения мяча и платформы введём систему отсчёта, связанную с полом. Ось $$ Ox$$ направим горизонтально в направлении удара, а ось $$ Oy$$ вертикально вверх (рис. 23).
Движение мяча происходит с постоянным ускорением $$ \overrightarrow{a}$$причём $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=-g$$ где $$ g$$ - величина ускорения свободного падения.
Проекции начальной скорости $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ мяча на оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ равны:
`v_(0,x)=V_(0,x)+u_x=-V_0+2V_0*cos60^@=-V_0+V_0=0`,
`v_(0,y)=V_(0,y)+u_y=0+2V_0*sin60^@=sqrt3V_0`.
Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его движение происходит только по вертикали, и он упадёт в точке удара.
Максимальную высоту подъёма `(y_"max")` и время полёта мяча найдём из законов кинематики равноускоренного движения:
$$ {v}_{y}^{2}-{v}_{0,y}^{2}=2{a}_{y}(y-{y}_{0}), y={y}_{0}+{v}_{0,y}t+{\displaystyle \frac{{a}_{y}{t}^{2}}{2}}$$.
Учитывая, что при `y=y_"max"` проекция вертикальной скорости обращается в ноль $$ ({v}_{y}=0)$$, а в момент приземления мяча $$ (t={T}_{\mathrm{полета}})$$ его координата по оси $$ Oy$$ обращается в ноль $$( y=0)$$, имеем:
$$ {y}_{\mathrm{max}}={\displaystyle \frac{{v}_{0,y}^{2}}{2g}}={\displaystyle \frac{3{V}_{0}^{2}}{2g}}, {T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}}{g}}$$.
За время полёта мяча платформа сместится на расстояние
$$ L={V}_{0}{T}_{\mathrm{полета}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{V}_{0}^{2}}{g}}$$,
которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча.
По взглядам учёных античных времён считалось, что для движения необходимо наличие действия других тел. Если же действие это прекращается, то тело останавливается и возвращается в состояние покоя. Таким образом, покой выступал к ак основное состояние тела, а движение – как временное состояние, обязательно прекращающееся.
Такая точка зрения просуществовала до XVI века, когда Галилеем были сформулированы суждения принципиально другого толка. Галилей считал, что любое тело сохраняет состояние, в котором оно находится, если на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы. Так, физическое тело, лежащее на столе, находится в покое, поскольку на него действует Земля и стол, а действия эти равны по величине и противоположны по направлению. Но тело может не только находиться в покое при равенстве действий других тел, но и двигаться равномерно и прямолинейно. Например, металлический шар, брошенный в воду, тонет с постоянной скоростью (на начальном участке движения это не так, но потом движение действительно станет равномерным). При этом действие Земли скомпенсировано действием воды. И, наконец, тело, движущееся вдали от других тел (современным примером было бы движение космического корабля вдали от гравитирующих масс), будет сохранять свою скорость постоянной относитель но некоторой системы отсчёта, потому что нет тел, которые своим действием изменили бы это состояние движения.
Ньютон попытался построить учение о движении тел, основываясь на свойствах пространства и времени. По его мнению следовало, что вследствие однородности и изотропности пространства тело сохраняет состояние, в котором оно находится. Если оно в какой-либо системе отсчёта находилось в покое, то и продолжает сохранять покой в этой с. о., если оно двигалось равномерно и прямолинейно, то сохраняет состояние движения. Само движение остаётся равномерным и прямолинейным , потому что пространство во всех точках имеет одинаковые свойства (однородно) и по всем направлениям так же имеет одинаковые свойства (изотропно).
называют явление сохранения скорости телом, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
относительно которой тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое, если на него не действуют другие тела, или действия других тел скомпенсированы.
Любая другая система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно, тоже является инерциальной.
Таким образом, достаточно найти хотя бы одну и иерциальную систему отсчёта (далее ИСО), чтобы потом выбирать удобную ИСО.
Ньютон считал, что прос ранство абсолютно и неподвижно и что с ним можно связать хотя бы одну ИСО, неподвижную относительно пространства.
Практический же поиск ИСО представляет целую научную проблему. Несмотря на сложность поиска ИСО, первый (основополагающий) закон Ньютона постулирует их существование.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое, если на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы.
Первый закон Ньютона является следствием свойств пространства и времени, т. е. тело может двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в покое (если на него не действуют другие тела, или действия других тел скомпенсированы) только тогда, когда свойства пространства в разных точках и направления в нём (вдоль траектории движения тела) равноправны. Сами свойства пространства и времени являются содержанием первого закона (его физическим смыслом). И если хотя бы одна ИСО существует, то остальных ИСО сколько угодно, и все они выступают на равных правах!
Данное утверждение имеет огромное значение и называется принципом относительности Галилея, и потому выпишем отдельно:
1. Все ИСО равноправны.
2. При переходе из одной ИСО в другую форма зписи законов механики не меняется.
3. Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить равномерное прямолинейное движение.
Все три формулировки имеют одинаковый смысл, но разнообразие этих формулировок расширяет понимание данного принципа.
Например, третья формулировка говорит о следующем: пусть мы находимся в закрытом от внешнего мира пространстве (закрытый вагон на очень гладких прямолинейных рельсах без стыков) . Проводя внутри вагона разнообразные механические опыты и анализируя их результаты, мы не сможем ответить на вопрос – движемся ли мы равномерно и прямолинейно или находимся в покое относительно дороги (результаты опытов не зависят от места в пространстве и направления движения в нём).
Вторая формулировка утверждает, что результаты опытов, проведённых в вагоне (движущемся равномерно и прямолинейно), будут точно такими же, как и те, что получены при наблюдении за тем же опытом через окно вагона наблюдателем, стоящим на поверхности Земли неподвижно.
Первая формулировка лаконично обобщает все факты, но для полного понимания требуется пояснение или расшифровка, которая звучит в других формулировках.
Из перечисленных примеров вытекает, что вполне очевидной будет ситуация, в которой на тело действуют другие тела, а ускорения нет; и невероятной будет ситуация, когда на тело не действуют тела, а ускорение есть.
Из наблюдений можно заметить, что тела изменяют свою скорость только при наличии не скомпенсированного действия. Т. к. быстрота изменения скорости характеризуется ускорением тела, можем заключить, что причиной ускорения является некомпенсированное действие одного тела на другое. Но одно тело не может действовать на другое, не испытывая его действия на себе. Следовательно, ускорение появляется при взаимодействии тел. Ускорение приобретают оба взаимодействующие тела. Так же из наблюдений можно установить ещё один факт: при одинаковом действии разные тела приобретают разные ускорения.
Условились считать: чем меньше ускорение приобретает тело при взаимодействии, тем инертнее это тело.
это свойство тела сохранять свою скорость постоянной (то же, что и инерция). Проявляет себя в том, что для изменения скорости тела требуется некоторое время. Процесс изменения скорости не может быть мгновенным.
Например, движущийся по дороге автомобиль не может мгновенно остановиться, для уменьшения скорости требуется некоторое время, а за это время он успевает переместиться на довольно большое расстояние (десятки метров). (Осторожно переходите дорогу!!!)
Мерой инертности является инертная масса.
Масса (инертная) – мера инертности тела.
Чем инертнее тело, тем больше его масса. Чем больше инертность, тем меньше ускорение. Следовательно, чем больше масса тела, тем меньше его ускорение:
| `a~1/m` |
Данная зависимость записана единственно правильным способом, т. к. форма `m~1/m` не верна. Масса не может зависеть от ускорения, она является свойством тела, а ускорение является характеристикой состояния движения тела.
Данная зависимость подтверждается многочисленными опытными результатами.
Два тела, скреплённые между собой сжатой пружиной, после пережигания нити, удерживающей пружину, начинают двигаться некоторое время с ускорением (рис. 1).
Опыт показывает, что при любых взаимодействиях данных двух тел отношение ускорений тел равно обратному отношению их масс:
`a_1/a_2=m_2/m_1`;
если взять первую массу за эталонную `(m_1=m_("эт"))`, то `m_2=m_("эт") (a_("эт"))/(a_2)`.
Масса, измеренная путём взаимодействия (измерения ускорения), называется инертной.
Измерение массы методом взвешивания тел.
Второй способ измерения масс основан на сравнении действия Земли на различные тела. Такое сравнение можно осуществить либо последовательно (сначала определяют растяжение пружины под действием эталонных масс, а потом под действием исследуемого тела в тех же условиях), либо одновременно располагают на равноплечих рычажных весах на одной чаше исследуемое тело, а на другой эталонные массы (рис. 2).
Масса, измеренная путём взвешивания, называется гравитационной.
Раньше в качестве эталона и той и другой массы была принята масса тела, выполненного в форме цилиндра высотой `39` мм и диаметром `39` мм, изготовленного из сплава `10 %` иридия и `90 %` платины (рис. 3).
Для создания нового эталона массы теперь применяется баланс Киббла – напоминающее весы устройство, которое определяет, какой ток нужен для того, чтобы создать электромагнитное поле, способное уравновесить чашу с тестируемым эталоном. Это позволяет вычислить постоянную Планка с беспрецедентной точностью. Знание постоянной Планка, в свою очередь, позволяет определить точную массу объекта в другом режиме работы баланса Киббла.
Преимущество нового эталона в том, что баланс Киббла всегда можно изготовить заново и провести с помощью него необходимые вычисления. Материальный эталон может быть потерян и уничтожен, кроме того, его масса не остается постоянной, хотя он всегда равен одному килограмму по определению.
Платиново-иридиевый цилиндр из Палаты мер и весов ушел из употребления 20 мая 2019 года.
В 1971 г наши соотечественники Брагинский и Панов придумали и провели опыт по сравнению массы гравитационной и инертной. Оказалось, что с точностью до `10^(-12)%` эти массы равны.
Данный факт известен был и ранее, и послужил основанием для формулировки Эйнштейном принципа эквивалентности.
утверждает, что
1) ускорение, вызванное гравитационным взаимодействием в малой области пространства, и за небольшой интервал времени, неотличимо от ускоренно движущейся системы отсчёта.
2) ускоренно движущееся тело эквивалентно неподвижному телу, находящемуся в гравитационном поле.
Два тела массами `400` г и `600` г двигались навстречу друг другу и после удара остановились. Какова скорость второго тела, если первое двигалось со скоростью `3` м/с?
Сила, возникающая при взаимодействии тел, конечно же, не остаётся постоянной, и ускорения тоже. Мы будем считать, что и силы, и ускорения принимают некоторые средние значения, причём одинаковые для любого момента времени. Отношение ускорений тел равно обратному отношению их масс: `a_1/a_2=m_2/m_1`. В свою очередь, ускорение равно отношению изменения скорости ко времени изменения. Конечные скорости тел равны нулю, а время взаимодействия одинаково для обоих тел:
`m_2/m_1=a_1/a_2=((Deltav_1)/(Deltat))/((Deltav_2)/(Deltat))=(v_("к"1)-v_(01))/(v_("к"2)-v_(02))=(v_(01))/(v_(02))`,
откуда получим искомую скорость: `v_(02)=m_1/m_2v_(01)`.
Количественно ответ будет таким: `v_(02)=(0,4 "кг")/(0,6 "кг")*3"м"/"с"=2"м"/"с"`.
Сила является мерой взаимодействия (взаимного действия). Если действие велико (мало), то говорят о большой (малой) силе. Сила обозначается буквой `F` (первая буква слова force).
При взаимодействии чем больше сила, тем больше ускорение тела, на которое эта сила действует. Следовательно, ускорение прямо пропорционально действующей силе: `a~F`.
Но уже говорилось о том, что ускорение зависит от массы тела: `a~1/m`.
Обобщая эти зависимости получим:
`a=F/m`, или `F=ma`.
Теперь рассмотрим свойства силы, устанавливаемые опытным путём:
1) Результат действия (проявления) силы зависит от направления действующей силы, следовательно, сила – величина векторная.
2) Результат действия (проявления) силы зависит от величины приложенной силы.
3) Результат действия (проявления) силы зависит от точки приложения силы.
4) За единицу силы принято значение такой силы, которая вызывает ускорение `1 "м"//"c"^2` у тела массой `1` кг. Единицу силы назвали в честь Исаака Ньютона `1` Ньютон. (Произносить фамилию считается правильным таким образом, как произносится фамилия в том государстве, где проживал или проживает учёный.)
`[vecF]=1"H"=1 "кг"*"м"/("с"^2)` (Ньютон).
5) Если на тело одновременно действуют несколько сил, то каждая сила действуетнезависимо от других. (Принцип суперпозиции сил). Тогда все силы необходимо сложить векторно и получить результирующую силу (рис. 4).
Из приведённых свойств силы следует, как обобщение опытных фактов, второй закон Ньютона:
Сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой суммой сил:
`sumvecF=mveca`.
Данное выражение можно представить и в другой форме: так как `veca=(vecv_"к"-vecv_0)/t`, то второй закон Ньютона примет вид: `sumvecF=m(vecv_"к"-vecv_0)/t`.
Произведение массы тела и его скорости называют импульсом тела: `vecp=mvecv`,
тогда получим новое выражение для второго закона Ньютона:
`sumvecF=(mvecv_"к"-mvecv_0)/t=(vecp_"к"-vecp_0)/t=(Deltavecp)/t`.
`sum vecF=(vecp_"к"-vecp_0)/t` – второй закон Ньютона в импульсной форме для среднего значения силы. Здесь `vecp_"к"-vecp_0=Deltavecp` – изменение импульса тела, `t` – время изменения импульса тела.
`sumvecF=(dvecp)/(dt)` – второй закон Ньютона в импульсной форме для мгновенного значения силы.
Из второго закона в частности следует, что ускорение тела, подвергающегося действию нескольких сил, равно сумме ускорений, сообщаемых каждой силой:
`veca=sumveca_i=veca_1+veca_2+...+veca_i=(sumvecF)/m=`
`=(vecF_1+vecF_2+...+vecF_i)/m=(vecF_1)/m+(vecF_2)/m+...+(vecF_i)/m`.
Первая форма записи второго закона `(sumvecF=mveca)` справедлива только при малых скоростях по сравнению со скоростью света. И, разумеется, выполняется второй закон Ньютона только в инерциальных системах отсчёта. Также следует отметить, что второй закон Ньютона справедлив для тел неизменной массы, конечных размеров и движущихся поступательно.
Второе (импульсное) выражение имеет более общий характер и справедливо при любых скоростях.
Как правило, в школьном курсе физики сила со временем не меняется. Однако последняя импульсная форма записи позволяет учесть зависимость силы от времени, и тогда изменение импульса тела будет найдено с помощью определённого интеграла на исследуемом интервале времени. В более простых случаях (сила изменяется со временем по линейному закону) можно брать среднее значение силы.
Иногда очень полезно знать, что произведение `vecF*t` называют импульсом силы, и его значение `vecF*t=Deltavecp` равно изменению импульса тела.
Для постоянной силы на графике зависимости силы от времени можем получить, что площадь фигуры под графиком равна изменению импульса (рис. 5).
Но даже если сила будет изменяться со временем, то и в этом случае, разбивая время на малые интервалы `Deltat` такие, что величина силы на этом интервале остаётся неизменной (рис. 6), а потом, суммируя полученные «столбики», получим:
Площадь фигуры под графиком `F(t)` численно равна изменению импульса.
В наблюдаемых природных явлениях сила, как правило, меняется со временем. Мы же часто, применяя простые модели процессов, считаем силы постоянными. Сама же возможность использования простых моделей появляется из возможности подсчёта средней силы, т. е. такой постоянной силы, у которой площадь под графиком от времени будет равна площади под графиком реальной силы.
Следует добавить ещё одно очень важное следствие второго закона Ньютона, связанное с равенством инертной и гравитационной масс.
Неразличимость гравитационной и инертной масс означает, что и ускорения, вызванные гравитационным взаимодействием (законом всемирного тяготения) и любым другим тоже неразличимы.
Мяч массой `0,5` кг после удара, длящегося `0,02` с, приобретает скорость `10` м/с. Найти среднюю силу удара.
В данном случае рациональнее выбрать второй закон Ньютона в импульсной форме, т. к. известны начальная и конечная скорости, а не ускорение, и известно время действия силы. Также следует отметить, что сила, действующая на мяч, не остаётся постоянной. По какому закону меняется сила со временем, не известно. Для простоты мы будем пользоваться предположением, что сила постоянная, и её мы будем называть средней.
Тогда `sumvecF=(Deltavecp)/t`, т. е. `vecF_("ср")*t=Deltavecp`. В проекции на ось, направленной вдоль линии действия силы, получим: `F_"ср"*t=p_"к"-p_0=mv_"к"`. Окончательно для искомой силы получим:
`F_"ср"=(mv_"к")/t`.
Количественно ответ будет таким:
`F_"ср"=(0,5"кг"*10"м"/"с")/(0,02"с")=250"H"`.
Из анализов многочисленных опытов, как уже отмечалось, было получено соотношение масс взаимодействующих тел и их ускорений:
`m_2/m_1=a_1/a_2`, или `m_1a_1=m_2a_2`.
Но мы знаем из опытов, что при взаимодействии всегда ускорения тел противоположны друг другу: `veca_1 uarr darr veca_2`, следовательно, `m_1veca_1=m_2veca_2`.
Но произведение массы тела на ускорение этого тела равно действующей на это тело силе. Тогда
`vecF_1=-vecF_2`
Данное утверждение и представляет собой третий закон Ньютона.
При взаимодействии тела действуют друг на друга с силами, равными по величине, противоположными по направлению, одинаковыми по природе и лежащими на прямой, проходящей через центры тел.
Данные проявления встречаются всюду:
1) при столкновении (упругом или неупругом) тела деформируются, при этом появляются силы упругости. Первое тело действует на второе с силой `F_(21)`, а второе на первое с силой `F_(12)`. Причём обе силы по природе своей являются силами упругости – силами взаимодействия между молекулами (электромагнитными). Силы лежат на одной прямой, лежащей на линии точек приложения сил. Силы противоположны.
2) при гравитационном взаимодействии двух тел (Земля и Луна, или Солнце и Юпитер и т. д.) возникают две гравитационные силы, которые тоже противоположны и равны друг другу.
3) при взаимодействии прямоугольного тела, стоящего на поверхности стола, тоже возникают две силы упругости: сила `F_(12)` возникает потому, что стол деформировался (прогнулся, деформация изгиба см. далее), а сила `F_(21)` возникает потому, что прямоугольное тело тоже деформировалось (сжалось под действием силы тяжести, подробнее см. далее). Обе силы равны друг другу и противоположны.
Рассмотрение примеров позволяет сформулировать следующие свойства сил, возникающих при взаимодействии:
Для растяжения пружины жёсткостью `50` Н/м, закреплённой одним концом на стене, на `20` см требуется сила `10` Н. Какую силу нужно приложить к этой пружине, чтобы растянуть её на `20` см, прикладывая силу с двух сторон и действуя в противоположных направлениях?
В первом случае в растянутом состоянии пружина находилась в состоянии покоя. Следовательно, по второму закону Ньютона сила, приложенная к пружине со стороны руки, скомпенсирована силой, приложенной к пружине со стороны стены. Значит, стена действует на пружину с силой `10` Н.
а) Первая пара сил: точка приложения силы со стороны руки неподвижна и находится в пружине, а сила упругости пружины приложена к точке, находящейся в руке, и тоже неподвижна. Эти две силы равны и противоположны по третьему закону Ньютона.
б) Вторая пара сил: во второй паре взаимодействующих тел (стены и пружины) силы тоже равны и противоположны по тому же закону.
Во втором случае пружина тоже находится в покое. Только теперь одна из сил создаётся одной рукой, а вторая сила второй рукой. Сила, создаваемая стеной в первом случае, заменяется силой, создаваемой второй рукой, во втором. Понятно, что неподвижной пружина останется во втором случае только тогда, когда величина силы тоже сохранит первоначальное значение. Следовательно, во втором случае к пружине нужно приложить силу `10` Н с обеих сторон.
Из наличия упругих свойств твёрдых тел можем заключить, что между молекулами и атомами существуют как силы притяжения, так и силы отталкивания. Исследования показали, что эти силы сильно зависят от расстояния между молекулами.
Если две молекулы разместить так, чтобы расстояние между их центрами составило примерно два радиуса, то сумма сил притяжения и отталкивания равна нулю.
При этом сила отталкивания представлена на графике зависимости силы от расстояния в виде кривой $$ f=a/{r}^{13}$$, а сила притяжения в виде другой кривой $$ f=-b/{r}^{7}$$ (рис. 7). Сумма этих графиков и есть сила взаимодействия между молекулами. По графику видно, что при сближении молекул на расстояние, меньшее $$ 2{r}_{0}$$ между центрами, возникает быстро растущая сила отталкивания, а при удалении этих молекул возникает сначала растущая (по модулю) сила притяжения, а потом эта сила начинает убывать и стремится к нулю на больших расстояниях.
 |
| рис. 7 |
Теперь понятно, что даже если сила притяжения или отталкивания между парой молекул мала, то при деформации макроскопического тела таких пар сил возникнет колоссально много, и они дадут в сумме макроскопическую силу упругости, компенсирующую внешнюю силу.
называют изменение формы и размеров тела под действием внешних сил.
Все деформации можно разделить на четыре вида: сжатия – растяжения, изгиб, сдвиг и кручение.
Деформация сжатия-растяжения.
Первоначальная длина тела равна $$ {l}_{0}$$, а конечная длина $$ {l}_{\mathrm{к}}$$. При такой деформации длина тела изменяется на величину:
`Deltal=l_"k"-l_0` - абсолютное удлинение
Величина деформации так же характеризуется безразмерной величиной:
`varepsilon =(Deltal)/l_0` - относительное удлинение.
Примеров таких деформаций очень много: ножки стула, стола, стены зданий, некоторые кости скелета, мачта парусника во время штиля и др.
Робертом Гуком экспериментально было установлено, что:
`(F_"упр")_X=-kDeltal` - закон Гука в интегральной форме (рис. 8).
`k` - коэффициент упругости или жёсткости тела.
 |
| Рис. 8 |
Сила упругости, возникающая при деформации, прямо пропорциональна смещению частиц и направлена в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.
Закон Гука стал средством для измерения сил. Т. к. чтобы определить величину (модуль) какой - либо силы, необходимо сравнить её с эталоном. Две силы считаются равными по модулю и противоположно направленными, если при их одновременном действии на одно и то же тело его общее ускорение равно нулю (скорость тела не изменяется). Таким образом, можно сравнивать силы и измерять их (если одну из них выбрать в качестве эталона).
На практике пружину, подчиняющуюся закону Гука, градуируют на разные значения силы для измерения силы. Далее воздействуют ею на тело так, чтобы тело стало двигаться равномерно. В этом состоянии сила, ранее действовавшая на тело, стано вится равной силе, действующей со стороны пружины, определяемой по граду и рованной шкале. Прибор для измерения силы называется динамометром.
К резиновому шнуру подвесили груз, под действием которого шнур растянулся на $$ 4 \mathrm{см}$$. Затем шнур сложили вдвое, закрепив сложенные концы вверху, а к середине снова подвесили тот же груз. На сколько шнур растянется во втором случае?
Если шнур в первом случае растянулся на $$ 4 \mathrm{см}$$, то каждая половина шнура растянулась на $$ 2 \mathrm{см}$$, а половины шнура были соединены между собой последовательно. Сила упругости внутри шнура везде одинакова и равна весу груза. Коэффициент жёсткости каждой половины можно представить в виде: $$ {k}_{2}={\displaystyle \frac{mg}{{x}_{0}/2}}$$.
Во втором случае половинки шнура соединены между собой параллельно, следовательно, условие равновесия груза теперь выглядит так:
\[mg = 2\cdot k_2x_2, \ \mathrm{откуда}\ x_2 = \dfrac{mg}{2k_2} = \dfrac{mg}{2\frac{mg}{x_0/2}} = \dfrac{x_0}{4} = 1\ \mathrm{см}.\]
Анализируя законы Кеплера, описывающие движение планет, И. Ньютон в 1667 году пришёл к открытию закона всемирного тяготения:
`F=G(Mm)/R^2`
где `G` - гравитационная постоянная.
Все тела во Вселенной взаимно притягиваются друг к другу с силами прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.
В такой форме закон справедлив только для двух тел, которые можно считать материальными точками. Однако можно доказать, что для двух однородных тел шарообразной формы эта форма записи закона тоже справедлива.
Измерить величину гравитационной постоянной удалось английскому физику Г. Кавендишу в 1798 году.
С помощью крутильных весов и свинцовых шаров ему удалось получить значение гравитационной постоянной:
`G=6,67259*10^(-11)("H""м"^2)/"кг"^2`.
Второй закон Ньютона позволяет записать для силы, с которой тело притягивается к Земле: `F=G(Mm)/(R^2)=mg`, тогда `g=GM/R^2` - ускорение свободного падения на поверхности Земли (измерено Галилеем и Ньютоном), на расстоянии, большем радиуса на величину `h`, ускорение свободного падения находится по формуле:
`g=GM/((R+h)^2)` - ускорение свободного падения на высоте `h` от поверхности Земли.
называют силу, с которой тело притягивается к планете
`F=mg` - сила тяжести.
называют силу упругости, с которой тело действует на опору и подвес.
Рассмотрим твёрдое тело, расположенное на горизонтальной неподвижной опоре: под действием силы тяжести тело деформируется. Если тело находится на опоре, то на нижний слой действуют все верхние слои, и, как следствие, этот слой деформируется наибольшим образом. На предпоследний слой действует меньшее количество слоёв, и он деформируется меньше. Таким образом, тело, бывшее прямоугольным, примет вид трапеции. Нижний слой приблизился при такой деформации к центру тела, а значит, возникла сила упругости, направленная в сторону, противоположную направлению смещения частиц при деформации. Сила упругости, возникшая внутри данного тела, направлена перпендикулярно опоре. Эту силу, созданную деформированным телом и приложенную к опоре, называют весом тела. Опора под действием веса деформируется. Противоположная весу сила упругости действует на данное тело со стороны деформированной опоры и тоже направлена перпендикулярно опоре, но называется силой реакции опоры `N` (от слова normal - перпендикуляр).
На рисунке 9 тело не касается опоры для того, чтобы показать, что вес приложен к опоре, а сила реакции опоры к телу. В действительности площадь реального соприкосновения твёрдых тел невелика. Большей частью между телами находится тонкий слой воздуха.
Вполне очевидно, что если опоры нет, то и веса тело иметь не будет. Такое случится в том случае, если тело движется под действием только одной силы - силы тяготения.
называют состояние тела, когда оно движется под действием только силы тяготения.
Также легко понять, что если на тело действует две силы (сила тяжести и сила реакции опоры), то эти силы не обязательно равны друг другу. Одна из них может быть больше другой.
Рассмотрим движение тела, помещённого в лифт. Пусть сам лифт движется с ускорением `veca`.
Такое ускорение будет в двух случаях:
1) лифт поднимается равноускорено,
2) лифт опускается равнозамедленно.
Второй закон Ньютона для данного тела примет вид:
`vecN+mvecg=mveca`.
При рассмотрении данного движения из лабораторной неподвижной системы отсчёта `Oy` увидим, что в проекции на вертикальную ось `Oy` второй закон запишется следующим образом:
`N-mg=ma`,
откуда
`N=ma+mg=m(g+a)`.
Но по третьему закону Ньютона знаем, что сила реакции опоры и вес тела равны и противоположны, следовательно:
`N=P`,
тогда:
`P=m(g+a)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вверх (рис. 10).
Не трудно проследить за тем, что мы получим, если ускорение тела будет направлено вниз.
В проекции на ось `Oy` ускорение проецируется со знаком «`-`», что даст окончательную формулу для веса:
`P=m(g-a)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вниз.
Или в общем случае:
`P=m(g+-a)` - вес тела, движущегося с ускорением.
Подобным образом можно получить выражение для веса тела, движущегося равномерно по выпуклому участку дороги.
`P=m(g-a)=m(g-v^2/R)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вниз (выпуклая дорога).
`P=m(g+a)=m(g+v^2/R)` - вес тела, движущегося с ускорением, направленным вверх (вогнутая дорога).
Важное дополнение:
Для рассматриваемой силы, называемой весом, важно понимать и уметь правильно изображать точку приложения этой силы.
На рисунке 11а показан лифт, у которого нет ускорения. Тогда сила тяжести равна силе реакции опоры. А по третьему закону Ньютона, сила реакции опоры равна весу тела. Точка приложения силы тяжести расположена в геометрическом центре тела, если тело однородно и правильной формы. Точка приложения силы реакции опоры должна быть изображена внутри тела вблизи с нижней поверхностью тела на линии действия силы тяжести. Последнее свойство на рисунке не выдержано для удобства изображения (иначе силы на рисунке будут накладываться друг на друга). Точка приложения веса тела находится внутри опоры (пола лифта) вблизи поверхности на линии действия силы реакции опоры.
На рисунке 11б ускорение лифта направлено вниз. Тогда сила реакции опоры меньше силы тяжести. А вес снова равен силе реакции опоры.
На рисунке 11в ускорение лифта направлено верх. Тогда сила реакции опоры больше силы тяжести. А вес снова равен силе реакции опоры.
Определить среднюю плотность Солнца, если его масса равна `2*10^(30)` кг, а ускорение свободного падения на поверхности приблизительно составляет `273,1 "м"//"с"^2`.
Так как `g=GM/R^2`, то можем найти радиус Солнца: `R=sqrt((GM)/g)`. Считая Солнце шаром найденного радиуса и известной массы, можем найти среднюю плотность.
`rho=M/V=M/(4/3piR^3)=(3M)/(4pi((GM)/g)^(3/2))= 3/(4pisqrtM)(g/G)^(3/2)`.
Количественно ответ будет таким: `rho=1400 "кг"//"м"^3`. Однако следует отметить, что этот ответ таков в данной модели. В действительности плотность Солнца не одинакова в недрах светила, и является функцией расстояния от центра. Мы же посчитали её везде одинаковой.
 |
На сколько изменится сила притяжения двух одинаковых шаров, изготовленных из одинакового вещества плотностью `rho`, если у одного из них создать полость сферической формы, расположенную внутри одного из них в его центре? Изначально шары касались друг друга и притягивались с силой `80` Н. Радиус полости равен половине радиуса шара (рис. 12).
Сила взаимодействия определяется законом всемирного тяготения. Т. к. формы тел шарообразные, то мы можем применить известную формулу закона:
`F_1=G(Mm)/R^2`.
Массы тел равны, обозначим их `m`. Масса извлечённой части
`m_0=4/3pi(R/2)^3rho=1/8m`.
Новая сила будет меньше первоначальной на величину силы взаимодействия извлечённой части с первым шаром (принцип суперпозиции сил). Следовательно:
`F_2=G(m_0m)/((2R)^2)=G(1/8mm)/((2R)^2)=1/8G(mm)/((2R)^2)=1/8F=10` H.
Сила притяжения шаров станет меньше на `10` Н, следовательно, станет равной `70` Н.
