Сила, второй закон Ньютона

Сила является мерой взаимодействия (взаимного действия). Если действие велико (мало), то говорят о большой (малой) силе. Сила обозначается буквой $$F$$ (первая буква слова force).

При взаимодействии чем больше сила, тем больше ускорение тела, на которое эта сила действует. Следовательно, ускорение прямо пропорционально действующей силе: a∼Fa\sim F.

Но уже говорилось о том, что ускорение зависит от массы тела: a∼1ma \sim \frac 1m

Обощая эти зависимости получим:

\[a = \frac{F}{m}, \quad \mathrm{или}\quad F = ma.\]

Теперь рассмотрим свойства силы, устанавливаемые опытным путём:

1) Результат действия (проявления) силы зависит от направления действующей силы, следовательно, сила – величина векторная.

2)  Результат действия (проявления) силы зависит от величины приложенной силы .

3)  Результат действия (проявления) силы зависит от точки приложения силы.

4) За единицу силы принято значение такой силы, которая вызывает ускорение 1 м/с21\ \mathrm{м}/\mathrm{с}^2 у тела массой 1 кг1\ \mathrm{кг}. Единицу силы назвали в честь Исаака Ньютона 1 нью'тон. (Произносить фамилию считается правильным таким образом, как произносится фамилия в том государстве, где проживал или проживает учёный.)

[F→]=1 Н=1 кг·мс2  (ньютон).[\overset{\rightarrow}{F}] = 1\ \mathrm{Н} = 1\ \mathrm{кг}\cdot\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2}\quad \mathrm{(ньютон)}.

5) Если на тело одновременно действуют несколько сил, то каждая сила действует независимо от других. (Принцип суперпозиции сил). Тогда все силы необходимо сложить векторно и получить результирующую силу (рис. 4).


Рис. 4

Из приведённых свойств силы следует, как обобщение опытных фактов, второй закон Ньютона:

Второй закон Ньютона: Сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой суммой сил:

∑F→=ma→.\boxed{\sum \vec{F} = m\vec{a}}.

Данное выражение можно представить и в другой форме: так как a→=v→к-v→0t\vec a = \frac{\vec v_\mathrm{к} - \vec v_0}{t}, то второй закон Ньютона примет вид: ∑F→=mv→к-v→0t\sum \vec F = m\frac{\vec v_\mathrm{к} - \vec v_0}{t}.

Произведение массы тела и его скорости называют импульсом тела:

p→=mv→\vec p = m\vec v,

тогда получим новое выражение для второго закона Ньютона:

∑F→=mv→к-mv→0t=p→к-p→0t=Δp→t\boxed{\sum \vec F = \frac{m\vec v_\mathrm{к} - m\vec v_0}{t}} = \frac{\vec p_\mathrm{к} - \vec p_0}{t} = \frac{\Delta \vec p}{t}.

∑F→=p→к-p→0t\boxed{\sum \vec F = \frac{\vec p_\mathrm{к} - \vec p_0}{t}} -- второй закон Ньютона в импульсной форме для среднего значения силы. Здесь p→к-p→0=Δp→\vec p_\mathrm{к} - \vec p_0 = \Delta \vec p -- изменение импульса тела, t -t\ - время изменения импульса тела.

∑F→=dp→dt -\boxed{\sum \vec F = \frac{d\vec p}{dt}}\ - второй закон Ньютона в импульсной форме для мгновенного значения силы.

Из второго закона в частности следует, что ускорение тела, подвергающегося действию нескольких сил, равно сумме ускорений, сообщаемых каждой силой:

a→=∑a→i=a→1+a→2+…+a→i=∑F→m=F→1+F→2+…+F→im=F→1m+F→2m+…+F→im\boxed{\vec a = \sum \vec a_i = \vec a_1 + \vec a_2 + \dots + \vec a_i = \frac{\sum \vec F}{m} = \frac{\vec F_1 + \vec F_2 + \dots + \vec F_i}{m} = \frac{\vec F_1}{m} + \frac{\vec F_2}{m} + \dots + \frac{\vec F_i}{m}}.

Первая форма записи второго закона (∑F→=ma→)(\sum \vec F = m\vec a) справедлива только при малых скоростях по сравнению со скоростью света. И, разумеется, выполняется второй закон Ньютона только в инерциальных системах отсчёта. Так же следует отметить, что второй закон Ньютона справедлив для тел неизменной массы, конечных размеров и движущихся поступательно.

Второе (импульсное) выражение имеет более общий характер и справедливо при любых скоростях.

Как правило, в школьном курсе физики сила со временем не меняется. Однако последняя импульсная форма записи позволяет учесть зависимость силы от времени, и тогда изменение импульса тела будет найдено с помощью определённого интеграла на исследуемом интервале времени. В более простых случаях (сила изменяется со временем по линейному закону) можно брать среднее значение силы.


Рис. 5

Иногда очень полезно знать, что произведение F→·t\vec F \cdot t называют импульсом силы, и его значение F→·t=Δp→\vec F \cdot t = \Delta \vec p равно изменению импульса тела.

Для постоянной силы на графике зависимости силы от времени можем получить, что площадь фигуры под графиком равна изменению импульса (рис. 5).

Но даже если сила будет изменяться со временем, то и в этом случае, разбивая время на малые интервалы Δt\Delta t такие, что величина силы на этом интервале остаётся неизменной (рис. 6), а потом, суммируя полученные «столбики», получим:

Площадь фигуры под графиком F(t)F(t) численно равна изменению импульса.

В наблюдаемых природных явлениях сила, как правило, меняется со временем. Мы же часто, применяя простые модели процессов, считаем силы постоянными. Сама же возможность использования простых моделей появляется из возможности подсчёта средней силы, т. е. такой постоянной силы, у которой площадь под графиком от времени будет равна площади под графиком реальной силы.

Рис. 6

Следует добавить ещё одно очень важное следствие второго закона Ньютона, связанное с равенством инертной и гравитационной масс.









Неразличимость гравитационной и инертной масс означает, что и ускорения, вызванные гравитационным взаимодействием (законом всемирного тяготения) и любым другим тоже неразличимы.

Пример 2. Мяч массой 0,5 кг0,5\ \mathrm{кг} после удара, длящегося 0,02 с0,02\ \mathrm{с}, приобретает скорость 10 м/с10\ \mathrm{м}/\mathrm{с}. Найти среднюю силу удара.

Решение. В данном случае рациональнее выбрать второй закон Ньютона в импульсной форме, т. к. известны начальная и конечная скорости, а не ускорение, и известно время действия силы. Также следует отметить, что сила, действующая на мяч, не остаётся постоянной. По какому закону меняется сила со временем, неизвестно. Для простоты мы будем пользоваться предположением, что сила постоянная, и её мы будем называть средней.

Тогда ∑F→=Δp→t\sum \vec F = \frac{\Delta \vec p}{t}, т. е. F→ср·t=Δp→\vec F_\mathrm{ср}\cdot t = \Delta \vec p. В проекции на ось, направленной вдоль линии действия силы, получим: Fср·t=pк-p0=mvкF_\mathrm{ср}\cdot t = p_\mathrm{к}-p_0 = mv_\mathrm{к}. Окончательно для искомой силы получим:

\[F_\mathrm{ср} = \frac{mv_\mathrm{к}}{t}.\]

Количественно ответ будет таким: Fср=0,5 кг·10 мс0,02 с=250 НF_\mathrm{ср} = \frac{0,5\ \mathrm{кг}\cdot 10\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}}{0,02\ \mathrm{с}} = 250\ \mathrm{Н}.