3. Внутренняя энергия идеального газа

В модели идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Тогда из (1) имеем

$$ U=\sum {W}_{\mathrm{К}}$$ (2)

В термодинамике часто пользуются принципом равнораспределения энергии по степеням свободы. Суть принципа состоит в том, что на каждую степень свободы приходится одинаковая часть общей внутренней энергии.

Во втором задании было установлено: средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа равна

$$ {\overline{E}}_{\mathrm{К}} ={\displaystyle \frac{3}{2}}kT,$$

 (3)

где $$ k$$ – постоянная Больцмана, $$ T$$ – абсолютная температура газа.

Число степеней свободы у одноатомных молекул равно трём: $$ i=3$$. Легко догадаться, что на каждую степень свободы для одноатомных газов будет приходиться энергия:

$${\overline{\varepsilon }}_{K}=\frac{1}{2}kT$$ - энергия, приходящаяся на одну степень свободы

 (4)

Тогда средняя кинетическая энергия каждой молекулы с числом степеней $$ i$$ свободы будет записываться так:

$$ {\overline{E}}_{\mathrm{К}}=\frac{i}{2}kT$$ – средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа. (5)


Для всего газа с числом молекул `N` можем получить выражение для внутренней энергии:

$$ U={\displaystyle \frac{i}{2}}kT·N={\displaystyle \frac{i}{2}}kT·{\displaystyle \frac{m}{M}}{N}_{A}={\displaystyle \frac{i}{2}}{\displaystyle \frac{m}{M}}k{N}_{A}T$$.

Так $$ R=k{N}_{A}= \mathrm{8,31}{\displaystyle \frac{\mathrm{Дж}}{\mathrm{моль}·\mathrm{К} }}$$— универсальная газовая постоянная, то

$$ \overline{U}={\displaystyle \frac{i}{2}}·{\displaystyle \frac{m}{M}}RT$$ — внутренняя энергия идеального газа. (6)


Используя уравнение Менделеева – Клапейрона, выражение для внутренней энергии идеального газа можно записать так:

$$ \overline{U}=\frac{i}{2}pV$$ — внутренняя энергия идеального газа. (7)

Напомним, что для двухатомного газа число степеней свободы может быть

разным:


$$ i=7$$ при высокой температуре $$ (Т>1000 \mathrm{К})$$ и
$$ i=5$$ при низкой температуре $$(Т< 1000\;\mathrm К).$$


В распределении энергии по степеням свободы у молекул есть очень важная особенность: при колебательном движении на каждую колебательную степень свободы приходится энергия $$ kТ$$ (!). Это связано с тем, что при колебаниях атомов в молекуле следует учитывать не только их кинетическую энергию, но и их потенциальную энергию взаимодействия. Средние значения этих энергий равны `kT//2` каждое, что (для полной энергии) в сумме и даёт среднее значение энергии колебательного движения, равное $$ kT$$.

Поэтому подсчёт числа степеней свободы для двухатомной молекулы газа, имеющего высокую температуру $$ (Т>1000 \mathrm{К})$$, приводит к следующему результату: $$ i={i}_{\mathrm{пост}}+{i}_{\mathrm{вращ}}+2{i}_{\mathrm{кол}}=7$$.

Далее всегда (если нет специальной оговорки) мы будем считать, что молекулярная система жёсткая и в ней нет колебаний.