Как построить график функции $y = f(|x|)$? По определению модуля:

$y\;=\;f(\vert x\vert)\;$$=\left\{\begin{array}{l}f(x),\;\mathrm{при}\;x\;\geq0,\\f(-x),\;\mathrm{при}\;x<0.\end{array}\right.$

Поэтому график функции $y = f(|x|)$ состоит из двух частей:

$y = f(x)$ – в правой полуплоскости, $y = f(−x)$ – в левой полуплоскости. Это означает, что можно сформулировать такое правило:

для построения графика $y = f(|x|)$ нужно сохранить часть графика $y = f(x)$  при $x ≥ 0$ (т. е. на оси ординат и справа от неё), а также симметрично отразить эту часть относительно оси `Оy`; часть графика $y = f(x)$ при $x < 0$ (т. е. слева от оси ординат) при этом нужно стереть.

Как построить график функции $y =|f(x)|$? По определению модуля:

$y\;=\;\vert f(x)\vert\;$$=\left\{\begin{array}{l}f(x),\;\mathrm{при}\;f(x)\;\geq0,\\-f(x),\;\mathrm{при}\;f(x)<0.\end{array}\right.$

Поэтому можно сформулировать такое правило:

для построения графика функции $y = |f(x)|$ нужно сохранить часть графика $y = f(x)$, лежащую выше оси `Ox`, а часть графика, лежащую ниже оси `Ox`, симметрично отразить относительно этой оси.

Отметим, что для построения графика функции $y = |f(|x|)|$ нужно последовательно провести преобразования ПР1 и ПР2 (в любом порядке).

Как построить множество точек `(x, y)` таких, что $|y| = f(x)$?

Сразу видно, что на новом графике не должно быть точек, для которых $f(x) < 0$. Поэтому нужно стереть часть графика функции $y = f(x)$, лежащую ниже оси абсцисс. Если же $f(x) ≥ 0$, то $y = ± f(x)$ и на новом графике каждому такому значению $x$ должно соответствовать две точки, симметричные относительно оси $Ox$ (если $f(x) ≥ 0$, то точка одна).

Это означает, что часть графика функции $y = f(x)$, лежащую выше оси абсцисс, нужно сохранить и симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Переход от графика $y = f (x)$ к графику $y = af(x)$, где $a ≠ 1$.

Если $a$ – положительное число, то имеем два возможных случая:

а) $a > 1$. В данном случае рассматриваемый переход является растяжением графика от оси абсцисс в `a` раз. Покажем на примере линейной функции $y = x$ (рис. 20). Положим $a = 2$ и получим график функции $y = 2x$ посредством растяжения имеющегося графика в два раза от оси абсцисс (рис. 21).

б) $0 < a < 1$. В данном случае рассматриваемый переход является сжатием графика к оси ординат в $1/a$ раз. Пусть имеется линейная функция $y = x$. Если $a = 0,5$, то получим график функции $y = 0,5x$ посредством сжатия имеющегося графика в $1/a = 2$ раза к оси абсцисс (рис. 22).

Заметим, что при $a < 0$ нужно сначала построить график функции $y = |a|f(x)$, а потом симметрично его отобразить относительно оси абсцисс.

В частности, при $a = –1$ исходный график отражается относительно `Ox`.

Переход от графика $y = f(x)$ к графику $y = f(x) + b$, где $b ≠ 0$ – некоторое число. Рассматриваемый переход является параллельным переносом графика вдоль оси ординат на $b$ единиц. Направление сдвига определяется знаком $b$: если $b > 0$, то график сдвигается вверх, а если $b < 0$, то вниз.

Переход от графика $y = f(x)$ к графику $y = f(x + c)$, где $с ≠ 0$ – некоторое число. В этом случае исходный график сдвигается вдоль оси абсцисс на величину $|c|$. Но направление сдвига противоположно знаку числа `c:` если $с > 0$, то график сдвигается влево, а если $с < 0$, то вправо.

 Построим ещё такой график $y =  ||x − 1| − 2|$.

Для этого нужно выполнить цепочку таких действий (рис 23).

а) Строим график функции $y = x − 1$.

б)  Выполняем ПР2: часть полученного графика, лежащая над осью $Ox$ сохраняется; а его часть, лежащая под осью $Ox$ отображается симметрично относительно оси $Ox$.

с) Затем сдвигаем график вдоль оси $Oy$ на `2` единицы вниз (ПР5).

д) Выполняем ПР2 снова: часть полученного в предыдущем пункте графика, лежащая выше оси $Ox$, сохраняется, а часть этого графика, которая лежит ниже оси $Ox$, отображается симметрично относительно неё.

Построим график функции $y=\dfrac{x^2-9}{\vert x\vert-3}$.

ОДЗ: $|x| − 3 ≠ 0$, $|x| ≠ 3$, $x ≠ 3$, $x ≠ −3$.

Воспользуемся известным тождеством

$|x|^2 = x^2$. Имеем:

$y=\dfrac{x^2-9}{\vert x\vert-3}=\dfrac{\vert x\vert^2-9}{\vert x\vert-3}=\dfrac{(\vert x\vert-3)(\vert x\vert+3)}{\vert x\vert-3}={\vert x\vert}+3$.

Выполняем построения (рис. 24):

а) Строим график функции $y = |x|$.

б) График $y = |x|$ сдвигаем вдоль оси $Oy$ на `3` единицы вверх (ПР5).

в) Исключаем из графика точки $x = 3$, $x = −3$.

При решении задачи мы учли ОДЗ функции, исключив некоторые точки из графика. Такие точки изображаются, например, в виде выколотых точек (пустых не закрашенных кружков).