Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция `x=x(n)`, определённая на множестве `N` натуральных чисел.

(1) `1`; `1`; `1`; `...` (т. е. `x_n=1` для всех `n in N`);

(2) `1^2`; `2^2`; `3^2`; `...` (т. е. `x_n=n^2` для всех `n in N`);

(3) `1`; `1/2`; `1/3`; `...` (т. е. `x_n=1/n` для всех `n in N`);

(4) последовательность, `n`-й член которой равен `n`-му знаку после запятой в десятичной записи числа `8/33`;

(5) последовательность, `n`-й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих `n`;

(6) `x_1=1`, `x_2=1`, `x_n=x_(n-1)+x_(n-2)` для всех `n>=3` (последовательность Фибоначчи).

`x_n=1/sqrt5(((1+sqrt5)/2)^n-((1-sqrt5)/2)^n)`.

Найти формулу `n`-го члена последовательности, заданной рекуррентно:

  `x_1=1/2`; `x_(n+1)=2x_n+1,ninN`.

Рассмотрим вспомогательную последовательность `y_n=x_n+a`, где число `a` подбирается так, чтобы последовательность `y_n` была геометрической прогрессией. Подставляя `x_n=y_n-a` и `x_(n+1)=y_(n+1)-a` в рекуррентное соотношение, имеем `y_(n+1)-a=2(y_n-a)+1`, т. е. `y_(n+1)=2y_n+(1-a)`. Последовательность `y_n` будет геометрической прогрессией, если `1-a=0`, т. е. `a=1`. Поскольку `y_1=x_1+a=3/2`, формула общего члена геометрической прогрессии  `y_n`запишется так:  

`y_n=3/2  2^(n-1)`  `(y_1=3/2,  q=2)`.

Тогда  `x_n=y_n-a=3*2^(n-2)-1`,  `n>=2`.

`x_n=3*2^(n-2)-1,n>=2`.

Каким общим свойством обладают последовательности (1), (2), (5) и (6)?

Каждый их член, начиная со второго, не меньше предыдущего.

Последовательность `(x_n)` называется строго возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. `x_(n+1)>x_n` для любого `ninN`. Последовательность `(x_n)` называется строго убывающей, если `x_(n+1)<x_n` для любого `ninN`. Последовательность `(x_n)` называется нестрого убывающей, если `x_(n+1)<=x_n` для любого `ninN`. Последовательность `(x_n)` называется нестрого возрастающей, если `x_(n+1)>=x_n` для любого `ninN`.

Все такие последовательности (строго возрастающие, строго убывающие, нестрого убывающие, нестрого возрастающие) называются монотонными.

Выяснить, является ли монотонной последовательность `x_n=(3n)/(n+2)`.

Уточним, чему равен  `x_(n+1)`. Для этого вместо `n` в `x_n=(3n)/(n+2)` подставим `n+1`, т. е. `x_(n+1)=(3(n+1))/(n+3)`.  Рассмотрим разность

`x_(n+1)-x_n=(3(n+1))/(n+3)-(3n)/(n+2)=(3[(n+1)(n+2)-n(n+3)])/((n+2)(n+3))=`

`=6/((n+2)(n+3))>0`,

значит, `x_(n+1)>x_n` для любого `n in N`. По определению последовательность `(x_n)` является строго возрастающей.

Приведённые рассуждения являются стандартными при доказательстве монотонности последовательности. Используя особенности последовательности `(x_n)`, можно установить её возрастание более простым способом. Запишем `x_n` в виде

`x_n=(3n+6-6)/(n+2)=3-6/(n+2)`, тогда `x_(n+1)=3-6/(n+3)>3-6/(n+2)=x_n`.

Выяснить, является ли монотонной  последовательность `x_n=3+(-1)^n`.

Последовательность не является монотонной, поскольку `x_(2m-1)=2<4=x_(2m)` и `x_(2m)=4>2=x_(2m+1)` для всех натуральных `m`.

Каким общим свойством обладают последовательности (1), (3) и (4)?

Все их члены лежат на отрезке `[0;4]`.

Последовательность `(x_n)` называется ограниченной, если существует число `C>0` такое, что для любого натурального `n` выполняется неравенство `|x_n|<=C`.

Доказать, что последовательность `(x_n)` является ограниченной тогда и только тогда, когда все её члены лежат на некотором отрезке.

Пусть последовательность `(x_n)` ограничена. Тогда существует число `C>0` такое, что `|x_n|<=C` для любого `ninN`. Последнее неравенство можно переписать в виде `-C<=x_n<=C`, т. е. `x_n in[-C;C]`. Обратно, пусть все члены `(x_n)` лежат на некотором отрезке `[m;M]`. Выберем невырожденный симметричный отрезок `[-C;C]`, содержащий `[m;M]`, тогда `-C<=x_n<=C` и, следовательно, `|x_n|<=C`. В качестве такого `C` можно взять, например, `C=max{|m|,|M|}+1`.

Выяснить, является ли ограниченной последовательность `x_n=(10(-1)^n n)/(n^2+1)`.

Рассмотрим `|x_n|=(10n)/(n^2+1)`. Поскольку при уменьшении знаменателя положительной дроби значение дроби увеличивается, имеем:

`|x_n|=(10n)/(n^2+1) <(10n)/(n^2)=10/n<=10`.

Значит,  `|x_n|<=10` для любого `ninN`. По определению последовательность `(x_n)` является ограниченной.

Выяснить, является ли ограниченной последовательность `x_n=n^2`.

Предположим, что последовательность `(x_n)` является ограниченной. Это означает, что существует такое число `C>0`, что при всех `ninN` выполняется неравенство `|n^2|<=C`. Однако при `n>sqrt(C+1)` неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность `(x_n)` не является ограниченной.