Алгебра логики является частью активно развивающейся сегодня науки – дискретной математики. Дискретная математика  –  это тот раз-дел математики, где не используется понятие непрерывности.

Для того, чтобы лучше понять этот термин, рассмотрим следующий пример. Мы знаем, что график некоторой функции (например, `y=x^2`)  является непрерывной линией (параболой), если аргумент функции принимает все значения из множества действительных чисел. А теперь представим, что `x` может принимать только значения из множества целых чисел. В этом случае график будет представлять собой бесконечное количество отдельных точек, располагающихся на координатной плоскости в определённом порядке. В расположении точек будет угадываться парабола, но непрерывной линии мы не увидим. Вместо неё мы увидим дискретную структуру.

В прошлом задании мы говорили о представлении чисел в компьютере, и знаем, что каждое число представляется в виде определённой последовательности значений битов. В каждом бите может храниться ноль или единица. То есть, по сути, представление чисел (в будущем мы увидим, что не только чисел, а вообще любых данных) в компьютере является дискретной структурой. Поэтому, изучение дискретных структур – важная часть информатики. В этом задании мы будем изучать наиболее простую дискретную структуру, которая называется высказыванием.

Например, предложение: «Я – твой друг» является высказыванием, а предложение: «Положи это сюда!» высказыванием не является, поскольку не является повествовательным предложением.

Истинность или ложность каждого высказывания зависит от трактовки его содержания. Например, высказывание: «Город Москва – столица России» является истинным, а высказывание: «Город Санкт-Петербург стоит на реке Лене» является ложным.

Высказывание: «Эта шляпа – красная» является простым, в то время как высказывание: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую» является примером сложного высказывания, которое, по сути, состоит из трёх простых: «две прямые параллельны», «прямая пересекает одну из двух прямых», «прямая пересекает другую прямую». В сложном высказывании простые высказывания соединяются при помощи логических связок. В рассмотренном выше примере логической связкой является союз «если то».

Алгебра логики изучает структуру сложных логических высказываний и способы установления их истинности при помощи алгебраических методов. Причём, конкретное содержание высказываний предметом изучения алгебры логики не является, и, соответственно, интересовать нас в дальнейшем не будет.

В прошлом задании при изучении основ программирования мы столкнулись с понятиями констант и переменных. Константа – это некоторое конкретное значение, а переменная – это объект, который может менять свои значения и которому можно присваивать различные значения. Этими же понятиями пользуется и алгебра логики, чтобы абстрагироваться от конкретных содержаний высказываний. Будем считать, что любое простое высказывание – это есть константа. И введём понятие переменной в алгебре логики.

В отличие от языков программирования в алгебре логики нет ограничений при именовании переменных. Переменные могут иметь абсолютно любые имена, но чаще всего их обозначают заглавными или строчными латинскими буквами (`A, B, C, x, y, z, s`), либо последовательностью, состоящей из заглавной или строчной латинской буквы и целого числа (`A1, A2, A4, A10000000`). Ещё одно отличие от языков программирования заключается в том, что после присвоения переменной высказывания можно говорить об её истинности либо ложности. То есть существует два понятия «значение логической переменной». С одной стороны – это конкретное высказывание, а с другой стороны – это истина, либо ложь.

В процессе формализации нужно сделать следующие действия: выделить из сложного высказывания простые и превратить их в логические переменные. Затем каждая логическая связка превращается в логическую операцию. В описанных действиях остаётся два непонятных момента. Первый – что такое логическая операция, и второй – каким образом логические связки превращаются в логические операции. Будем последовательно отвечать на эти вопросы.

Для того чтобы определить операцию, необходимо указать количество операндов (объектов, над которыми выполняется операция) их тип и результат выполнения операции. Логические операции чаще всего имеют два операнда, как и математические. Однако мы также будем изучать операции, которые имеют всего один операнд. Независимо от количества операнды должны быть логического типа, то есть иметь значение истина, либо ложь. Результатом логической операции также является логическое значение – истина или ложь. Для того чтобы немного сократить запись, условимся в дальнейшем логическое значение «истина» обозначать единичкой `(1)`, а логическое значение – «ложь» – нулём `(0)`.

Очевидно, что если у операции два операнда, и значением каждого является `0` или `1`, то существует всего четыре набора значений операндов `(00, 01, 10, 11)`. Для каждого из наборов необходимо определить значение логической операции. Удобно это представлять в виде таблицы. Таблицы соответствия значений логических операций набору значений операндов называются таблицами истинности.