Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end{array}\right.$$

Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:

$$\left|x-y\right|=\left\{\begin{array}{l}x-y,\;\mathrm{или}\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm{или}\;x-y<0.\end{array}\right.$$

Следовательно, уравнение `|x-y|=5` при `x-y>=0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y<0` в виде `y-x=5`, и поэтому вместо одной системы уравнений с модулем нам придётся рассмотреть две соответствующие системы.

1 случай. Если `x-y>=0`, система имеет вид:

$$ \left\{\begin{array}{l}x-y=5,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right.  \left\{\begin{array}{l}3x-3y=15,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right.  \left\{\begin{array}{l}5x=25,\\ x-y=5,\end{array}\right.  \left\{\begin{array}{l}x=5,\\ y=0.\end{array}\right.$$

Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.

2 случай. Если  `x-y<0`, система имеет вид:

$$ \left\{\begin{array}{l}y-x=5,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}2y-2x=10,\\ 2x+3y=10,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}y-x=5,\\ 5y=20,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=-1,\\ y=4.\end{array}\right.$$

При `x=-1`, `y=4`, условие `x-y<0` также выполняется.

Таким образом, система имеет два решения `(5;0)` и `(-1;4)`.  

Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4\left|y\right|=3.\end{array}\right.$$

По определению модуля числа

$$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x,\;\;\;x\geq0,\\-x,\;x<0,\end{array}\right.\;\;\left|y\right|=\left\{\begin{array}{l}y,\;\;\;\;y\geq0,\\-y,\;y<0.\end{array}\right.$$

Значит нужно рассмотреть 4 случая:

1)  `x>=0`, `y>=0`;

2)  `x>=0`, `y<0`;

3)  `x<0`, `y>=0`;

4)  `x<0`, `y<0`.

1 случай. `x>=0`, `y>=0`, система имеет вид:

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}2x+4y=3,\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}8y=0,\\ x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{1,5},\\ y=0.\end{array}\right.$$ 

Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям:  `1,5>=0`, `0>=0`.

2 случай. `x>=0`, `y<0` система имеет вид:

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x+4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x+2y=\mathrm{1,5},\\ x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right. x+2y=\mathrm{1,5}$$.

Получим равносильную систему, уравнения которой совпадают. Значит, исходная система равносильна каждому из данных уравнений. Следовательно, система имеет бесконечно много решений, где общие решения можно записывать в виде `(1,5-2y;y)`, где `y<0`. Очевидно, что при этом `x=1,5-2y>=0`. 

3 случай.  `x<0`, `y>=0` система имеет вид:

$$ \left\{\begin{array}{l}-x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x-4y=3,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2x+4y=3,\\ 2x-4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}-2x+4y+2x-4y=6,\\ -x+2y=\mathrm{1,5}.\end{array}\right.$$

Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.

4 случай.  `x<0`, `y<0` система имеет вид:

 $$ \left\{\begin{array}{l}-x+2y=\mathrm{1,5},\\ 2x+4y=3,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2x+4y=3,\\ 2x+4y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}4x=0,\\ -x+2y=\mathrm{1,5},\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}x=0,\\ y=\mathrm{0,75}.\end{array}\right.$$

Значение `x` не удовлетворяет заданному условию: неравенство `0<0` логично. Значит, и в этом случае решений тоже нет.

Обобщая все 4 случая и учитывая, что пара чисел `(1,5;0)` имеет вид `(1,5-2y;y)` при `y=0`, мы можем записать множество решений исходной системы.

`(1,5-2y;y)`, где `y<=0`.

1. Найти в уравнениях все выражения, содержащиеся под знаком модуля.

2. Рассмотреть всевозможные комбинации случаев, когда каждое из этих выражений принимает неотрицательные и отрицательные значения.

3. Для каждого возможного случая «раскрыть» модули, используя определение модуля.

4. Решить все полученные системы.

5. Для каждого случая отобрать те решение системы, которые ему удовлетворяют.

Решите систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}2\left|x\right|-3\left|y-1\right|=3,\\ 3x-2y=5.\end{array}\right.$$

Из второго уравнения системы выражаем `x` через `y`, получаем `x=(2y+5)/3`, подставляем это значение для `x` в первое уравнение системы, получаем:

`2/3|2y+5|-3|y-1|=3`;  `4/3|y+5/2|-3|y-1|=3`.

Выражение `y+5/2=0`  при `y=-5/2`. 

Если  `y> -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`;  если `y< -5/2`, то `|y+5/2|=-y-5/2`.

Выражение  `y-1=0`, если  `y=1`.

Если `y>1`,  то `|y-1|=y-1`,  а если `y<1`, то `|y-1|=1-y`.

Если `y>=1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:  

`4/3(y+5/2)-3(y-1)=3`,  `4/3y+10/3-3y+3=3`,  `-5/3y=-10/3`, `y=2`.

Тогда  `x=1/3(2*2+5)=3`. Число  `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.

Пусть теперь  `-5/2 <=y<1`, тогда `|y-1|=1-y`; `|y+5/2|=y+5/2`.

Для нахождения `y` получаем уравнение

`4/3(y+5/2)+3y-3=3`, `4/3y+10/3+3y=6`,  `13/3y=8/3`,  `y=8/13`;

`x=1/3(2y+5)=1/3(16/13+5)=27/13`.

Число  `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.

Если  `y< -5/2`, то  получаем  уравнение:

`-4/3(y+5/2)+3y-3=3`,  `-4/3y-10/3+3y=6`,  `5/3y=28/3`, `y=28/5`.     

Это значение больше, чем `(-5/2)`, поэтому решений нет.

Таким образом, система имеет два решения `(3;2)` и `(27/13;8/13)`. 

Рассмотрим систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l}ax+4y=2a,\\ x+ay=a.\end{array}\right.$$

В этой системе, на самом деле, три переменные, а именно: `a`, `x`, `y`. Неизвестными считают `x` и `y`,  `a` называют параметром. Требуется найти решения `(x, y)` данной системы при каждом значении параметра `a`.

Покажем, как решают такие системы. Выразим переменную `x` из

второго уравнения системы: `x=a-ay`. Подставляем это значение для `x` в первое уравнение системы, получаем:  

`a(a-ay)+4y=2a`,

`(2-a)(2+a)y=a(2-a)`.

Если `a=2`, то получаем уравнение `0*y=0`. Этому уравнению удовлетворяет любое число `y`, и тогда `x=2-2y`, т. е. при `a=2` пара чисел `(2-2y;y)` является решением системы. Так как `y` может быть любым числом, то система при `a=2` имеет бесконечно много решений.

Если `a=-2`, то получаем уравнение  `0*y=-8`. Это уравнение не имеет ни одного решения.

Если теперь `a!=+-2`, то  `y=(a(2-a))/((2-a)(2+a))=a/(2+a)`,

`x=a-ay=a-a^2/(2+a)=(2a)/(2+a)`.

При `a=2` система имеет бесконечно много решений вида `(2-2y;y)`, где `y` - любое число;

при `a=-2` система не имеет решений;

при `a!=+-2`, система имеет единственное решение `((2a)/(2+a); a/(2+a))`.

При каких значениях параметра `a` система

$$ \left\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ x+y=a\end{array}\right.$$

не имеет решений?

Левые части уравнений системы равны. Если будут равны и правые, то есть `a=5`, то получим `2` одинаковых уравнения `x+y=5`, и решением системы будут все пары `(x,y)`, которые удовлетворяют уравнению  `x+y=5`, т. е. все точки прямой `y=-x+5`.

Но, если `a!=5`, то получим два уравнения, у которых левые части равны, а правые нет, это две параллельные прямые `y=-x+5` и `y=-x+a`. 

Они не пересекаются, и значит, система не имеет решений.

При `a!=5` система не имеет решений.