`vec v= "const"`.                                                                                 (6)

`vec r(t)=vec r_0+vec v t`,                                                                     (7)

`y(x)=(v_y)/(v_x)(x-x_0)+y_0`.                                                                 (9)

Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости $$ xOy$$ описывается уравнениями: $$ x\left(t\right)=6+3t$$, $$ y\left(t\right)=4t$$ (величины измерены  в  СИ).  Запишите  уравнение  траектории  тела.  Изобразите графически  зависимость  модуля  вектора  скорости  от  времени   $$ v\left(t\right)$$. Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.

Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:

$$ {x}_{0}=6$$ м, $$ {y}_{0}=0$$ , $$ {v}_{x} =3$$ м/c, $$ {v}_{y} =4$$ м/c.

Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):

`y(x) =4/3(x - 6)`, или `y(x) = 4/3 x - 8`.

Модуль $$ v$$ скорости тела определим, зная $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:

`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.

График зависимости $$ v\left(t\right)$$ представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7):  `Deltavec r = vec r (t) - vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный  телом   в  течение  времени  `t`,   определяется  по формуле `Delta S = vt`,  т. е. численно равен  площади  прямоугольника  под графиком зависимости  $$ v\left(t\right)$$ . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.

В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:

`Delta S = vt = 5  "м"/"c"*5  "c" = 25  "м"`.

Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.

Координаты тела при  равномерном прямолинейном движении  на  плоскости   $$ xOy $$ за  время  $$ t=2$$ c изменились  от начальных значений $$ {x}_{0}=5$$ м, $$ {y}_{0}=7$$ м до значений $$ x=-3$$ м и $$ y=1$$ м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.

Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:

`v_x=(x-x_0)/t=(-3-5)/2=-4` м/с, `v_y=(y-y_0)/t=(1-7)/2=-3` м/с.

Тогда модуль скорости  `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.

Уравнение траектории $$ y\left(x\right)$$ с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:

$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}(x-5)+7$$, или $$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{13}{4}}$$. 

Положение тела в начальный и  конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$ в общие уравнения движения (8):

$$ x\left(t\right)=5-4t,y\left(t\right)=7-3t$$. 

Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.

Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при $$ t$$ в соответствующих уравнениях $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$, т. е. значениям $$ {v}_{x}$$ и $$ {v}_{y}$$:

`"tg"alpha=-4`, `"tg"beta=-3`.

(Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)

Любитель  бега  трусцой  пробежал  половину  пути со скоростью $$ {v}_{1}=10$$ км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью $$ {v}_{2}=8$$ км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью $$ {v}_{3}=4$$ км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.

Из смысла условия задачи следует, что здесь  речь  идёт  о средней  путевой  скорости.  Разобьём  весь  путь   `Delta S`   на  три   участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:

`v_"cp"= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.

По    условию    задачи `Delta S_1  =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3  = Delta S //2`.    Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:

`Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,

`Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,

`Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.

Подставляя эти значения в выражение для `v_"ср"`, получим:

`v_"cp"=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3)))  =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.

Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_"ср"= (v_1 + v_2 + ... + v_n)//n`, где  `v_i` - скорость движения на `i`-м участке, `n` - число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_"ср"`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.

`vec a="const"`                                                                                     (10)

`vec v (t)=vec v_0 +vec at`,                                                               (11)

`vec r(t)=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`,                                               (12)

За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )

Пусть за время $$ t=2$$ с скорость тела изменилась от $$ {v}_{0}$$ до $$ v$$. Направим координатную ось $$ Ox$$ вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать  `v=v_0+at`, `a` - модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`. 

За время $$ t$$ тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь

`S=(v^2-v_0^2)/(2a)`.

С учётом выражений для $$ {v}_{0}$$ и $$ a$$ получим  `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.

Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$ направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй; время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени $$ t$$ вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.

Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси $$ Oy$$. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: $$ {y}_{0}=0,{v}_{0y}={v}_{0}$$.

Проекция ускорения тела на ось $$ Oy$$ в отсутствие сопротивления воздуха равна $$ {a}_{y}=-g$$ , т. к. вектор $$ \overrightarrow{g}$$ направлен вертикально вниз противоположно направлению координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом начальных условий имеют вид:

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. В этот момент $$ y=0$$ и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для $$ \tau $$ получаем: $$ \tau =0$$ или `tau=(2v_0)/g`. Значение $$ \tau =0$$ соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.

Согласно (15), при $$ t=\tau $$ имеем: $$ {v}_{y}={v}_{0}-gt$$. Тогда с учётом найденного значения $$ \tau $$ получим $$ {v}_{y}={v}_{0}-2{v}_{0}=-{v}_{0}$$. Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости $$ {v}_{0}$$, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось $$ Oy$$ отрицательна.

Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что $$ y=H,{v}_{y}=0$$. С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:

`0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.

Из первого уравнения определяем время подъёма тела  `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя $$ {\tau }_{1}$$ во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
Заметим, что время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени $$ \tau $$ полёта тела: $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.
Путь $$ S$$, пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, $$ S=2H$$. Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.

Зависимость $$ y\left(t\right)$$ в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
Зависимость $$ {v}_{y}\left(t\right)$$ является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при $$ t$$ в формуле (15):

`"tg"alpha=-g`.

Движение тела, брошенного горизонтально.

Тело бросили с высоты $$ H$$ над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость $$ {\overrightarrow{v}}_{0}$$, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю, дальность $$ l$$ полёта тела, скорость `vecv` тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени $$ t$$ координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.

Начало отсчёта $$ O$$ поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:

`a_x=0`, `a_y=-g`.

Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. Это означает, что $$ y=0$$, $$ x=l$$, и уравнения системы (18) принимают вид:

$$ l={v}_{0}\tau $$, `0=H-(g tau^2)/2`.

Решая их ,находим:

`tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.

В свою очередь, система уравнений (17) даёт: $$ {v}_{x}={v}_{0},{v}_{y}=-g\tau $$. С учётом значения $$ \tau $$ получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:

`v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=sqrt(v_0^2+2gH)`.

Направление вектора `vecv` определим с помощью угла $$ \alpha $$ (рис. 16):

`"tg"alpha=v_y//v_x=(-sqrt(2gH))//v_0`.

Уравнение $$ y\left(x\right)$$ траектории движения тела получим, исключив параметр $$ t$$ из системы (18):

`y(x)=-g/(2v_0^2)x^2+H`.

Так как $$ y\left(x\right)$$ представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью $$ {v}_{0}$$ направленной под углом $$ \alpha $$ к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю,дальность $$ l$$ полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй, время $$ {\tau }_{1}$$ подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.

Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха $$ {a}_{x}=0,{a}_{y}=g$$ С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю, тогда: $$ y=0,x=l$$. Уравнения системы (20) дают:

$$ l=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\alpha \right)\tau $$,    $$ 0=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right)\tau -{\displaystyle \frac{g{\tau }^{2}}{2}}$$. 

Откуда находим

$$ \tau ={\displaystyle \frac{2{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$,    $$ l={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}\text{sin}2\alpha }{g}}$$. 

(Здесь использовано равенство $$ 2\mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\alpha =\mathrm{sin}2\alpha .$$ )
Из полученного выражения для $$ l$$ легко определить угол $$ \alpha $$, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина $$ l$$ как функция от $$ \alpha $$ принимает максимальное значение в том случае, когда $$ \mathrm{sin}2\alpha =1$$. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.

Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора:  `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при $$ t=\tau $$ ) имеем: $$ {v}_{x}={v}_{0}\mathrm{cos}\alpha $$, $$ {v}_{y}={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g\tau =-{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha $$.

Следовательно, $$ v=\sqrt{{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }={v}_{0}$$, (так как $$ {\mathrm{cos}}^{2}\alpha +{\mathrm{sin}}^{2}\alpha =1$$).

Направление скорости тела в момент падения составляет угол $$ \alpha $$ с направлением оси $$ Ox$$. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси $$ Ox$$.

Пусть при $$ t={\tau }_{1}$$ тело достигло максимальной высоты. В этот момент $$ {v}_{y}=0$$, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:

$$ 0={v}_{0}\mathrm{sin}\alpha -g{\tau }_{1}$$,  $$ H=\left({v}_{0}\mathrm{sin}\alpha \right){\tau }_{1}-{\displaystyle \frac{g{\tau }_{1}^{2}}{2}}$$.

Отсюда последовательно находим:

$$ {\tau }_{1}={\displaystyle \frac{{v}_{0}\mathrm{sin}\alpha }{g}}$$, $$ H={\displaystyle \frac{{v}_{0}^{2}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }{2g}}$$.

Видим,что $$ \tau =2{\tau }_{1}$$.

Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время $$ t$$ :

$$ y\left(x\right)={\displaystyle \frac{g}{2{v}_{0}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}\alpha }}{x}^{2}+\mathrm{tg}\alpha x$$. 

График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.