2.2 Электроёмкость уединённого проводника и конденсатора

Наличие единого (в электростатике!) потенциала во всём проводнике - одно из важнейших его свойств, и именно оно позволяет строго ввести определение  электрической  ёмкости уединённого проводника по формуле

                                                           `C=Q//varphi`,                                                              (2.2.1)

где `Q` - заряд на проводнике, `varphi` - его потенциал, и ёмкость конденсатора (пары проводников) – по формуле

                                                                     `C=Q//(varphi_1-varphi_2)`,                                    (2.2.2)

где `varphi_1` и `varphi_2` - потенциалы отдельных проводников с зарядами `Q` и `-Q`. Не будь этого свойства, было бы непонятно, что именно понимать под `varphi`, `varphi_1` и `varphi_2`. Почему мы, например, не спрашиваем себя, какова ёмкость  двух  деревяшек? Да потому, что мы не можем говорить о едином потенциале даже одной деревяшки (в разных точках её потенциал будет, вообще говоря, разным).

Электроёмкость измеряется в фарадах: `1` фарад `=1` Ф `=1` Кл/`1`В.

В определение ёмкости конденсатора, т. е. пары проводников, входит один заряд. Дело в том, что наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку:  `Q_1=-Q_2=Q`.

Хотя в определение электроёмкости входят заряд и потенциал `C=Q//varphi` (или разность потенциалов - для конденсатора `C=Q//(varphi_1-varphi_2)`) фактически ни от заряда, ни от потенциала (разности потенциалов) ёмкость не зависит, а определяется только геометрией проводника (да ещё диэлектрической проницаемостью среды, см. раздел, посвящённый диэлектрикам). Например, ёмкость уединённого проводящего шара радиуса `R` в вакууме равна

                                                                 `C_"шара"=4pi epsilon_0R`                                      (2.2.3)

(последняя формула получается непосредственно из формулы для потенциала уединённого шара `varphi=Q/(4pi epsilon_0)`), а ёмкость плоского конденсатора (Пример 24)

                                                                           `C=epsilon_0S//d`.                                          (2.2.4)

Последнее связано с тем, что потенциал уединённого проводника всегда пропорционален его заряду (а в конденсаторе разность потенциалов пропорциональна заряду); ёмкость же есть как раз коэффициент пропорциональности `Q=Cvarphi` (или `Q=C(varphi_1-varphi_2)`).  

Нетрудно вычислить (воспользовавшись результатом Примера 18) ёмкость сферического конденсатора

                                                        `C=4pi epsilon_0(R_1R_2)/(R_2-R_1)`,                          (2.2.5)           

где `R_1` и `R_2` - радиусы внутренней и внешней сфер.

Пример 22

Определить ёмкость шара размером с Землю. Радиус Земли `R=6370` км. Каким должен быть радиус металлического шара, чтобы его электроёмкость была равна `1` фараду?

Решение

По формуле (2.2.3) `C=4pi epsilon_0R~~0,71` мФ. Чтобы ответить на 2-ой вопрос, снова воспользуемся формулой (2.2.3), выразив из неё `R=1//4pi epsilon_0C=9*10^6` км,  что почти в `13` раз больше радиуса Солнца.

Пример 23

Оценить, какого размера должны быть пластины плоского воздушного конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми `d=1` мм, чтобы его электроёмкость равнялась `1` фараду?

Решение

По формуле (2.2.4) имеем  `C=epsilon_0L^2//d`, откуда `L~~10,6` км.

Пример 24

Как изменится электроёмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади `S` каждая и с расстоянием между пластинами `d`, если между обкладками конденсатора вставить параллельно обкладкам металлическую пластину толщиной `delta <d`? Зависит ли результат от того, в какое именно место между обкладками конденсатора вставить пластинку?

Решение

Внутри металлической пластинки напряжённость электрического поля равна нулю, поэтому эта область не вносит вклада в разность потенциалов между обкладками конденсатора. Напряжённость в воздушном промежутке между обкладками конденсатора останется такой же, какой была до внесения пластинки (в целом электрически не заряженная пластинка не изменяет напряжённости поля вне её). Ёмкость конденсатора без пластинки вычислялась бы так:

`C=Q/U=Q/(Ed)=Q/((sigma//epsilon_0)d)=(sigmaS)/((sigma//epsilon_0)d)=(epsilon_0S)/d`.

После внесения пластинки уменьшится ширина области пространства между обкладками конденсатора, занятая полем (от `d` до `d-delta`); в итоге

`C^'=Q/U^'=Q/(E(d-delta))=Q/((sigma//epsilon_0)(d-delta))=(epsilon_0S)/(d-delta)>C`.

 Результат не зависит от месторасположения пластинки.